素養立意·整體滲透：初中生數學能力培育路徑與實踐

作者簡介：楊淑萍（1987～），女，漢族，浙江諸暨人，余杭區閑林中學，研究方向：初中數學教育教學。

摘? 要：在初中數學教學中，素養立意與整體滲透不僅能夠促進學生的全面發展，提高教學質量，還能夠激發學生的學習興趣和動力，培養他們的自主學習能力。因此，在教學設計與實踐中，初中數學教師應積極融入素養立意與整體滲透的教學理念，從而為學生的成長和發展創造更好的條件。文章基于初二數學反比例函數的圖像與性質教學內容，圍繞教學目標、教學內容、教學方法以及教學評價等維度對素養立意與整體滲透的具體實施進行了探究。

關鍵詞：初中數學；素養立意；整體滲透；反比例函數；函數圖像性質

中圖分類號：G633.6??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1673-8918（2024）17-0077-04

數學能力的培養，能增強學生的自信心，調動學習積極性、學習動力，有助于提高學生團隊合作能力及溝通能力。“素養立意”旨在通過培養學生的核心素養和綜合能力，幫助他們更好地適應未來社會的需求，實現個人價值和社會價值的統一。“整體滲透”強調的是在教學過程中，將各種核心素養和綜合能力培養的要求融入各個學科、各個教學環節中去，使之形成一個有機的整體。文章以初二數學反比例函數圖像性質教學為例，就如何實現“素養立意”和“整體滲透”加以剖析，旨在交流與共勉。

一、 從目標設定，踐行素養立意與整體滲透

基于反比例函數教學內容的特點，在知識目標維度上可以設定為“理解和掌握反比例函數的性質”，在能力目標維度上可以設定為“培養學生觀察、分析、歸納、應用的能力，以及數學建模和解決問題的能力”，在素養目標維度上可以設定為“滲透數學思維訓練，提高學生的數學素養和自主學習能力”。進一步設定如下：一是了解反比例函數圖像的意義，會畫反比例函數的圖像。其設計理由是解析法、列表法和圖像法是函數的三種重要表示方法，函數圖像可以直觀生動地表示函數的性質，圖像本身也可以解決許多實際問題。二是通過分析反比例函數的解析式和圖像，掌握反比例函數的性質。這一教學目標達成標志是當反比例函數的比例系數k取具體的數時，學生能知道函數在平面直角坐標系中的位置、變化趨勢和對稱性，并能畫出圖像。三是探索反比例函數圖像與性質時，培養推理、直觀素養，以及類比、數形結合、分類和特殊到一般的思維能力。這一目標的達成標志是對反比例函數的比例系數k取具體的值（可以不是具體的數，但能判斷正負），學生能想象函數的大致圖像，畫出草圖，分析其對稱性、增減性等性質，并能演繹推理其他類似函數的圖像和性質，概括提煉出學習一般的函數圖像與性質的方法或路徑。

二、 從教法選定，踐行素養立意與整體滲透

通過創新教學方法，如回顧基礎知識、創設情境、組織小組探究和引導實例歸納，可以有效提升學生數學核心素養，幫助他們全面理解反比例函數的圖像與性質，克服傳統描點法的局限，為學生全面發展奠定堅實基礎。

（一）知識回顧，問題驅動

筆者通過引導學生理解反比例函數定義及其自變量取值范圍，與一次函數進行類比，提出研究反比例函數圖像與性質的重要性，達成教學目標。通過追問，啟發學生從特殊到一般，先探究正比例函數的圖像與性質，為研究反比例函數奠定基礎，教學方法上可以采用問題驅動法。

