基于“六何”認(rèn)知鏈的“抽象函數(shù)”的研究與思考

練育宏　趙偉

【摘 要】 用“六何”認(rèn)知鏈呈現(xiàn)“抽象函數(shù)”的研究過程，以整體視角把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓研究對(duì)象經(jīng)歷“從何”“是何”“與何”“如何”“變何”“有何”的認(rèn)知過程，可以加深學(xué)生對(duì)研究對(duì)象本質(zhì)的理解，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提升相應(yīng)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 六何；抽象函數(shù)；深度學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)

2019版中國高考評(píng)價(jià)體系中的“四翼”突出了對(duì)學(xué)科基礎(chǔ)性的考查，要求高考應(yīng)圍繞學(xué)科主干內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)基本概念、基本思想方法的考查，杜絕偏題怪題和繁難試題，引導(dǎo)教學(xué)重視教材，夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，給學(xué)生提供深度學(xué)習(xí)和思考的空間［1］.“抽象函數(shù)”相關(guān)問題在近幾年高考中頻繁亮相.試題題干簡潔、指向明確、緊扣基本概念、內(nèi)涵豐富、解答方式多樣，是突出“基礎(chǔ)性”考查的有效載體，也是“反機(jī)械刷題”、促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、培養(yǎng)理性思維的很好素材.本文從“六何”角度深度剖析“抽象函數(shù)”，意在引導(dǎo)學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從“解題”向“解決問題”、從“做題”向“做人做事”的轉(zhuǎn)變［1］.

1 “六何”有序結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)

“六何”有序結(jié)構(gòu)是由周瑩教授基于系統(tǒng)論和連貫理念提出的一種策略，能夠系統(tǒng)地體現(xiàn)教學(xué)的連貫性、自然性以及完整性［2］.“六何”即 “從何”“是何” “與何” “如何” “變何” “有何”.“從何”包括知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)以及章導(dǎo)言與前言， 這是新知識(shí)的問題發(fā)現(xiàn)與提出，突出新知識(shí)研究的必要性，也是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的著力點(diǎn); “是何”包括 “是什么”這一事實(shí)性知識(shí)，是對(duì)新知識(shí)本質(zhì)屬性的深入探究與理解; “與何”包括從關(guān)聯(lián)的角度看知識(shí)間 “有何聯(lián)系”， 促進(jìn)知識(shí)的融會(huì)貫通; “如何”包括教材呈現(xiàn)的例題、習(xí)題的數(shù)量及難度，強(qiáng)調(diào)理解和應(yīng)用的認(rèn)知過程; “變何”強(qiáng)調(diào)問題的變式拓展，通過問題的提出和變式，幫助學(xué)生觸類旁通，拓寬思維層面; “有何”包括 “有何收獲”，是對(duì)學(xué)習(xí)過程中能力、 素養(yǎng)、知識(shí)水平等方面的挖掘與凝練［3］.作為課堂教學(xué)的一種有序結(jié)構(gòu)也可以應(yīng)用于研究某一數(shù)學(xué)對(duì)象，用“六何”結(jié)構(gòu)研究問題，既要關(guān)注問題的破解策略，又要關(guān)注問題的“來龍去脈”，用“整體觀”“全局觀”把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而避免研究問題“只見樹木，不見森林”的現(xiàn)象.

2 從“六何”看抽象函數(shù)

“六何”可看成由對(duì)知識(shí)來龍去脈及總結(jié)反思的發(fā)問而構(gòu)成的認(rèn)知鏈，這種認(rèn)知鏈并不是簡單的單向進(jìn)行，而是多種開端，多種組織方式， 可以根據(jù)實(shí)際情況，靈活運(yùn)用．下面從“六何”的視角展開對(duì)“抽象函數(shù)”的研究，供各位同仁參考.

