例談數形結合思想方法在數學教學中的應用與思考

［摘" 要］ 數形結合是一種重要的數學思想方法，“數”與“形”能從不同的角度反映事物的屬性. 不論是“以形助數”還是“以數輔形”，都能為更簡便、精準地理解數學知識和解決數學問題提供幫助. 文章用兩個教學實例分別從“避免‘唯形論’”“力求‘準確論’”“注重論證過程”三個角度展開思考與分析.

［關鍵詞］ 數形結合；教學應用；數學思想

作者簡介：陶小玉（1984—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.

數形結合既是一種數學思想，又是一種數學方法，指將數量關系轉化為圖形性質或將圖形性質轉化成數量關系的一種研究方式，隨著數與形的互相融合與轉化，逐漸形成的一種解題思想方法. 在學生以直觀形象思維占主導地位的背景下，數學教學離不開“形”的支持. 雖然直觀的“形”具備獨有的優勢，但它也存在粗略、不變等劣勢.

將簡潔的數量關系與直觀的形象特征相結合不僅能充分展示數學獨有的魅力，還能活躍學生的思維，為深度學習奠定基礎. 結合日常聽課與同行交流等反饋情況，筆者發現教師雖然能認識到數形結合思想方法的重要性，但對其研究的深度尚不足. 為此，筆者從兩個案例出發，對數形結合思想方法在高中數學教學中的應用展開剖析與思考.

案例展示

類比分析：應用解法1的學生從函數著手，借助導數以及介值定理解決了問題. 筆者在巡視學生的解題情況時發現，他們在分類討論上做得很精準，在判斷0lt;mlt;時函數的最大值大于0上也沒有問題，但在探尋函數值小于0的x值上出現了障礙. 一些思維能力較強的學生，探尋到x=1和x=后，用規范的格式呈現出來，順利解決了問題.

應用解法2的學生比應用解法1的學生多一些，這部分學生思維的障礙點在于作函數y=的圖象——圖2、圖3、圖4都是學生作出來的函數圖象. 逐個觀察，作出圖2的學生顯然已經理解并掌握了函數的單調性，明確了該如何利用其性質與極值點作圖，但并沒有掌握定義域邊界上的作圖要領，導致錯誤發生；作出圖3的學生雖然掌握了x→+∞時函數圖象的走勢，但沒有把握住曲線的凹凸情況，導致結論錯誤；作出圖4的學生，從整體上來說很不錯，但與實際圖象還存在一定的差異.

借助數形結合思想方法進行解題的關鍵在于建立數與形的對應關系，只有把握好數與形的轉化功能，才能從真正意義上發揮數形結合思想方法的應用價值，將復雜的問題簡約化、明朗化. 數與形的合理轉化建立在對知識深度理解與靈活應用的基礎上，有些問題的表面雖然不能反映出數形轉化的可能性，但通過隱含條件的挖掘與解題思路的拓寬，也能另辟蹊徑.

由于筆者在借助幾何畫板展示圖象時，忽略了動態連貫的過程，因此僅有部分認知水平較高的學生理解了其中的奧秘，還有部分學生沒能理解點A，B從拋物線對稱軸右側逐漸趨向并跨越對稱軸時函數最大值與最小值之差（高度差）在不斷縮小. 發現這個問題后，筆者便借助幾何畫板的動畫演示功能，將（t-1）向左拖動，讓學生直觀看到區間［t-1，t+1］內最大值和最小值之差的變化，使學生更好地理解高度差最小的意義.

1. 避免“唯形論”

綜上兩個實例，不難發現數形結合思想方法在日常教學中的應用價值，學生也存在較好的主動應用意識，解題中能將方程、函數、圖象等進行數與形的轉化，這是值得欣慰的地方. 同時發現有的學生過于側重圖形的應用，將大部分精力放在如何利用圖形優化解題過程，而忽略了圖形的本質，導致畫圖時出現精確度不夠、不規范、尺寸失調或缺乏數理論證等情況，因此產生誤判或爭議.

