例談高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的落實(shí)

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)還要幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的紐帶，是將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)建模能夠在提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有重要意義。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)建模的融入，助力數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。基于此，本文分析了數(shù)學(xué)建模過程，并結(jié)合教學(xué)案例探討高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)建模的策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模" 高中數(shù)學(xué)" 教學(xué)方法" 課堂教學(xué)

引言

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，數(shù)學(xué)建模是指將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并使用數(shù)學(xué)方法和技巧對(duì)其進(jìn)行分析和求解的過程。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)與建模能力，而課堂則是教學(xué)的主陣地，因此在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)培養(yǎng)至關(guān)重要。教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生發(fā)展需求，積極探索高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的有效方法，以此來提升教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是指將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并使用數(shù)學(xué)方法和技巧對(duì)其進(jìn)行分析和求解的過程。數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)是通過建立合適的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的理解、預(yù)測、優(yōu)化和決策等。通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生可以深入理解問題的本質(zhì)，提升自身的學(xué)習(xí)效率與效果。可以將數(shù)學(xué)建模看作是一種將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析和求解的技術(shù)和方法。它是理解和解決實(shí)際問題的重要工具，對(duì)于提升教學(xué)質(zhì)量以及促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展具有重要意義。數(shù)學(xué)建模過程主要包括以下幾個(gè)步驟：

（一）理解問題

首先充分理解實(shí)際問題，明確問題的背景、目標(biāo)和約束條件等。在此基礎(chǔ)上再結(jié)合學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)問題情境，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)問題之間的認(rèn)識(shí)。以函數(shù)的單調(diào)性為例，教師可以結(jié)合某一時(shí)間段的溫度變化特點(diǎn)來引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

（二）建立數(shù)學(xué)模型

根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇合適的數(shù)學(xué)方法和技巧建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型可以是數(shù)學(xué)方程、幾何圖形、概率統(tǒng)計(jì)模型等，具體形式根據(jù)問題的性質(zhì)而定。以函數(shù)的概念為例，教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合問題情境，找到集合與對(duì)應(yīng)的關(guān)系，找出實(shí)例中蘊(yùn)含的共同規(guī)律，分析其共同屬性，以此來驗(yàn)證猜想，最終抽象概括出函數(shù)基本模型。這種方式可以讓學(xué)生親歷知識(shí)的形成過程，在學(xué)習(xí)與探究過程中獲得思考經(jīng)驗(yàn)。

（三）模型分析

對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，探索模型的性質(zhì)和解的特點(diǎn)。在此過程中會(huì)涉及數(shù)學(xué)推理、計(jì)算、優(yōu)化等過程，以求得問題的解或者對(duì)問題進(jìn)行更深入的思考。根據(jù)模型分析的結(jié)果，將數(shù)學(xué)模型的解釋與實(shí)際問題聯(lián)系起來，給出解釋和建議。如在完成等差數(shù)列求和相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)之后，學(xué)生應(yīng)該能夠應(yīng)用求和公式快速求解1+2+3+…+100的值，并認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

（四）模型驗(yàn)證和優(yōu)化

對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證和調(diào)整，與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，以確保模型的準(zhǔn)確性和可靠性。如果模型存在不足之處，需要優(yōu)化模型或者重新建立模型。

二、高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的落實(shí)

以相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模案例作為輔助，會(huì)對(duì)教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)效果產(chǎn)生重要影響。通過案例可以幫助學(xué)生逐步了解和掌握數(shù)學(xué)建模知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（一）距離測量問題

本案例符合初級(jí)建模階段要求，初級(jí)建模階段由于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模認(rèn)識(shí)不充分，借助三角形知識(shí)這一學(xué)生比較熟悉的內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)，可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)，并且可以有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

