利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決最值問(wèn)題

陳禮弦

摘 要：文章立足于初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合典型實(shí)例詳細(xì)論述了利用“兩點(diǎn)之間線段最短”結(jié)論解決最值問(wèn)題的主要思路，旨在于為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供嶄新思路.與此同時(shí)，通過(guò)解題活動(dòng)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；線段最短；最值問(wèn)題

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）08-0013-03

與線段之和或差有關(guān)的幾何最值問(wèn)題是中考熱點(diǎn)，通常以中考?jí)狠S題的形式出現(xiàn)，具有一定的選拔性功能，對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度.這類問(wèn)題是教學(xué)的難點(diǎn)，是核心素養(yǎng)的重點(diǎn)考查對(duì)象[1].在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師該如何引導(dǎo)學(xué)生利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決最值問(wèn)題呢？根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，只要弄清三個(gè)數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)便會(huì)收到事半功倍之效.

1 模型1 “一線兩點(diǎn)”型

1.1 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求線段和的最小值

1.1.1 點(diǎn)在直線兩側(cè)時(shí)，線段和的最小值問(wèn)題

例1 如圖1，兩定點(diǎn)C、D位于直線a兩側(cè)，在直線a上找一點(diǎn)M，使得MC+MD的值最小.

解析 如圖2，連接CD交直線a于點(diǎn)M，點(diǎn)M就是所找的點(diǎn).理由是“兩點(diǎn)之間線段最短”.

1.1.2 點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，線段和的最小值問(wèn)題

例2 如圖3，兩定點(diǎn)C、D位于直線a的同側(cè)，在直線a上找一點(diǎn)M，使得MC+MD的值最小.

解析 如圖4，作點(diǎn)D關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′與直線a交于點(diǎn)M，點(diǎn)M就是所找的點(diǎn).顯然，將直線a同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)，便可以利用點(diǎn)在直線兩側(cè)時(shí)線段和的最小值問(wèn)題的處理方法解決最值問(wèn)題.

1.1.3 模型應(yīng)用

例3 如圖5，已知△DEF中，DE=DE，GH是DE的垂直平分線，M是GH上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，如果DE=13，△DEF的周長(zhǎng)是36，求EM+MN的最小值.

解析 如圖6，連接DM，MN.因?yàn)镈E=DF=13，△DEF的周長(zhǎng)是36，所以EF=36-2×13

1.2 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求線段差最大值

1.2.1 點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，線段差的最大值問(wèn)題

例4 如圖7，兩定點(diǎn)M，N位于直線b的同側(cè)，在直線b上找一點(diǎn)H，使得|HM-HN|的值最大.

解析 如圖8，連接MN并延長(zhǎng)與直線b交于點(diǎn)H，點(diǎn)H就是所找的點(diǎn).

1.2.2 點(diǎn)在直線兩側(cè)時(shí)，線段差的最大值問(wèn)題

例5 如圖9，兩定點(diǎn)B，C位于直線l的兩側(cè)，在直線n上找一點(diǎn)M，使得︱MB-MC|的值最大.

解析 如圖10，作點(diǎn)C關(guān)于直線n的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′并延長(zhǎng)與直線n交于點(diǎn)M，點(diǎn)M就是所找的點(diǎn).顯然，將已知直線兩側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，便可以用同側(cè)線段差最大值的方法解決問(wèn)題.

1.2.3 模型應(yīng)用

例6 如圖11，在正方形DEFG中，DE=6，點(diǎn)I是對(duì)角線EG上靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn)，點(diǎn)H是DG邊上的一點(diǎn)，且GH=2.J為EF上一點(diǎn)，連接JH、JI.

①在圖中畫(huà)JH-JI的最大值時(shí)點(diǎn)J的位置（為區(qū)分點(diǎn)J，請(qǐng)用字母J標(biāo)記）；

②求JH-JI的最大值.

解析 如圖12，連接HI并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)J′，則點(diǎn)J′即為所求作的點(diǎn).

2 模型2 “一定兩線”型

2.1 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求周長(zhǎng)最小值

例7 如圖13，點(diǎn)D是∠BOC的內(nèi)部一定點(diǎn)，在OB上找一點(diǎn)N，在OC上找一點(diǎn)M，使得△DMN的周長(zhǎng)最小.

解析 如圖14，分別作點(diǎn)D關(guān)于OB、OC的對(duì)稱點(diǎn)D′、D″，連接D′D″，交OB、OC于點(diǎn)N、M，點(diǎn)N、M便是所找的點(diǎn).

2.2 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求線段和的最小值

例8 如圖15，點(diǎn)M是∠DEF的內(nèi)部一定點(diǎn)M，在ED上找一點(diǎn)A，在EF上找一點(diǎn)B，使得MB+AB的值最小.

解析 如圖16，作點(diǎn)M關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)M′，過(guò)點(diǎn)M′作ED的垂線，分別與ED、EF交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B是所找的點(diǎn).

2.3 模型應(yīng)用

例9 如圖17，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，DC=6，BC=8，DE是∠BDC的平分線.若M、N分別是DC、DE上的動(dòng)點(diǎn)，求NC+NM的最小值.

3 模型3 “一定長(zhǎng)，兩定點(diǎn)”型

3.1 異側(cè)線段和最小值問(wèn)題

例10 如圖19，已知直線a∥b，直線a和直線b之間距離為c，在直線a和直線b上分別找點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，使AB⊥a，且MA+AB+BN的值最小.

解析 如圖20，將點(diǎn)M向下平移c個(gè)單位到M′，連接M′N交直線b于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BA⊥l1于點(diǎn)A，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)是所找的點(diǎn).

3.2 同側(cè)線段和的最小值問(wèn)題

例11 如圖21，在直線a上找A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），使得AB=k，且MA+AB+BN的值最小.

解析 如圖22，將點(diǎn)M向右平移k個(gè)單位到點(diǎn)M′，作點(diǎn)M′關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)M″，連接M″N交直線a于點(diǎn)B，將點(diǎn)B向左平移k個(gè)單位到點(diǎn)A，A、B兩點(diǎn)是所找的點(diǎn).

4 結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷并弄清“一線兩點(diǎn)”型、“一定兩線”型、“一定長(zhǎng)，兩定點(diǎn)”型最值問(wèn)題的求解方法，不僅能夠提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且能夠使教師的教學(xué)效果達(dá)到“教是為了不教”之目的[2].

參考文獻(xiàn)：

［1］ 孔令志， 馬學(xué)斌. 2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題高頻熱點(diǎn)問(wèn)題賞析（4）線段和的最小值問(wèn)題：兩點(diǎn)之間線段最短[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）， 2020（12）：37-40.

[2] 葉婷婷. 初中幾何“線段最值”問(wèn)題的求解策略[J].啟迪與智慧（上）， 2020（4）：96.