小學數學大單元下培養學生系統思維的路徑探尋

王靈勇

摘? ?要：大單元下的復習課一個鮮明特點是引導學生將點狀知識歸類成線，構建系統化的知識結構，在綜合解決問題的時候能從整體出發，排除干擾、看到本質，提取關鍵信息幫助解決問題?；诖髥卧虒W，培養學生系統思維可以有效地實現這一目的，從而形成數學視野和大格局。以“圓的整理與復習”為例，基于大概念視角構筑互聯互通的學習單元，拓展學生應用能力，提升學生核心素養。

關鍵詞：小學數學；系統思維；單元復習；整體建構

中圖分類號：G623.5? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2024）07-0047-05

復習課教學設計時教師不應該將重心放在追求練習設計編排的如何獨具匠心，而應該重視的是學生的參與狀態、思維方式以及學生思維能力的提升，關注學生由學會到會學的認知過程。那么如何將整個單元的知識進行組合幫助學生建立互聯互通的結構化思維？在數學單元復習教學活動中如何建構以互聯互通的結構化思維為核心的教學策略？現以六年級上冊“圓的整理與復習”一課教學為例，進行教學實踐與思考。

一、精研單元知識，搭建復習框架

特級教師俞正強說過，“復習課的目標在于知多、記少、明新。”這話猶如醍醐灌頂，使人聽后豁然開朗。教師在復習時不僅要將知識要點落實，還要系統地將點狀知識歸類成線，還要重視學科結構的建構。

（一）教材整理，內容厘定

學生在之前的學習中，研究的都是直線圖形，而現在研究曲線圖形運用的思想、方法與以前比，是一種變化與提升，對學生而言就是一種跨越。

本單元共安排了4個學習內容：圓的認識、圓的周長、圓的面積、扇形。4個學習內容遵循由淺入深、螺旋上升的邏輯順序。學生不僅需要掌握圓的特征等基礎性內容，還需要在探索的過程中領悟“化曲為直”“等積變換”“極限”等數學核心思想，提升數學關鍵能力。

（二）目標定位，結構設定

大部分教師在教學復習課時關注知識、關注結果，課堂上讓學生“練習→校對→再練習→再校對”的機械重復。然而為了使學生熟練解題，考出更好成績，教師需準確定位教學目標，重新調整課堂結構，滲透“結構化思維”思想，顛覆學生對于復習課就是做練習的認識。于是制定以下教學目標（圖1）：

為了更好地落實目標，激發學生的自主性，引發學生激烈的思維振蕩?；趯滩牡睦斫猓O置如下課堂結構（圖2）：

（三）有所取舍，凸顯思維

復習需要全面掃視、不留盲區，應根據知識特點及學生需求，將復習內容進行梳理，如果教師面面俱到，不會取舍，重點不突出，最后留給學生的痕跡也不會深刻。如圓的特性可一筆帶過，而對于圓特征之間的關系以及與圓相關的實際問題，由于信息呈現的方式靈活多變，問題錯綜復雜，需重點分析比較，進一步深入理解。這樣的內容安排，顯然符合學生的客觀學情，復習課內容的詳略有致，將有利于復習活動突出重點、切中要害、提高達成度，最終目的培養學生用數學的眼光看問題、想問題、解決問題。

二、基于結構思維，形成連續演繹

“結構思維”具有整體性、關聯性、層次結構性、動態平衡性等特征，強調通過整體與對象、整體與部分、整體與發展的相互作用過程來認識和把握整單元的數學知識。如何用這樣的系統思維著眼“圓”知識鏈、能力鏈的形成與生長，讓學生從“散狀學習”不斷走向“結構學習”。筆者著力從“梳理交流、溝通求聯、好題推薦”的學習路徑打通學生復習的通道。

（一）整體架構，縱向梳理

“圓”這一單元的知識（包括特征、周長、面積等）比較多，又與圓環、外方內圓、內方外圓、扇形……等圖形有著千絲萬縷的關系。為了幫助學生系統地建構認知結構，課前布置給學生任務，按照自己的理解方式，對“圓”的知識進行整理和復習。學生主動搜索知識儲備，羅列出了許多方法：思維導圖法、列表法、樹狀法、列舉法、網狀法、畫圖法等。

