二次函數五大問題在高中數學中的研究應用

【摘要】當前，新課程標準改革如火如荼，高中數學教學中更加重視知識點本身的學習，二次函數就是其中的典型.在初中階段的學習中，二次函數知識點是一大難點，甚至于在中考中屬于壓軸大題.而在高中階段，二次函數只能算是數學學習的起點，但是其在整個函數板塊中的地位是至關重要的.本文整合二次函數的五大問題，探究其定義域與值域、單調性、奇偶性、韋達定理、特殊點，深入研究如何更好地教學以及反思教學中會出現的問題.

【關鍵詞】新課標；高中數學；二次函數

1" 定義域與值域

高中二次函數的一般形式為f（x）=ax2+bx+c，其中a，b，c 為常數，且a≠0.

定義域：二次函數的定義域是在題目范圍規定下，所有有定義的 x 的整體取值范圍.對于一般形式的二次函數，定義域為實數集R，即 x 可以是任意實數.

值域：二次函數的值域，是指所有的關于x的定義域輸出到函數得到值的一個集合.對于一般形式的二次函數，值域為h′，+∞（當a＞0時）或－∞，c（當a＜0時），其中h′=f（－b2a）.這是因為二次函數的圖象是一個拋物線，而h′是拋物線頂點的縱坐標值.當a＞0時，函數開口向上；當a＜0時，函數開口向下.

可以說定義域與值域是二次函數的基礎，也是函數問題的根基.

2" 單調性

對于函數來說，單調性表現了函數的因變量伴隨著自變量的增大而增大（或減小）.在高中數學中，單調性知識點貫穿整個函數的始終，即使是在難度最高的導數中，也占有著極高的地位.

探究二次函數的單調性，要了解其的對稱軸以及頂點.因為二次函數的單調性只有兩種情況，一種是伴隨著x值增大，f（x）值先遞增再遞減；另一種是伴隨著x值增大，f（x）值先遞減再遞增.而從遞增（遞減）到遞減（遞增）的轉折點就是二次函數的頂點.

可以分兩種情況討論，以標準二次函數方程f（x）=ax2+bx+c為例.

（1）a＞0

在這種情況下，函數圖象開口向上，而頂點在整個二次函數圖象的最低谷處，整個函數的趨勢是先下降后上升，函數對稱軸為x=-b2a，二次函數頂點為－b2a，4ac－b24a.

可得，當x＜－b2a時，函數單調遞減；而當x≥－b2a時，函數單調遞增.

（2）a＜0

在這種情況下，函數圖象開口向下，二次函數的頂點是最高峰處，其頂點的因變量值是整個函數值域中最大的值.函數圖象趨勢是先上升后下降，函數對稱軸為x=-b2a，二次函數頂點為－b2a，4ac－b24a.

可得，當x＜－b2a時，函數單調遞增；而當x≥－b2a時，函數單調遞減.

（3）a=0

這種情況無需討論，因為當a=0時，函數的二次項ax2由于系數為0，所以二次項整體為0，這樣二次函數會變為一次函數或常數函數（b=0的情況）.

3" 奇偶性

在探究二次函數的奇偶性之前，我們需要先探究奇偶性的本質.

奇偶性可以說是函數的基本性質之一，函數在符合一定條件下可以被稱作奇函數或偶函數.

（1）偶函數：在函數f（x）中，在其定義域內任取一個x值，都滿足f（－x）=f（x）這一條件，那么函數f（x）就叫作偶函數.

（2）奇函數：在函數f（x）中，在其定義域內任取一個x值，都滿足f（－x）=－f（x）這一條件，那么函數f（x）就叫作奇函數.

對于二次函數奇偶性的探究，可以伴隨著圖象特征讓學生理解.

從圖象中得知，奇函數的圖象是一個關于原點成中心對稱的圖形，偶函數的圖象則關于y軸對稱.對于二次函數f（x）=ax2+bx+c來說，其何種情況下也不可能是奇函數，因為二次函數是一個軸對稱函數，其關于對稱軸兩邊對稱，不可能關于原點成中心對稱；同時二次函數頂點左右兩側單調性相反，而奇函數在其的對稱區間內的單調性一致，所以二次函數永遠不可能是奇函數.

而由于二次函數圖象是關于對稱軸兩邊對稱，當其對稱軸為y軸時，二次函數便為偶函數.可以用頂點中橫坐標的值x=－b2a判斷，函數對稱軸為y軸，則頂點中的橫坐標x值為0，因為二次函數中a≠0，可得b=0.即當二次函數中一次項系數為0時，其便是偶函數.

4" 韋達定理

對于韋達定理，其本質是探究一元二次方程根與系數的關系.也就是當f（x）=0時，探究ax2+bx+c=0這個一元二次方程的解.亦可以說是在二次函數f（x）=ax2+bx+c中，探究函數與x軸交點的情況，

在初中數學中，探究方程求根的主要方法是配方法，通過未知量系數的變換以及配比一次項系數的步驟，可以得到x1=－b+b2－4ac2a，x2=－b－b2－4ac2a.將兩者相加，得出x1+x2=－ba.將兩者相乘，得到x1·x2=ca.

而在考試中，會增加難度，可能會涉及到x1－x2等之類的問題讓學生求解，這種就需要將x1+x2及x1－x2都進行平方，以此來進行計算并得出結果.所以韋達定理是基礎，打好基礎可以延伸許多不同的方向.

