基于直觀想象素養(yǎng)視角的高中解析幾何概念教學(xué)實(shí)踐研究

摘 要：本文以解析幾何拋物線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程為例，深入研究教學(xué)中直觀想象的滲透，進(jìn)而分析如何有效培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；直觀想象；核心素養(yǎng)；教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）06-0035-03

直觀想象是指運(yùn)用生活中實(shí)際情境，利用圖形直觀感知，借助幾何直觀和空間想象感知事物變化，從而認(rèn)識(shí)、了解并解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力是教學(xué)中一直熱議的話題，本文以解析幾何拋物線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程為例，深入研究教學(xué)中直觀想象素養(yǎng)的滲透和培養(yǎng).

1 基于直觀想象的教學(xué)實(shí)踐探究

1.1? 確立教學(xué)目標(biāo)，明確培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的方向

在課堂教學(xué)過程當(dāng)中，整個(gè)教學(xué)過程的實(shí)施都是以教學(xué)目標(biāo)為基調(diào)進(jìn)行的.因此，想要培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象，就必須先確定所要達(dá)到的目標(biāo)，這就是培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力所要達(dá)到的目的.

（1）讓學(xué)生充分理解拋物線的定義，并會(huì)畫出拋物線的圖形，熟悉掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、會(huì)表示拋物線的焦點(diǎn)以及表示拋物線的準(zhǔn)線方程；并會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用.

（2）從具體的實(shí)際情境中，抽象出拋物線的模型；化抽象為具象，化無形為有形.

（3）在學(xué)習(xí)拋物線中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法解決與拋物線有關(guān)的生活問題.

1.2 創(chuàng)設(shè)情境，迸發(fā)直觀洞察，激起學(xué)生直觀想象的興趣

教師在創(chuàng)設(shè)情境的時(shí)候，要盡可能地創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實(shí)際生活相符合的情境.利用圖片、視頻或數(shù)學(xué)模型展示，讓學(xué)生直觀感受拋物線方程的產(chǎn)生，以最快速度理解圖形，從而真正掌握拋物線的生成過程，找到數(shù)形之間的聯(lián)系[1].這種利用幾何圖形來認(rèn)識(shí)、描述和理解數(shù)學(xué)問題，再進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和分析的過程，非常符合高中生的學(xué)習(xí)特點(diǎn).

【實(shí)際情境】在本章解析幾何的學(xué)習(xí)中，目前已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線，通過前面的學(xué)習(xí)探究可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l（不過點(diǎn)F）的距離之比為k.

當(dāng)0

當(dāng)k>1 時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為雙曲線；

當(dāng)k=1時(shí)，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與動(dòng)點(diǎn)M到定直線l的距離相等時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)是什么形狀？

利用信息技術(shù)作圖我們一起來探究，如圖2，F(xiàn)為一定點(diǎn)，l是不經(jīng)過點(diǎn)F的定直線，點(diǎn)H為直線l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點(diǎn)M.用鼠標(biāo)拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)H，觀察可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng).

通過對(duì)生活實(shí)際情境的創(chuàng)設(shè)，在教學(xué)實(shí)踐中，可以進(jìn)一步提高學(xué)生的直觀發(fā)現(xiàn)能力，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1.3 問題探究，引導(dǎo)學(xué)生在思考中聯(lián)想到直觀想象

讓學(xué)生們借助三角板和直尺，親自體驗(yàn)自己畫出拋物線，在畫圖中感知拋物線必備的條件.動(dòng)圖展示作圖過程，提出問題，可以將直尺，釘子，筆尖轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，分別看成何種數(shù)學(xué)圖形，引導(dǎo)學(xué)生在整個(gè)作圖過程中從具體事物抽象概括出拋物線定義幾幾何特征.

【問題串】問題1：它的軌跡是什么形狀？你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎？

（活動(dòng)預(yù)設(shè)）拋物線.