1.小組交流

師：課前，大家已經根據“復習導學單”對“圓”的內容系統地進行了回顧整理。先請四人小組交流：你的任務單是用什么方法梳理的？你梳理的亮點又在哪兒？

2.全班分享

師：我們一起來欣賞一下XXX同學的作品，他是用什么方法梳理的，他梳理最大的亮點是什么？

生1：畫圖法梳理。把整單元的知識通過畫圖的方法羅列出來，讓我們非常清楚地看出本單元學了哪些知識。

生2：畫思維導圖的方法。構建了圓整個單元知識的框架。每一版塊的知識都畫得非常清楚。

生3：他也是用畫思維導圖的方法，我非常欣賞他有自己的理解：扇形、圓環、扇環、內方外圓、外方內圓都是圓的衍生圖形。這些圖形其實都是有關系的。

課中選取部分有代表性的作品進行展示，讓學生欣賞、評價、交流梳理的亮點。讓學生在交流中相互矯正、相互補充、相互借鑒，讓學生在頭腦中形成完整的知識體系。學生運用系統的思維主動對圓的知識進行內化、組合、編碼、構建并提取，個性化的展示交流激發了學生的學習興趣，培養了學生整理復習的能力，從而大大提高了復習的效率。

3.形成網絡圖

學生從系統的角度去把握知識邏輯順序，關注教材編寫：要想計算圓周長、面積，必須先認識圓的特征。學生在“存異——求同——優化”的梳理過程中，理解了圓的本質“一中同長”，并且構建知識網絡（圖3）。教師根據學生匯報反饋交流，形成知識網絡圖。這樣的系統思維著眼圓的知識鏈、能力鏈的形成與生長，讓學生從“散狀學習”不斷走向“結構學習”。

（二）溝通求聯，橫向比較

面對一個圓，我們研究特征、計算和綜合運用。教師要引導學生運用“結構思維”的方式，從一個單元的角度，將分散的知識集中呈現，并橫向比較。教學設計了任務二，課前讓學生填寫一張表格，讓學生通過每一行已知的信息，解決出其他信息。并讓學生仔細觀察說說發現。

1.概念比較

環節1：先獨立完成表格（見下表）說說有什么發現？

師：通過填表，我們知道周長和面積都是12.56，我們可以說這個圓的周長和面積相等，行嗎？為什么？

生1：一個指的是面積，另一個是指周長，是兩個不同的概念，不能比較。

師：仔細觀察上面表格，你有什么發現？

生1：半徑越大，周長越大；半徑越大，面積也越大。同一個圓中半徑是直徑的一半，周長是半徑的2π倍，是直徑的π倍。不同的圓，周長之比等于半徑之比等于直徑之比，面積之比是半徑之比的平方。

生2：上面同學說的這些規律，我們在解決問題時可以靈活得運用，比如，告訴我們兩圓的半徑之比，我可以根據面積比和半徑比之間的關系來解決問題，這樣比較方便。

通過填表，讓學生加深了圓的特性等概念的理解，辨清了它們之間的關系，逐步構建四者之間的模型，深化認識。

2.規律運用

環節2：運用規律解決問題

師：請計算下圖的兩道題（圖4），你能用多種方法計算嗎？比較一下，哪一種方法更簡便？

第1題，有兩種做法，一種是先求出半徑再計算面積。另一種是運用第一題的發現，半徑之比和面積之比的關系來解決。學生發現“要想求面積必須告訴半徑”這種方法并不簡單，運用填表格時發現的規律：半徑之比和面積之比的關系。學生通過橫向比較、發現規律、運用規律，大大提高了學生解決問題的能力。

第2題難度最大。學生掌握得還是不錯的。也有兩種解題方法，一種是假設法，假設圓的半徑為1，再進行計算。另一種是通比法，大正方形、圓、小正方形的面積比。

在復習時，教師引導學生探究這兩個問題，打破了學生思維固有的局限性，運用規律產生新的認知，拓寬學生的認知視角，培養學生靈活選擇方法解決問題的能力。

（三）好題推薦，串連成片

關于圓的知識，新授課時學生已經做過很多練習，復習課時再讓學生機械地做題，對于大部分學生來說“食之無味”，課堂參與度不高，課堂氣氛不會活躍。所以設計“好題推薦”這一任務，讓學生通過回憶給同伴推薦好題，并要求寫出推薦的理由。