2.1 追溯“從何”

抽象函數(shù)從何而來？實(shí)際上可看成從初等函數(shù)中抽象概括出來的，也就是說很多抽象函數(shù)都是有“原型”的，部分梳理如下：

左列初等函數(shù)中依據(jù)其運(yùn)算（公式）特征，抽象出右列中的等式，而具備右列等式的函數(shù)不一定唯一，左列中的函數(shù)只是滿足右列等式的一個(gè)特例而已.以上對(duì)應(yīng)也說明了抽象函數(shù)并不“抽象”，它具有豐富的“背景”與“內(nèi)涵”，多數(shù)初等函數(shù)是抽象函數(shù)方程的解.

2.2 抽象“是何”

一般不給出具體解析式，只給出函數(shù)具備的特殊條件或特征的函數(shù)即為抽象函數(shù).此類問題具有較強(qiáng)的抽象性、綜合性、技巧性等特征，能較好地考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).基于此，此類問題也成為近年新高考的熱點(diǎn).

2.3 連接“與和”

抽象函數(shù)的形式多樣，在教材中實(shí)際上也有多處體現(xiàn)，特別是描述一類函數(shù)的共同的特性，如：描述函數(shù)奇偶性時(shí)，用等式f（－x）±f（x）=0來刻畫，描述函數(shù)周期性時(shí)，用等式f（x+T）=f（x）（T≠0）來刻畫，當(dāng)然，還可以從定義出發(fā)演變出多種形式.

2.4 把握“如何”，探究“變何”

在近幾年考題中抽象函數(shù)問題一般以什么面孔呈現(xiàn)，究竟怎么考，考什么呢？下面舉例說明.

2.4.1 開放問題

例1 （2022新高考全國Ⅱ卷題8改編）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)f（x）= ．

3 研究啟示

3.1 重視基本概念教學(xué)，關(guān)注深度考查

近年新高考試題中，特別強(qiáng)調(diào)對(duì)于基本概念與性質(zhì)的深入理解.深化基礎(chǔ)性的考查要求不意味著降低題目的難度，也不局限于對(duì)知識(shí)概念的簡單記憶和再認(rèn)識(shí)，而是體現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用過程，更加靈活深入地考查基本概念，在考查基礎(chǔ)性的同時(shí)發(fā)揮高考選拔功能［4］.因此在平時(shí)教學(xué)中，要強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的深刻理解與運(yùn)用，突出對(duì)學(xué)科本質(zhì)的體現(xiàn).例2中，由f（2x+1）為奇函數(shù)得f（－2x+1）=－f（2x+1）（奇偶性定義的本質(zhì)體現(xiàn)）；結(jié)論1中，由f（2a－x）=f（2b－x）得T=2|a－b|（周期性定義變形）；例3中，由f′（2－x）=f′（2+x）得f（2+x）+f（2－x）=c（導(dǎo)數(shù)法則的逆向考查）；結(jié)論6中，由f（－x）－f（0）=－［f（x）－f（0）］得f（x）－f（0）為奇函數(shù)（奇偶性定義的逆向考查）.故例2、例3及其變式其本質(zhì)是對(duì)奇偶性、周期性定義的深度考查.

基本概念與原理是數(shù)學(xué)解題的起點(diǎn)，基礎(chǔ)知識(shí)的領(lǐng)悟程度，直接影響到知識(shí)的應(yīng)用能力.對(duì)于基本概念的教學(xué)盡量做到以下幾點(diǎn).

1.注重概念的生成過程，特別是一些有啟示作用的推導(dǎo)思想與方法；

2.注重概念的多元表征，即通過一組等價(jià)命題對(duì)概念形成網(wǎng)絡(luò)和表象，讓學(xué)生從整體上把握相關(guān)知識(shí)；

3.注重概念的辨析教學(xué)，如：關(guān)鍵字詞的理解，條件的強(qiáng)（弱）化帶來的影響，四種命題能否成立，能否作一般性推廣等；

4.注重概念的前后聯(lián)系，對(duì)于與其它概念聯(lián)系緊密的知識(shí)，可將其關(guān)系呈現(xiàn)出來，以便學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