或許迫于升學壓力，不少教師在引導學生借助數形結合思想方法進行解題時，常常存在功利的心態，側重圖形的應用，而對圖形的生成視而不見，導致學生無法深刻理解數形結合中的“結合”二字的本質含義. 所謂的數形結合是精準的數與清晰的形相結合，數決定形，而形又能助數. 切忌重形輕數，若遇到復雜的圖形時，則要回歸到數中加以剖析.

在案例1中，類似函數y=的圖象，對于學生而言確實比較復雜. 學生雖然可以判斷出曲線的大致走向，但要畫出精準的函數圖象存在一定的困難，這涉及函數二階導數以及曲線凹凸相關知識，超出了本節課的教學范圍，因此筆者倡導應用解法1解題. 當然，對于學有余力的學生，可以補充這方面的內容，體現出新課標所倡導的因材施教與差異化教學的理念.

2. 力求“準確論”

數學是一門嚴謹的學科，不論是數據還是圖形都講究精準化，教學中遇到徒手作圖的情況，需從準確、美觀、規范著手. 教材上所呈現的圖形均具有精準美觀的特點，學生可作為范本使用. 對于基本功扎實的學生，面對簡單的函數圖象時，徒手作圖并沒有多大問題，但面對復雜的函數圖象時，則要慎重考慮，徒手作圖往往難以達到較好的效果.

若想將復雜的圖象準確地畫出來，需要借助現代化的信息技術，如圖形計算器、幾何畫板等，學生能從這些直觀、精準的圖中獲得直接、清晰的學習經驗，避免錯誤發生（例如圖2、圖3所示的錯誤，圖4雖然也不夠精確，但基本呈現了圖形的大趨勢）.

眾所周知，教師是課堂的引導者，教師在課堂中的作圖習慣，直接影響學生的作圖態度. 清晰、準確的作圖習慣是實現數形結合的基礎，因此教師示范作圖應做到規范、嚴謹，借助圓規、直尺等工具規范作圖，讓圖形的形狀、比例盡可能精準，切忌為了縮短作圖時間而大致畫圖.

在日常練習中，筆者發現有不少學生喜歡“裸畫”圖形，出現不完整的坐標系、無數據的圖形、無解釋的符號等. 由于作出來的圖形充斥著大量問題，導致各種錯誤發生. 出現這些問題的主要原因在于教師引導學生作圖時沒有力求將“準確論”貫徹落實到位，殊不知，精準的圖形是應用數形結合思想方法的前提與保障.

3. 注重論證過程

從案例2中不難發現，生甲準確地掌握了數形結合思想方法，他將函數f（x）=mx2+20x+14（mgt;0）的圖象與y=mx2（mgt;0）的圖象實施類比分析，進而解決了問題. 這種方法反映他對基本圖象性質已經有了較好的理解，而美中不足的是缺乏當（t+1）與（t-1）關于原點對稱時，對圖象性質進行周密論證的過程.

不少教師對圖象性質的論證，一般采用的是直觀觀察、口頭解釋等方法，少有教師帶領學生進行數據論證和驗算. 若從應試的角度出發，用數形結合思想方法解答填空題或選擇題，基礎扎實的學生基本能順利完成，但遇到一些有較復雜的函數圖象的問題時，難免會因為對圖象性質缺乏深刻理解而漏洞百出.

實踐證明，教師應注重對圖象性質進行精準論證的過程，為學生用數學方法和準確的數據作圖奠定基礎. 若數與形的辯證關系出現差錯，必然帶來錯誤的判斷，這也是一再強調“以數輔形”的價值與意義. 一旦擁有嚴謹的論證過程作為解題的基礎，數形結合就能達到完美的境界.

總之，形的直觀性特征能將數的抽象性特征生動、直觀地展現出來，將復雜的抽象思維轉化成直觀形象思維，有利于學生掌握知識的本質，同時數的精確性又能彌補形的不足. 在教學中，教師應有意識地將兩者結合在一起，帶領學生從不同角度全面、準確地考量問題，為提升學生的解題能力、發展學生的創新意識奠定基礎.