例如，問題1：請同學們回顧上節課學習的反比例函數，它的概念是什么？生1：形如y=kx叫作反比例函數。追問：這里的k能取任意實數嗎？生2：k≠0，x≠0，y≠0。通過上述學生的回答，可以判斷出學生都能夠較為準確地回答出反比例函數的概念。針對這一結果，筆者提出問題2：類比一次函數的學習經驗，你認為接下來我們要研究反比例函數的哪些知識？學生猜到了反比例函數的圖像與性質。筆者再提出問題3：圖像法也是表示函數的重要方法，我們可以根據函數的圖像解決很多問題，那你能回憶起我們研究一次函數圖像和性質時的步驟或方法嗎？筆者通過引導，學生共同回憶：一次函數y=kx+b（x≠0）的圖像與性質研究。先是當b=0時的正比例函數（如，y=2x）的圖像與性質，用描點法畫出圖像并觀察其性質，然后再研究當b≠0時的一次函數（如y=2x+1）的圖像與性質，再從k的正、負性分類取值進行研究。

在上述教學環節中，基于學生素養培育的目標，將反比例函數圖像與性質的學習與一次函數圖像與性質的學習經驗構成一個整體，從而使已有知識經驗有效遷移。

（二）思行并進，探究新知

結合反比例函數圖像和性質的教學內容，引導學生在用描點法動筆畫圖前，先觀察解析式，發展數據分析能力，從數到形進行合情推理，預測反比例函數的圖像特征。踐行中，筆者首先肯定學生在一次函數圖像與性質內容上的掌握情況，旨在促使學生建立信心。接著，筆者提出：我們今天先不動手，先來動腦，探究一個簡單的反比例函數，請你取一個特殊的k。生1：k=1。師：k=1當然是可以的，但是我們用描點法取點時你覺得方便嗎？有沒有讓畫圖更簡便的特殊的k呢？生2：k=6。師：很好，當k=6時，我們就可以取多個整數點了，下面就讓我們一起來觀察函數y=6x解析式的特征吧。此時，學生的探究欲望得到了有效激發，為筆者的后續教學做好了鋪墊。

接著，筆者提出問題：你能從圖像的形狀、位置和對稱性等方面來大致想象y=6x的圖像嗎？生3：y=6x圖像肯定不是一條直線，可能是曲線。生4：反比例函數y=kx（k≠0），x≠0，y≠0，所以它的圖像肯定不與坐標軸相交，也不會經過原點。生5：我發現y=6x中x，y的符號一定是相同的，要么是（+，+），要么是（-，-），所以它的圖像應該在第一象限和第三象限。通過上述學生的回答，可以判斷出他們已經具備了一定的判斷能力。

筆者再次提出問題：根據自變量x的取值和對應的函數值，你能預測x，y的變化趨勢嗎？函數有最值嗎？生6：當x越來越大時，y越來越小；當x越來越小時，y就越來越大。因此，圖像會無限接近x軸或y軸，但是取不到最值。師：很好！根據我們剛才的分析，相信每個同學腦海中已經初步有了反比例函數y=6x的圖像了，接下來讓我們用描點法來驗證一下吧！看看跟你腦海中的圖像是否一致。基于前面的鋪墊，學生在列表中沒有出現取x=0或只取正數或負數的錯誤（表1）。

表1? 反比例函數y=6x列表

x…-6-5-4-3-2-1123456…

y…-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21…

學生完成列表后，筆者再次提出問題：根據表中的數對，能驗證你對問題4中提出的猜想嗎？根據這些數對，你還能提出哪些猜想？生1：反比例函數圖像上的點關于原點對稱。筆者再次追問：你的猜想非常好！還有其他猜想嗎？如果沒有，接下來就請同學們開始畫圖，來揭開反比例函數圖像的神秘面紗吧！學生根據所列表描點、連線。學生完成列表后，筆者引導學生再次放慢腳步，先根據表中的數對來初步驗證之前的猜想，然后再展開新的猜想。這一做法旨在引導學生探索反比例函數圖像的對稱性。在筆者的引導下，學生通過觀察圖像不難發現反比例函數y=6x的圖像是在第一、三象限的兩支曲線，這兩支曲線關于原點對稱，甚至觀察能力較強的學生還能發現圖像關于直線y=x和直線y=-x對稱。