教學(xué)過程中首先創(chuàng)設(shè)問題情境，借助問題情境引導(dǎo)學(xué)生深入探究。距離測量問題屬于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，涉及的測量步驟主要包括：設(shè)計(jì)測量方案，借助現(xiàn)代工具獲取相關(guān)數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)計(jì)算完成測量。教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)結(jié)合實(shí)際創(chuàng)設(shè)問題情境：“測量學(xué)校旗桿與教學(xué)樓的高度”“測量市政大樓的高度”“測量某條河流的寬度”“測量某座山坡的高度”等。然后讓學(xué)生自由分組，以小組為單位討論具體的測量目標(biāo)、測量過程中需要應(yīng)用的工具以及小組成員的具體分工等，制訂測量方案，并按照測量方案實(shí)施測量活動(dòng)，最終形成測量報(bào)告，在課堂上匯報(bào)小組測量成果。

在學(xué)生自主探究過程中教師也要給予相應(yīng)的指導(dǎo)和幫助，如提醒學(xué)生關(guān)注如下問題：山坡高度的測量與河流寬度的測量之間有哪些聯(lián)系和哪些區(qū)別？小組設(shè)計(jì)的測量方案都應(yīng)用到哪些原理？方案的優(yōu)缺點(diǎn)有哪些？教學(xué)中教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生提供的不同測量方案進(jìn)行分析，幫助學(xué)生明確測量方案的優(yōu)缺點(diǎn)，使學(xué)生進(jìn)一步加深印象和理解。

方案1 如圖1所示，涉及的測量對(duì)象包括對(duì)仰角α與β，對(duì)B和E之間的距離。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于測量過程中涉及的計(jì)算比較簡單，缺點(diǎn)在于這種方案對(duì)測量對(duì)象的自然環(huán)境條件有著較高的要求，需要確保觀測點(diǎn)與測量目標(biāo)之間的水平距離可測。

在實(shí)踐操作過程中需要學(xué)生準(zhǔn)確測量和記錄相關(guān)數(shù)據(jù)，并結(jié)合直角三角形性質(zhì)準(zhǔn)確計(jì)算測量對(duì)象的高度。

方案2 如圖2所示，涉及的對(duì)象數(shù)據(jù)包括仰角α與β，同時(shí)還要測量水平距離a。方案2的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算簡單，而且不涉及方案1中的問題，在觀測點(diǎn)與測量對(duì)象之間的水平距離不可測的情況下，同樣可以完成測量任務(wù)。方案2的缺點(diǎn)在于計(jì)算量要大于方案1，計(jì)算量大容易導(dǎo)致計(jì)算誤差。方案2的操作步驟與方案1基本相同，都需要學(xué)生準(zhǔn)確測量和記錄相關(guān)數(shù)據(jù)，然后再進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，最終得出測量對(duì)象的高度。

方案3 如圖3所示，涉及的測量對(duì)象包括仰角α與β，同時(shí)還要測量角θ，并準(zhǔn)確測量EF之間的距離。方案3的優(yōu)點(diǎn)在于測量實(shí)踐過程中對(duì)測量對(duì)象的自然環(huán)境條件要求不高，并且測量過程中可以靈活選擇觀測點(diǎn)，因此測量過程中不涉及觀測點(diǎn)與測量對(duì)象之間水平距離可測問題。方案3的缺點(diǎn)在于計(jì)算量較大，涉及的計(jì)算量甚至要大于方案2，因此產(chǎn)生計(jì)算誤差的概率更高。學(xué)生同樣需要準(zhǔn)確測量和記錄方案3的操作步驟，然后在多個(gè)三角形中建立關(guān)系，最終求出測量對(duì)象的高度。

本節(jié)課教學(xué)能夠幫助學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)建模的過程，借助距離測量問題這一傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察與思考，并在此基礎(chǔ)上對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象。教學(xué)過程中如果教師直接向?qū)W生講解數(shù)學(xué)建模相關(guān)知識(shí)，學(xué)生理解起來難度較高。因此在課堂教學(xué)之前教師應(yīng)設(shè)計(jì)相關(guān)問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究，讓學(xué)生在探究過程中深入思考，形成不同的測量方案，并在課堂上分享與討論，讓學(xué)生通過不同的數(shù)學(xué)模型來逐漸加深對(duì)數(shù)學(xué)建模知識(shí)的了解和認(rèn)識(shí)。