問題2：你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎？

（活動(dòng)預(yù)設(shè)）在平面內(nèi)，通過觀察發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與動(dòng)點(diǎn)M到定直線l的距離相等，即|MF|=|MH|

問題3：MF，MH分別什么呢？

（活動(dòng)預(yù)設(shè)）通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生觀察動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，將數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，利用幾何特征表達(dá)動(dòng)點(diǎn)軌跡，從而引出拋物線的定義.

追問1：如果定點(diǎn)F在直線l上呢？所得到的軌跡是否依舊為一條拋物線？若不是拋物線的話，應(yīng)是什么圖形？

問題4：在現(xiàn)實(shí)中生活中，拋物線形狀的圖形廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活中，能否開動(dòng)腦筋想一想在現(xiàn)實(shí)生活中存在的拋物線形狀都有什么？

在教學(xué)中，學(xué)生作為課堂的主體，作為教師，只是課堂中引導(dǎo)學(xué)生的輔助者，起著引導(dǎo)學(xué)生的作用.因此，在課堂中教師以提問的方式或者問題串的形式進(jìn)行教學(xué)，既符合建構(gòu)主義的要求，又運(yùn)用了啟發(fā)性原則，既能促使學(xué)生在思考問題的過程中進(jìn)行知識(shí)的探索，又能幫助學(xué)生在知識(shí)的探索中聯(lián)想到直觀想象，為今后高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中直觀想象的培養(yǎng)奠定了基礎(chǔ)[2].

1.4 建立數(shù)形聯(lián)系，類比其他拋物線建系，展現(xiàn)幾何直觀，構(gòu)建概念

在數(shù)學(xué)問題中用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系，降低復(fù)雜數(shù)值較多的數(shù)學(xué)問題的難度；同理運(yùn)用代數(shù)知識(shí)解決幾何問題，通過代數(shù)運(yùn)算對(duì)幾何知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)，使幾何問題化難為易，進(jìn)而找到更簡(jiǎn)便有效的解題方法，同時(shí)使學(xué)生更直觀、更準(zhǔn)確地理解幾何問題.

【數(shù)形結(jié)合】問題5 對(duì)橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程進(jìn)行比較，你認(rèn)為如何建立坐標(biāo)系，可能使所求拋物線的方程形式簡(jiǎn)單？

（活動(dòng)預(yù)設(shè)）（1）協(xié)同探究，以小組為單位；（2）小組探討、畫圖探究，嘗試多種建系方法，并在多種建系方法，仍會(huì)出現(xiàn)如下圖3這樣的3種情況.在圖3中選取，何種建系會(huì)使得拋物線方程的形式最為簡(jiǎn)單.

繼續(xù)觀察，容易想到，x軸與拋物線的交點(diǎn)是圖中KF的中點(diǎn)，可將其設(shè)置為原點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可以通過嘗試畫圖的方式，可以直觀感知如何建系使得各元素以及曲線的方程形式簡(jiǎn)單.

問題6 設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，（a）用p表示焦點(diǎn)坐標(biāo)；（b）用p可否表示準(zhǔn)線方程.（c）動(dòng)點(diǎn)M軌跡即為拋物線，這一點(diǎn)滿足的方程如何用p表示.

設(shè)計(jì)意圖：（1）將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用數(shù)量關(guān)系表示；（2）感受直接法求軌跡方程.

1.5 信息技術(shù)融合，先進(jìn)的教學(xué)手段創(chuàng)造培養(yǎng)直觀想象的機(jī)會(huì)

目前學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)軟件動(dòng)圖動(dòng)畫等都很感興趣，優(yōu)化教學(xué)手段，利用幾何畫板和GGB等數(shù)學(xué)軟件，這樣可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

動(dòng)圖展示拋物線形成過程，形象直觀演示拋物線動(dòng)態(tài)變化過程有效突破教學(xué)難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生分析較為復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)軌跡或拋物線面積、最值等習(xí)題.如下題：

將拋物線y=1／2x2平移得到拋物線M，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-6，0）和原點(diǎn)O（0，0），它的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，它的對(duì)稱軸與拋物線y=1／2x2交于點(diǎn)Q，求圖中陰影部分的面積.