基于上述任務及目標的達成，筆者再次拋出問題。問題1：你能用上述思路畫出y=2x與y=12x的圖像嗎，從而你能歸納出所有反比例函數的圖像特征嗎？（學生畫圖后不難歸納：當k>0時，反比例函數圖像是在第一、三象限的兩支曲線，且關于原點對稱，也關于直線y=x和直線y=-x對稱。但是當k<0時，圖像顯然不在第一、三象限，而是在第二、四象限。）問題2：我們已經研究了當k>0時反比例函數的圖像，接下來你能獨立研究當k<0時的圖像嗎，如何開展研究？

在上述教學環節中，學生通過積極動腦，已經勾勒出大致圖像，再通過動手畫圖驗證，從而歸納出當k>0時反比例函數的圖像特征。這樣的學習路徑巧妙地串聯起函數的解析式和圖像，學生能更加深刻體會數形結合思想，培養了抽象能力和空間觀念。

（三）例題解析，應用新知

上述教學完成后，筆者利用一則例題，引導學生進行知識的運用。即：已知反比例函數y=kx（k≠0）的圖像的一支如圖，它經過點B（-4，2）。問題1：判斷k是正數還是負數。問題2：求這個反比例函數的解析式。問題3：補畫這個反比例函數圖像的另一支。

圖1

問題1旨在促使學生及時鞏固反比例函數圖像所在的象限由k的符號決定。問題2旨在引導學生用待定系數法來求函數解析式，感悟坐標滿足函數表達式的所有點都在圖像上，反之，圖像上的所有點也都滿足函數表達式。問題3旨在考查反比例函數的對稱性。同時，為了更好地讓學生對所學新知識能夠加以運用，筆者又提供了兩道課堂練習題目。練習題目1：函數y=m+2x的圖像在二、四象限，則m的取值范圍是??? 。練習題目2：已知反比例函數y=kx（k≠0）的圖像上一點的坐標為（-2，2），求這個反比例函數的解析式。

（四）小結歸納，構建提升

通過小結旨在引導學生回顧和歸納所學的知識點與學習路徑，從而提升學生的類比、數形結合、從特殊到一般等數學思想、方法及幾何直觀、抽象能力和數據觀念等核心素養。課上，筆者提問：這節課大家學了哪些知識？生1：我們學習了反比例函數的圖像與性質。師：你能歸納一下我們是怎樣來學習反比例函數的圖像與性質的嗎？從中你感悟到了哪些數學思想方法？生2：我們類比了一次函數的圖像與性質的研究路徑，先研究特殊的反比例函數y=6x，根據解析式猜想其圖像，再用描點法畫出圖像驗證，然后用同樣的方法畫出y=2x與y=12x的圖像，從而歸納出當k>0時反比例函數的圖像與性質，體現從特殊到一般的思想方法。然后再用類比思想研究當k<0時反比例函數的圖像與性質，這里體現了分類討論思想。師：通過這堂課的學習，相信同學們學習到了研究函數圖像與性質的一般研究路徑與方法，以后學習其他函數也不是什么難事了。通過上述的小結，學生們實現了對知識的回顧與提升。

三、 從評價確定，踐行素養立意與整體滲透

基于素養立意和整體滲透的教育理念，筆者在教學評價上將過程評價與結果評價相結合，主要從知識的掌握、能力的表現及學習的態度三個方面展開評價。

（一）理解程度的評價

理解程度的評價是對學生對反比例函數性質理解程度的評估，涉及概念的清晰度、與實際應用聯系的理解、對性質推理的掌握、對圖形和圖像的理解以及對問題的分析與解決能力等方面。概念的清晰度上，評價學生是否能夠準確、清晰地表述反比例函數的基本概念，如定義、性質等。對概念的準確理解是掌握反比例函數性質的基礎。與實際應用聯系的理解上，考查學生是否能夠將反比例函數性質與實際應用場景聯系起來，理解其在實際問題中的應用價值。能夠將理論知識與實際相結合，說明學生對反比例函數性質有更深層次的理解。對性質推理的掌握上，評價學生是否能夠根據已知條件，運用邏輯推理得出新的反比例函數性質或解決相關問題。對性質推理的掌握程度反映了學生的邏輯思維和理解深度。對圖形和圖像的理解上，評價學生是否能夠準確解讀和理解反比例函數的圖形和圖像，包括函數的增減性、對稱性等。對圖形和圖像的理解有助于學生更直觀地把握反比例函數的性質。對問題的分析與解決能力上，評價學生在面對與反比例函數性質相關的問題時，是否能夠準確分析問題的本質，并運用所學知識進行解決。這種能力體現了學生對反比例函數性質的深入理解和綜合運用能力。