5" 特殊點

以最為標準的二次函數f（x）=ax2+bx+c為例.

若要討論二次函數的特殊點，可以考慮函數本身與x軸、y軸相交得到的點，這樣的點可以稱為特殊點，同時特殊點也是考試的重點.

需要討論在不同情況下，函數中可值得深入研究的特殊點.同時需要排除a＝0的情況.因為若a＝0，函數為一次函數或常數函數，這樣與我們探究的二次函數不符.

本文重點探究二次函數開口向上的情況，即a＞0的條件下，不同情況下的不同特殊點.

（1）b=0，c=0，可得函數式子為f（x）=ax2.

可以從公式探究入手，這種情況下的的函數與坐標軸只相交于原點.所以特殊點為0，0.

（2）b=0，c＞0，可得函數為f（x）=ax2+c.

根據初中學過的判別根的存在性知識Δ=b2－4ac來判斷，由于Δ＜0，可得知方程無根，所以函數不與x軸相交.

方程關于y軸對稱，與y軸相交的點為函數頂點，此函數的特殊點為0，c.

（3）b=0，c＜0，可得函數為f（x）=ax2+c.

從而可以推導出特殊點是（0，c），

－－ca，0，－ca，0這三個點.

（4）b＞0，c=0，可得函數為f（x）=ax2+bx.

由于c=0，可以求得函數與坐標軸相交于原點.同時二次函數對稱軸為x=－b2a，由于a、b均大于0，可得其對稱軸在x軸的負半軸上.運用Δ=b2－4ac判斷出，在f（x）=0的情況下，方程有兩個根.而函數圖象開口向上，可以判斷出另一個根必在x的負半軸上.

求解方程，推導出特殊點是0，0，－ba，0.

（5）b＞0，c＞0，可得函數為f（x）=ax2+bx+c.

此函數為標準的二次函數，首先考慮函數與y軸的交點，易推出.

再考慮與x軸的相交情況，運用Δ=b2－4ac進行判斷，因為a、b、c均為正數，無法判斷出Δ的范圍，也就是無法判斷出方程是否有根，所以需要分不同情況來進一步探討.

當Δ=0時，方程有一個根，經過常數代換求解可得x=－b2a，此值便是函數與x軸相交的橫坐標值.函數特殊點為0，c，－b2a，0.

當Δ＜0時，方程無根，函數與x軸不相交.函數特殊點為0，c.

當Δ＞0時，方程有兩個根，求解ax2+bx+c=0，有兩個解.函數特殊點為0，c，－b-b2－4ac2a，0，－b+b2－4ac2a，0.

（6）b＞0，c＜0，可得函數為f（x）=ax2+bx+c.

首先因為c＜0，可以知道函數與y軸負半軸相交于一點.再運用Δ=b2－4ac判斷，因為a＞0，c＜0，可推斷出－4ac必大于0，從而Δ＞0，方程有兩個根，即函數與x軸有兩個交點.同時二次函數對稱軸為x=－b2a，由于a＞0且b＞0，可知函數對稱軸在x軸的負半軸上.通過二次函數的圖象特征以及函數與y軸負半軸相交，可推斷出函數與x軸的正半軸和負半軸各交于一點.

最終求解方程，函數特殊點為0，c，－b-b2－4ac2a，0，－b+b2－4ac2a，0.

（7）b＜0，c=0，可得函數為f（x）=ax2+bx.

在c=0的情況下，可求得二次函數與坐標軸交于原點處.而二次函數對稱軸為x=－b2a，由于a＞0且b＜0，可知對稱軸在x軸的正半軸上.根據Δ=b2－4ac，可知方程ax2+bx=0有兩個根.根據對稱軸，可判斷出另一個根必在x軸的正半軸上.

求解方程，推導出特殊點為0，0，－ba，0.

（8）b＜0，c＞0，可得函數為f（x）=ax2+bx+c.

此函數為標準的二次函數，考慮函數與y軸的交點，由于c＞0，在x=0的情況下，f（x）=c，可知函數與y軸交于0，c.

再考慮函數與x軸是否相交，用Δ=b2－4ac判斷，由于b2＞0且4ac＞0，無法判斷出Δ的大小，即無法判斷出方程是否有根，所以需要進一步探討根的存在情況.

當Δ=0時，方程有一個根，與x軸交于一點，求解可得x=－b2a，此值便是函數與x軸相交點的橫坐標值.函數特殊點為0，c，－b2a，0.

當Δ＜0時，方程無根，函數只與y軸相交，與x軸不相交.函數特殊點為0，c.

當Δ＞0時，方程有兩個根，函數與x軸相交于兩個點，求解ax2+bx+c=0后得兩個解，且可知相交的兩個點都在x軸的正半軸上.函數特殊點為0，c，－b-b2－4ac2a，0，－b+b2－4ac2a，0.

（9）b＜0，c＜0，可得函數為f（x）=ax2+bx+c.

運用公式Δ=b2－4ac判斷，因為a＞0且c＜0，可推斷出－4ac必大于0，從而求得Δ＞0，方程有兩個根，即二次函數與x軸有兩個交點.因為a＞0且b＜0，根據函數對稱軸x=－b2a，可知函數對稱軸在x軸的正半軸上.通過二次函數圖象開口向上以及與y軸負半軸相交，可推斷出函數與x軸的正半軸和負半軸各交于一點.

求解方程，函數特殊點為0，c，

－b-b2－4ac2a，0，－b+b2－4ac2a，0.