（二）最佳座位問題

在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模基本知識(shí)與一般步驟的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)更多地結(jié)合實(shí)際問題來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。學(xué)生通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行合理假設(shè)，使其轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚臄?shù)學(xué)問題。在此過程中，模型假設(shè)是否合理會(huì)對(duì)模型的準(zhǔn)確性以及最終求解的復(fù)雜程度等產(chǎn)生重要影響。結(jié)合實(shí)際問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)不僅可以更好地保障教學(xué)效果，而且有助于提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，并且能夠使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用價(jià)值。

教學(xué)過程中教師應(yīng)從實(shí)際出發(fā)創(chuàng)設(shè)問題情境：“我校開展數(shù)學(xué)競賽課，學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性較高，每次上課之前都希望占到最佳座位學(xué)習(xí)。那么第幾排才是最佳學(xué)習(xí)地點(diǎn)呢？”

完成情境創(chuàng)設(shè)之后，教師引領(lǐng)學(xué)生分析問題。首先假設(shè)所有參與數(shù)學(xué)競賽課學(xué)習(xí)的學(xué)生視力正常，然后讓學(xué)生觀察圖片（圖4），并通過改變自己的座位的方式分析總結(jié)影響聽課舒適度的因素。在此過程中要鼓勵(lì)學(xué)生勇于嘗試并大膽猜想，勇于提出自己的想法和觀點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生以小組合作交流的方式總結(jié)影響聽課舒適度的因素。如座位與黑板之間的距離、座位與教室中心線之間的距離、學(xué)生頭部后仰幅度、坐在座位上之后的視線等。通過分析總結(jié)最終可以發(fā)現(xiàn)以上這些因素都會(huì)對(duì)注視黑板時(shí)的視角大小產(chǎn)生影響，同時(shí)學(xué)生頭部后仰幅度則會(huì)受到仰角的影響，這樣一來便可以將影響座位舒適度的影響因素歸納為仰角幅度以及視角的大小。后仰角度為30度最為適宜，并且座位靠前有助于學(xué)生集中注意力學(xué)習(xí)，因此最佳的座位條件應(yīng)是視角接近20度，仰角等于或小于30度。在明確最佳座位的條件之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合問題收集相關(guān)數(shù)據(jù)，如測量座位與黑板之間的距離、黑板上下邊緣與地面之間的距離、坐在座位上時(shí)眼睛與地面之間的距離，等等。

假設(shè)現(xiàn)在的教室為數(shù)學(xué)競賽課教室，讓學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行測量，并準(zhǔn)確記錄采集到的數(shù)據(jù)。測量結(jié)果表明黑板上下邊緣與地面之間的距離分別為1.2米和2.4米，教室中的座位共有6排，每排間距為1.2米，第一排座位與黑板之間的距離為3.2米。學(xué)生坐在座位上之后，平均眼高為0.9米。完成上述步驟之后便可以建立模型，先假設(shè)x座位是最佳聽課位置，坐在該座位的學(xué)生注視黑板的視角為θ，到A點(diǎn)的仰角為α，到B點(diǎn)的仰角為β（圖5）。

結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)可知，tanα=|AH|/|HDx|；tanβ=|BH|/|HDx|；tanθ=tan（α-β）=tanα-tanβ/（1+tanαtanβ），θ∈（0°，20°]。通過求解可得x≥2.58或x≤-1.75。在此基礎(chǔ)上再結(jié)合實(shí)際分析，座位距離黑板越近，越有助于集中注意力學(xué)習(xí)，因此x=3，結(jié)合最終求解結(jié)果可以判斷第三排座位為最佳座位。完成教學(xué)后，教師在進(jìn)行總結(jié)的同時(shí)還可以設(shè)計(jì)拓展問題，如學(xué)校想要為數(shù)學(xué)競賽課教室重新配置熒光燈，請(qǐng)同學(xué)們從保護(hù)學(xué)生視力角度出發(fā)，綜合考慮成本問題，進(jìn)行設(shè)計(jì)。