（二）應用能力的評價

評價學生反比例函數性質的應用能力，需要綜合考慮他們的問題解決能力、思維靈活性、解題步驟的完整性以及錯誤識別與糾正能力。問題解決能力評價上，主要觀察學生是否能夠準確識別出需要使用反比例函數性質解決的問題，能否合理運用這些性質進行問題的分析與解答。學生能夠運用反比例函數的性質解決實際問題的能力，是評價其應用能力的重要標準。思維的靈活性上，考查學生在解決問題時，是否能夠靈活運用反比例函數的性質，進行問題的轉化與求解。具備思維靈活性的學生，往往能夠在面臨新問題時，迅速找到解決問題的策略。解題步驟完整性上，觀察學生在解題過程中，是否能夠清晰、完整地展示出運用反比例函數性質的步驟。一個完整、邏輯清晰的解題過程，能夠體現出學生對反比例函數性質的深入理解和熟練應用。錯誤識別與糾正上，觀察當學生在應用反比例函數性質時出錯，是否能夠及時發現并糾正錯誤，也是評價其應用能力的一個方面。具備錯誤識別與糾正能力的學生，往往能夠更快地提升自己的解題水平。

（三）解題技巧的評價

解題技巧的評價主要涉及學生在解題過程中所展示的方法、策略和效率，評價上主要涉及方法多樣性、策略合理性、運算準確性和問題分析與轉化能力等多個方面。方法多樣性上，評價學生是否能夠針對不同類型的問題，運用多種解題方法進行求解。擁有多樣解題方法的學生，展現了對反比例函數性質的深入理解和應用靈活度。策略合理性上，觀察學生在解題時，是否能夠選擇適當的策略，簡化問題，提高解題效率。合理的解題策略能夠減少不必要的計算和推理，更快地找到問題的解決方案。運算準確性上，評價學生在解題過程中的運算能力，包括計算準確性和處理復雜表達式的能力。高效準確的運算是解題技巧的重要組成部分，也體現了學生的數學基礎扎實程度。問題分析與轉化能力上，考查學生是否具備良好的問題分析和轉化能力，能否將復雜問題拆解為簡單的子問題，并運用反比例函數性質進行求解。這種能力有助于學生更好地解決實際問題，提高解題效率。

（四）學習態度的評價

學習態度的評價是對學生在學習過程中表現出來的學習態度、習慣、努力程度等方面的綜合評估。學習積極性上，評價學生是否對學習反比例函數性質保持積極的態度，是否愿意主動投入時間和精力進行學習。積極的學習態度有助于學生更好地理解和掌握反比例函數性質。課堂參與度上，觀察學生在課堂上的表現，是否積極參與討論、提問和解答問題。良好的課堂參與度表明學生對學習內容的關注度高，有助于提升學習效果。面對困難的態度上，考查學生在遇到學習困難時，是否能夠保持冷靜，積極尋求解決方法，而不是輕易放棄。面對困難時積極應對，展現了學生的學習毅力和解決問題的決心。學習方法與習慣上，評價學生在學習過程中是否能夠形成良好的學習方法和習慣，如定期復習、總結歸納、主動請教他人等。良好的學習方法和習慣有助于提高學習效率，鞏固學習成果。

四、 結論

綜上所述，有效落實素養立意與整體滲透，能全面提高教學質量，促進學生全面發展，并激發他們的學習興趣與自主學習能力。通過回顧一次函數并類比引出反比例函數，結合數據分析、推理想象與實踐驗證，數形結合思想得以深化。這種“猜想——推理——實踐驗證”的教學方式，緊密聯系了函數的三種表達方式，使學生能整體感受函數的魅力。

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