師范專業認證背景下理解數學教學的策略研究

趙艷輝 唐作明 廖春艷 李娜

摘?要：數學學科是一個推理嚴謹的演繹邏輯知識體系，知識的發生和發展都有其內在的邏輯關系。本文主要基于師范專業認證指標體系中對學科素養的要求，從數學學科的角度探討在數學專業核心課程的教學中“理解數學教學”的重要性，以具體的數學知識為載體從三個不同方面來“理解數學教學”，培育學生的數學核心素養，更好地做實“師范專業認證”。

關鍵詞：師范專業認證；理解數學教學；數學核心素養

中圖分類號：G642??文獻標識碼：A

Abstract：Mathematics?is?a?rigorous?deductive?logic?knowledge?system，and?the?occurrence?and?development?of?knowledge?have?inherent?logical?relationships.This?article?is?mainly?based?on?the?requirements?for?subject?literacy?in?the?normal?professional?certification?indicator?system，and?explores?the?importance?of?"understanding?mathematics?teaching"?in?the?teaching?of?core?courses?of?mathematics?majors?from?the?perspective?of?mathematics?subjects.Using?specific?mathematical?knowledge?as?a?carrier，"understanding?mathematics?teaching"?is?carried?out?from?three?different?aspects?to?cultivate?students'?mathematical?core?literacy?and?better?implement?"normal?professional?certification".

Keywords：Normal?professional?certification；Understanding?mathematics?teaching；Mathematical?core?literacy

2017年10月，教育部下發了《普通高等學校師范類專業認證實施辦法（暫行）》［1］及相關文件，認證以“學生中心、產出導向、持續改進”為基本理念。目前數學師范專業的教學主要以傳授數學學科知識為主，強調學生對數學知識的系統掌握，在課堂教學中主要存在以下問題：（1）缺乏問題意識，課堂教學中教師主要是陳述教學內容，沒有設計合理的問題情境，引導學生主動提出問題少，對學生提出問題的能力培養不足。（2）教學過程重結果輕過程，關注知識背景和應用少，導致學習過程不完整。（3）重解題技能技巧輕數學思想方法的概括和提煉，導致機械模仿多、獨立思考少，沒有數學思維或數學思維層次不高。這些都忽視了學生作為準教師的核心素養的培育，只注重了“教什么”的問題，對“怎么教”“為什么這樣教”的問題沒有給予足夠的關注，導致培養出來的未來師資核心素養不足，缺乏解決實際問題的能力。

對于數學專業師范生的數學核心素養的培育研究及案例，大多數都是基于高中數學核心素養討論高等數學的教學研究及案例，如文獻［2］—［4］。文獻［5］根據教師核心素養內涵要求，提出了促進師范生核心素養生成與發展的持續改進建議和對策。根據師范專業認證指標體系中對學科素養的要求，數學專業師范生應具有較扎實的數學基礎和較強的數學語言表達能力及數學思維能力，掌握數學學科的思想方法，具備數學研究或運用數學知識解決實際問題的初步能力，為此本文將從以下三個方面探討如何正確理解“數學教學”，以保證數學專業師范生核心素質要求的達成。

1?理解數學問題比數學證明更重要

數學課堂教學的本質是教學生學會思考，所以，好的數學課堂一定是有學生思維參與的課堂，而不僅僅是學生的行為參與。學生的思維參與度越高，課堂教學效果越好，而思維始于問題，所以，數學課堂教學一定要通過設計切近學生思維最近發展區的問題鏈（串）來一步一步催生出學生的思維智慧，要讓學生在問題鏈（串）的引導下自己生發出好的想法，尋找到好的結論。數學學習離不開數學定理、公式、法則，而對這些內容的學習通常采用的是直接給出數學定理、公式、法則的內容，然后給出證明，有時甚至連證明都沒有，直接告訴學生，要求學生記住。如果在數學定理、公式、法則的學習過程中為學生建立一個從已學知識到問題目標之間的思維導圖，以問題為導向，逐步引導學生思維的方向和方法，通過自主、合作、探究的學習方式與啟發、討論、參與的教學方式，建立起已學知識點到問題終點之間的邏輯思維鏈接，使學生親身經歷研究一個數學對象的基本過程，不僅能幫助學生理解和掌握數學定理、公式、法則，而且在這一過程中學生能慢慢掌握一些數學思維方法和研究數學問題的方法。