本節(jié)課向?qū)W生完整展示了數(shù)學(xué)建模的全過程，并引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成為具體的數(shù)學(xué)問題，通過數(shù)學(xué)建模的方式來解決實(shí)際問題，既能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，也能鍛煉學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)過程中涉及的教學(xué)難點(diǎn)為模型抽象，因此在模型抽象過程中應(yīng)多為學(xué)生預(yù)留時(shí)間，讓學(xué)生充分思考。整個(gè)教學(xué)過程充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，調(diào)動(dòng)了學(xué)生主動(dòng)探究的積極性。同時(shí)借助拓展性問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課外探究，可以進(jìn)一步鞏固所學(xué)，強(qiáng)化教學(xué)效果。

（三）學(xué)校班車站點(diǎn)優(yōu)化問題

該案例圍繞學(xué)校設(shè)計(jì)問題，能夠讓學(xué)生對(duì)相關(guān)情境更加熟悉，有助于激發(fā)學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)這樣的問題具有典型性和代表性，既能凸顯數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，也有助于學(xué)生數(shù)學(xué)建模綜合能力的發(fā)展，同時(shí)鍛煉學(xué)生解決問題的能力，對(duì)于強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)模型應(yīng)用意識(shí)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展均具有重要意義。

教學(xué)實(shí)踐中，先向?qū)W生出示圖例（圖6），然后結(jié)合圖例創(chuàng)設(shè)問題情境：“A、B、C、D、E、F六名同學(xué)的家庭住址距離較近，因此學(xué)校想為這6名同學(xué)設(shè)1個(gè)班車站點(diǎn)，應(yīng)將班車站點(diǎn)設(shè)在哪個(gè)位置？”

針對(duì)這樣的問題，教師首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析最優(yōu)站點(diǎn)應(yīng)滿足哪些條件，讓學(xué)生通過小組討論的方式進(jìn)行總結(jié)，包括6名學(xué)生到站點(diǎn)步行的距離之和最小、6名學(xué)生步行的距離盡量一致、所有人步行所需的時(shí)間之和最小。學(xué)生通過分析總結(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)站點(diǎn)設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)“好”向“之和最小”“距離短”等數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)變，鍛煉自身應(yīng)用數(shù)學(xué)思想分析、解決現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)和能力，促進(jìn)現(xiàn)實(shí)問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。

在完成最優(yōu)站點(diǎn)條件分析的基礎(chǔ)上，首先結(jié)合“所有人到站點(diǎn)步行距離之和最小”建立數(shù)學(xué)模型，

即F（x）=|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|+|x-x4|+|x-x5|+|x-x6|，

模型求解為C學(xué)生與D學(xué)生之間的位置；

結(jié)合“所有人步行所需的時(shí)間之和最小”建立數(shù)學(xué)模型，

即y=|x-x1|/v1+|x-x2|/v2+|x-x3|/v3+|x-x4|/v4+|x-x5|/v5+|x-x6|/v6；

結(jié)合“每個(gè)人走的路程盡量一致”建立數(shù)學(xué)模型，

即|x-x1|=|x-x2|=|x-x3|=|x-x4|=|x-x5|=|x-x6|。

根據(jù)上述模型求解，可以得出最佳站點(diǎn)位置應(yīng)為A同學(xué)與F同學(xué)中間。

本節(jié)課的教學(xué)案例涉及一次絕對(duì)值求和函數(shù)的應(yīng)用，教學(xué)中既能引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，也能促使學(xué)生通過簡化模型的方式找出最佳方案，實(shí)現(xiàn)了理論與實(shí)際的結(jié)合，可以更好地保障教學(xué)效果，并幫助學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)建模過程。

結(jié)語

數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，而數(shù)學(xué)建模則是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要途徑。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的紐帶，它將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，可以為數(shù)學(xué)應(yīng)用提供便利，能夠幫助學(xué)生更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的落實(shí)，有助于提升教學(xué)質(zhì)量和效果，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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責(zé)任編輯：黃大燦