由動(dòng)圖可知，圖4左下部分面積進(jìn)行可平移至圖5，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可至圖6，由此可知圖4中陰影部分面積即為圖6中矩形的面積，即3×1／2×（-3）2=27／2.

而針對(duì)一些基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生，可以考慮錄制例題的微課或者定義生成的課件等提供給學(xué)生，以便于學(xué)生在課后自主學(xué)習(xí)鞏固．課件或微課的動(dòng)態(tài)演示，有效地展示動(dòng)點(diǎn)M軌跡的動(dòng)態(tài)過程如圖7.

在講授新課的過程中，要多注重學(xué)生的直觀感知，合理利用數(shù)學(xué)軟件，通過對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡形成而進(jìn)行觀察、推理、計(jì)算，是學(xué)生掌握理解解析幾何這一部分的難點(diǎn).同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生多畫圖，教師在授課時(shí)也應(yīng)注重學(xué)生作圖能力的培養(yǎng)，才能夠做到準(zhǔn)確識(shí)圖、用圖、解圖.并且在解題教學(xué)中，有意識(shí)地從幾何直觀方面滲透對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)[3].

2 教學(xué)實(shí)踐總結(jié)及教學(xué)實(shí)踐反思

拋物線概念的形成是本節(jié)課的難點(diǎn)和重點(diǎn).在教學(xué)實(shí)踐中，引導(dǎo)學(xué)生將拋物線與所學(xué)過熟知的二次函數(shù)進(jìn)行對(duì)比.通過變換坐標(biāo)系的建立，一方面加強(qiáng)學(xué)生在求拋物線方程的計(jì)算能力，另一方面將拋物線與二次函數(shù)聯(lián)系起來，讓學(xué)生理解二次函數(shù)也是拋物線，知道二次函數(shù)和解析幾何中拋物線的共通之處和不同的表達(dá)形式，使學(xué)生有一種“頓悟”的感覺［4］.

學(xué)生自主探究對(duì)比橢圓、雙曲線、拋物線的區(qū)別與聯(lián)系，自行類比四種不同拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.關(guān)鍵要讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用類比和數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題.教學(xué)實(shí)踐結(jié)束時(shí)可采用拋物線形拱橋?yàn)楸尘埃梢允箤W(xué)生再一次直觀感受拋物線的形成［5］.

在例題的基礎(chǔ)上增加了變式訓(xùn)練，師生共同分析，小組展開討論.在分析、討論、總結(jié)的過程中，使學(xué)生深入理解拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，了解概念和定理的形成過程．提高了學(xué)生的探究能力，促進(jìn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，提高課堂效率．

3 結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)．通過直觀想象，可以將數(shù)學(xué)概念化抽象于具體，數(shù)學(xué)習(xí)題化繁為簡(jiǎn)．使原本復(fù)雜無從下手的題目能夠更快且準(zhǔn)確地找到解題思路.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 林京榕，王長(zhǎng)平，鄭雪靜，陳清華.高中生直觀想象素養(yǎng)的測(cè)量與評(píng)價(jià)研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020（4）：7-12.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 史寧中．學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)：以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例［J］．中小學(xué)管理，2017（1）：35-37.

［4］ 章建躍．概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2010（1）：25-29.

［5］ 馬志鋼.基于直觀想象素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（17）：9-11.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-25

作者簡(jiǎn)介：馮立坤，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃 2021 年度課題“深度學(xué)習(xí)視域下信息技術(shù)融入幾何與代數(shù)主題的實(shí)踐研究”的研究成果之一（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：FJJKZX21-500）