案例1：在“數學分析”課程的“格林公式”教學中，可以設置如下問題：

格林公式［6］：若函數P（x，y）、Q（x，y）在閉區域D上連續，且有連續的一階偏導數，則有：

D（Qx-Py）dxdy=∮LPdx+Qdy（1）

這里L為區域D的邊界曲線，分段光滑，并取正向。

問題1：GPS面積測量儀的原理是什么？

分析：數學來源于生活，數學的發展離不開社會生產生活的實際需要。反過來，數學的發展又能更好地促進科技的發展，改善人們的生活。引導學生學會用數學的眼光思考問題，學會將實際問題轉化為數學問題，提高數學學習興趣。結合二重積分的幾何意義（可以用來求平面區域的面積）和第二型曲線積分的計算方法，將問題1轉化為數學問題2。

問題2：平面閉區域上的二重積分是否可以通過沿閉區域邊界曲線上的曲線積分來表示？如圖1。

分析：引導學生回憶微積分基本定理。

∫baF′（x）dx=F（b）-F（a）?（牛頓萊布尼茨公式）（2）

思考牛頓萊布尼茨公式的本質？

其本質為“將對區間內部的積分轉化成對區間邊界上的積分”的偉大思想。

問題2即為以下數學式子：

D（?）dxdy=∫LPdx+∫LQdy（3）

仔細觀察（3）式并思考：牛頓萊布尼茲公式左邊被積函數是一元函數，且是右邊函數的導數Ｆ′（x）。則對于（3）式，左邊被積函數是二元函數，那么它應該是右邊函數的偏導數形式。

問題3：它們是對x的偏導數，還是對y的偏導數呢？

分析：觀察（3）式，結合曲線積分的計算方法和二重積分的計算方法，P（x，y）應該對y求偏導數，Q（x，y）應該對x求偏導數，所以（3）式左邊的被積函數應含有兩個偏導數：P（x，y），Q（x，y）。

問題4：（3）式等號兩邊之間有什么對應關系？

分析：公式（3）左邊被積表達式中含Q的項應該與公式右邊被積表達式中含Q的項相對應，含P的項應該與含P的項相對應，即：

DP（x，y）dxdy∫LPdx，DQ（x，y）dxdy∫LQdy

問題5：你能寫出（3）式的具體表達式并給出嚴謹證明嗎？

問題6：證明中需要先解決什么問題？

分析：第二型曲線積分有方向，而二重積分沒有方向，所以先解決積分曲線中的方向。

案例1中，最能體現思維智慧的是將第二型曲線積分與二重積分聯系起來。根據微積分基本定理，通過設計層層遞進的思維邏輯問題鏈，引導學生思維不斷深入，實現啟發思維的最高境界。從實際生活中引入問題1，貼近生活，體現了數學的實用價值。問題2引導學生思維創新，實現了學生思維的自我超越。問題3、4引導學生有理有據、合情合理地進行數學思考，找到解決問題的思路和方法。問題5、6引導學生運用數學語言進行嚴謹的數學表達，培養學生邏輯推理、數學運算的核心素養，做實“學生中心”的“師范專業認證”工作。

2?理解數學過程比數學結論更重要

數學教材中有大量的數學結論，有的學生對這些數學結論盡管記憶很準確，但在真正解題時，卻經常感到束手無策，其根本的原因是學生對記住的知識不理解，不清楚知識發生發展和形成過程中所運用的思維方法。如關于重要極限式limx→0sinxx=1的學習，很多教師都會強調此極限式需要滿足兩個條件：（1）是00型極限式。（2）函數是sin□□的形式，其中□里的表達式相同。然后進行大題量的重復訓練來幫助學生掌握此極限式，致使很多學生一直弄不清為什么要滿足兩個條件。

案例2：重要極限式limx→0sinxx=1的學習。

問題1：怎樣建立sinx與x之間的聯系？其中x是什么？

分析：聯想到三角函數的學習通常都與單位圓有關，x是圓心角的弧度數，運用數形結合思想構造如圖2的圖形。

問題2：在圖2中sinx與x分別與什么幾何量有關？怎樣得到sinxx？

分析：當0

1

問題3：在其他象限（4）式還成立嗎？如當-π2

分析：因為xsinx與1cosx都是偶函數，所以（4）式成立；由夾逼性即知極限式成立。

此問題串的妙處在于設問的指向不是數學結論即“是什么”，而是推理過程即“為什么”。指向數學結論的設問只能實現考查學生記憶力的目標，而指向推理過程的設問，其考查目標是思維智慧。所以，數學教學要通過教過程來發展學生的思維智慧和數學能力，問題解決要由教“是什么”轉向教“為什么”。問題1和問題2將高等數學中的知識與初等數學知識建立聯系，體現了轉化與數形結合的數學思想，強調數學學習更重要的是掌握具體知識中蘊藏的數學思想方法，培育數學核心素養。問題3將問題2推廣，體現了特殊與一般的數學思想。而且由不等式“sinx