3.2 活用“六何”研究問題，關(guān)注知識(shí)來龍去脈

“六何”認(rèn)知鏈研究策略，是從問題意識(shí)的角度創(chuàng)建的一種認(rèn)識(shí)方法論，主要體現(xiàn)知識(shí)的來龍去脈的問題性、層序性、操作性和完整性［5］.“六何”并不一定是單向進(jìn)行，可以是多種開端，多種組織方式，它們之間相互聯(lián)系、相互交融、密不可分的，如：在研究某一個(gè)問題下的子問題時(shí)，可以又是一個(gè)“六何”的小循環(huán)，“是何”“與何”以及“如何”“變何”之間一般具有互為補(bǔ)充、互相滲透的關(guān)系.用“六何”視角看問題可以讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、高潮、結(jié)束的認(rèn)知過程，以整體視角把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，加深對(duì)問題本質(zhì)的理解.

“抽象函數(shù)”相關(guān)問題作為近年新高考的熱點(diǎn)，學(xué)生往往因其表現(xiàn)形式的抽象導(dǎo)致解決起來感到茫然與困難，實(shí)際上它的背景以及解決手段并不“抽象”.“從何”追溯來源、了解背景，也為“如何”提供了豐富的模型；“是何”抽象特征、把握本質(zhì)；“與何”揭示聯(lián)系、促進(jìn)融通，也為“如何”提供解決的基本工具；“如何”學(xué)以致用、深化理解；“變何”探究變化與拓展、促進(jìn)發(fā)散，也是對(duì)“是何、如何”的深度理解與靈活運(yùn)用；“有何”回顧反思、促進(jìn)內(nèi)化，全方位總結(jié)這類問題所涉及的“基礎(chǔ)知識(shí)”，破解的“基本方法”，蘊(yùn)含的“基本思想”，最終達(dá)到考查學(xué)生“基本素養(yǎng)”的目的.

參考文獻(xiàn)

［1］ 中華人民共和國教育部考試中心.中國高考評(píng)價(jià)體系說明（2019年版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 莫倩華，肖寶瑩，周瑩.基于“六何”有序結(jié)構(gòu)的高中數(shù)學(xué)教材對(duì)比研究——以人教A版、湘教版《古典概型》為例［C］//全國數(shù)學(xué)教育研究會(huì).全國數(shù)學(xué)教育研究會(huì)2016年國際學(xué)術(shù)年會(huì)論文集.廣州：中國高等教育學(xué)會(huì)教育數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)，2016：12.

［3］ 張程，周瑩.基于“六何”有序結(jié)構(gòu)的高中數(shù)學(xué)新舊教材對(duì)比分析——以人教A版“函數(shù)概念”為例［J］.中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2021（12）：28.

［4］ 翟嘉祺，任子朝，趙軒.高考深化基礎(chǔ)性考查研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（31）：4-7+12.

［5］ 魏小軍，莫倩華，周瑩.基于“六何”認(rèn)知鏈的“正弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（18）：12.

作者簡介 練育宏（1974—），江蘇揚(yáng)州人，中學(xué)高級(jí)教師；現(xiàn)任揚(yáng)州市江都區(qū)教研室高中數(shù)學(xué)教研員，揚(yáng)州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，曾獲揚(yáng)州市江都區(qū)教育功臣、揚(yáng)州市高中教育先進(jìn)個(gè)人、揚(yáng)州市數(shù)學(xué)優(yōu)秀奧賽教練員、揚(yáng)州市十佳教研員、揚(yáng)州市名師工作室優(yōu)秀指導(dǎo)教師等榮譽(yù)稱號(hào)；發(fā)表論文20余篇，并有多篇文章被人大復(fù)印報(bào)刊資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載；主持省級(jí)課題2項(xiàng)，參與省級(jí)課題2項(xiàng).

趙偉（1983—），男，江蘇揚(yáng)州人，中學(xué)一級(jí)教師；現(xiàn)任揚(yáng)州市江都區(qū)邵伯高級(jí)中學(xué)教科室副主任、高三年級(jí)組主任，曾榮獲江都區(qū)十佳班主任稱號(hào)，多次被評(píng)為區(qū)教育局優(yōu)秀工作者；研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育.