1.比較周長和面積

師：同學們，關于圓的知識，你碰見過哪些好題呢？請你來推薦一道吧！說說你推薦的理由以及解答方法。

生1：我推薦這道題（圖5）的理由是計算周長的時候，不要忘記里面兩條圓周長的一半。計算面積就是一個長方形面積減一個圓面積。

師：大家還能不能“觸類旁通”，根據這位同學推薦的題目，你還想到了哪些類似的題？

生2：我想到了操場跑道的面積和周長（圖6）。周長是一樣的，面積則是長方形加一個圓面積。

生3：我想到了一個半圓在里面，一個半圓在外面（圖6）。周長是一樣的，面積則是長方形加一個圓面積。

對于圓這一單元習題學生見過很多，但是由一道題想到一串題，并且找出這些題目的相同點和不同點卻是學生的弱項，針對這一薄弱的問題，我們設計“好題推薦”這一任務，讓學生由一道題想到一類題。激活學生的知識儲備，促進思維和能力的拓展。

2.細致分析尋找方法

生1：同學們，求出圖7中陰影部分的面積，你會嗎？

生2：有一些不規則的陰影部分我們該怎么思考？

生3：能不能通過割補把不規則的圖形變成規則的圖形？

生1：我推薦的理由就是這幾題都可以運用“割補”的方法，把不規則的圖形“轉化”成規則圖形來計算。

3.整體入手解決問題

圖8也是來自學生推薦的題目，對于空間觀念不強的學生來說，難以找到分析的突破口。如果學生還在思考：要求圓面積必須要知道半徑；要求圓環面積必須要告訴大圓半徑和小圓半徑。只追求固定模式，就很難尋找到解決問題的方法。此時，需要學生換個角度來思考，第一個圖形把r2=10cm2看作一個整體，后面兩個圖形R2-r2=10cm2看作一個整體，從整體思考問題入手，學生解決問題將會更加順利。

復習中，“好題推薦”這一環節的設計對學生來說富有挑戰性。看似復雜的題目，其實運用割補法、移一移、轉化、整體等思想方法，復雜的問題就變得簡單了。

三、拓展提升應用，挖掘思維深度

數學復習課通過一些具有針對性、綜合性、開放性的拓展性習題，能更好地提升和完善學生的應用能力，促進學生數學核心素養的提升。

（一）變式練習，萬變不離其宗

相似性的題組，通常可用“一題多變”的方式進行變式教學，這種教學模式，把解決一個問題，轉化為解決一類問題，遏制“題海戰術”，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，達到舉一反三、觸類旁通的目的，例如下題（圖9）：

對于方中圓和圓中方的問題，學生如果僅憑記憶來學習，一旦遺忘，就無從解決。因此，解決問題模型的建立，可以使機械的學習變得更有效果。結合課堂微視頻，讓學生進一步探究方圓方、圓中圓、捆圓等問題，規律就顯而易見。

探究時，重點解決第二個圖形的分解。學生討論之后，利用微視頻“捆圓的周長與面積”，掌握“曲直分界點”的重要性，再利用組合圖形面積的計算方法解決問題。同時，在應用部分，增加了正六邊形，正三角形的捆圓周長計算，讓學生找到解決問題的一般規律，化抽象為直觀，建立解決捆圓問題的模型。

（二）課外拓展，培養創新能力

知識方法的運用能力體現在生活中的問題解決中，而思維方式更體現在對于全新知識的自主學習上，教師應該給予學生這樣的機會，讓他們去嘗試觸碰一些相關聯的新知識，體會思維方式的價值。

破鏡重圓數學小研究（課外）片斷。下圖（圖10）是一個圓的其中一部分，你能還原整個圓嗎？你想到了哪些方法？

學生圍靈活運用圓的特征從不同角度展開思考：折一折、畫一畫、估一估、拼一拼等，把一個殘缺的圓變得圓滿了（圖11）。

對于小學六年級的復習教學，我們需要從更深、更遠的角度來重新思考和定位，我們教給學生的不僅僅是解題技巧，而更應該是一種對當下及未來都具重要意義的思維方式。運用“結構思維”重塑小學數學復習課教學設計，能激活學生學習的“眾多生長”，真正實現學習的過程從薄到厚、再從厚到薄，最終做到厚積薄發。