3?理解數學思想比數學知識更重要

數學思想有兩種：“一是數學產生以及數學發展過程中所必須依賴的那些思想。二是學習過數學的人所具備的思維特征。”［7］思想方法是找到解題方法的方法，一個數學思想可以生發多種解題方法，一種解題方法可以解決大量的具體問題，所以，數學教學一定要高度重視引導學生感悟和領會數學思想方法，以實現數學知識和方法更好地遷移運用。

在“數學分析”課程的學習過程中，極限思想和微分思想、定積分思想是三個非常重要的數學思想，也是核心概念。極限思想貫穿“數學分析”課程始終，是最基本的思想；多元函數積分學部分由于積分類型多、積分區域的復雜性及計算公式多等因素使很多學生頭痛焦慮。但如果理解了定積分思想的內涵，用定積分思想統領全局，多元函數積分學的計算就明朗多了。一元函數的定積分通過“分割”“取點”“求和”“取極限”四個步驟實現“化整為零，積零為整”的思想，“以直代曲”“以不變代變”是定積分思想的核心。以“分割”“取點”“求和”“取極限”四個步驟反映的基本思想為紐帶，通過類比、推廣、轉化與化歸等思想方法的運用，形成了多元函數的重積分、曲線積分和曲面積分的概念，這樣使多元函數的重積分、曲線積分和曲面積分等不同形式的積分有了統一的定義方式，再根據相關內容的邏輯順序，利用微積分基本定理的思想通過格林公式、高斯公式和斯托克斯公式將多元函數的積分學內容相互溝通，使整個積分學部分形成一個邏輯嚴密的有機整體，加深對“數學分析”積分學部分的整體認識，使定積分思想得到螺旋上升式的重復，不斷提升學生的數學抽象核心素養，做實“產出導向”的“師范專業認證”工作。

4?總結

數學是思維的科學，數學的研究對象是數量關系和空間形式，人類對數量關系和空間形式的研究方法主要是思維和計算，思維的方法主要有抽象概括、邏輯推理、轉化與化歸、數形結合、分類討論、特殊與一般等，對這些思維方法的靈活運用是一個人的數學智慧與思維能力的體現。而計算的基礎也是思維，且計算本身也是一種思維活動，所以，思維是數學學科最本質的特征，所以在具體數學知識的學習過程中和具體問題解決的實踐中，要注重思維訓練，使學生學會數學思維方法，能進行嚴謹的邏輯推理，掌握數學運算的方法和技巧，發展思維能力，培育理性精神。

培育學生的數學核心素養是數學教育的根本價值追求，因為只有素養才能使學生形成可持續的自主發展能力。數學核心素養的形成需要以數學知識為載體，這就要求數學教師在平時的課堂教學中要理解數學教學的內涵，以恰當適切的教學方式引導學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界，培育學生的數學核心素養，做實師范專業認證工作。

參考文獻：

［1］教育部.教育部關于印發《普通高等學校師范類專業認證實施辦法（暫行）》的通知［EB/OL］.（20171026）［20171102］.http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A10/s7011/201711/t20171106_318535.html.

［2］趙慧.基于數學核心素養的大學數學公共課程重構實驗探索［J］.科教文匯（上旬刊），2021（09）：6366.

［3］嚴謙泰，姚合軍.基于數學核心素養的師范生培養模式研究［J］.安陽師范學院學報，2019（05）：104106.

［4］朱光艷.高等數學教學與數學核心素養培養研究——極限定義教學探究［J］.教育教學論壇，2019（34）：205206.

［5］張靜，王力，羅朝陽.認證理念下師范生教師核心素養發展問題與對策——以昌吉學院數學與應用數學（師范）專業為例［J］.昌吉學院學報，2022（02）：101109.

［6］華東師范大學數學科學學院編.數學分析（第五版下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2019（5）：210.

［7］史寧中.漫談數學基本思想［J］.中國大學教學，2011（7）：911.

基金項目：湖南省普通高等學校教學改革研究項目：“師范專業認證背景下數學專業師范生核心素養的培育研究”（項目編號：HNJG20210195）；湖南科技學院校級線下一流課程《數學分析》（項目編號：湘科院教發［2019］66號，序號10）；湖南省普通高等學校教學改革研究項目（項目編號：HNJG20231109）

作者簡介：趙艷輝（1969—?），女，漢族，湖南益陽人，碩士，教授，研究方向：高等數學教育教學。