小學(xué)數(shù)學(xué)大單元下培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維的路徑探尋

王靈勇

摘? ?要：大單元下的復(fù)習(xí)課一個(gè)鮮明特點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生將點(diǎn)狀知識(shí)歸類成線，構(gòu)建系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在綜合解決問(wèn)題的時(shí)候能從整體出發(fā)，排除干擾、看到本質(zhì)，提取關(guān)鍵信息幫助解決問(wèn)題。基于大單元教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維可以有效地實(shí)現(xiàn)這一目的，從而形成數(shù)學(xué)視野和大格局。以“圓的整理與復(fù)習(xí)”為例，基于大概念視角構(gòu)筑互聯(lián)互通的學(xué)習(xí)單元，拓展學(xué)生應(yīng)用能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；系統(tǒng)思維；單元復(fù)習(xí)；整體建構(gòu)

中圖分類號(hào)：G623.5? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2024）07-0047-05

復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)教師不應(yīng)該將重心放在追求練習(xí)設(shè)計(jì)編排的如何獨(dú)具匠心，而應(yīng)該重視的是學(xué)生的參與狀態(tài)、思維方式以及學(xué)生思維能力的提升，關(guān)注學(xué)生由學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)的認(rèn)知過(guò)程。那么如何將整個(gè)單元的知識(shí)進(jìn)行組合幫助學(xué)生建立互聯(lián)互通的結(jié)構(gòu)化思維？在數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)教學(xué)活動(dòng)中如何建構(gòu)以互聯(lián)互通的結(jié)構(gòu)化思維為核心的教學(xué)策略？現(xiàn)以六年級(jí)上冊(cè)“圓的整理與復(fù)習(xí)”一課教學(xué)為例，進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐與思考。

一、精研單元知識(shí)，搭建復(fù)習(xí)框架

特級(jí)教師俞正強(qiáng)說(shuō)過(guò)，“復(fù)習(xí)課的目標(biāo)在于知多、記少、明新。”這話猶如醍醐灌頂，使人聽(tīng)后豁然開(kāi)朗。教師在復(fù)習(xí)時(shí)不僅要將知識(shí)要點(diǎn)落實(shí)，還要系統(tǒng)地將點(diǎn)狀知識(shí)歸類成線，還要重視學(xué)科結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。

（一）教材整理，內(nèi)容厘定

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，研究的都是直線圖形，而現(xiàn)在研究曲線圖形運(yùn)用的思想、方法與以前比，是一種變化與提升，對(duì)學(xué)生而言就是一種跨越。

本單元共安排了4個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容：圓的認(rèn)識(shí)、圓的周長(zhǎng)、圓的面積、扇形。4個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容遵循由淺入深、螺旋上升的邏輯順序。學(xué)生不僅需要掌握?qǐng)A的特征等基礎(chǔ)性內(nèi)容，還需要在探索的過(guò)程中領(lǐng)悟“化曲為直”“等積變換”“極限”等數(shù)學(xué)核心思想，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

（二）目標(biāo)定位，結(jié)構(gòu)設(shè)定

大部分教師在教學(xué)復(fù)習(xí)課時(shí)關(guān)注知識(shí)、關(guān)注結(jié)果，課堂上讓學(xué)生“練習(xí)→校對(duì)→再練習(xí)→再校對(duì)”的機(jī)械重復(fù)。然而為了使學(xué)生熟練解題，考出更好成績(jī)，教師需準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)，重新調(diào)整課堂結(jié)構(gòu)，滲透“結(jié)構(gòu)化思維”思想，顛覆學(xué)生對(duì)于復(fù)習(xí)課就是做練習(xí)的認(rèn)識(shí)。于是制定以下教學(xué)目標(biāo)（圖1）：

為了更好地落實(shí)目標(biāo)，激發(fā)學(xué)生的自主性，引發(fā)學(xué)生激烈的思維振蕩。基于對(duì)教材的理解，設(shè)置如下課堂結(jié)構(gòu)（圖2）：

（三）有所取舍，凸顯思維

復(fù)習(xí)需要全面掃視、不留盲區(qū)，應(yīng)根據(jù)知識(shí)特點(diǎn)及學(xué)生需求，將復(fù)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行梳理，如果教師面面俱到，不會(huì)取舍，重點(diǎn)不突出，最后留給學(xué)生的痕跡也不會(huì)深刻。如圓的特性可一筆帶過(guò)，而對(duì)于圓特征之間的關(guān)系以及與圓相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，由于信息呈現(xiàn)的方式靈活多變，問(wèn)題錯(cuò)綜復(fù)雜，需重點(diǎn)分析比較，進(jìn)一步深入理解。這樣的內(nèi)容安排，顯然符合學(xué)生的客觀學(xué)情，復(fù)習(xí)課內(nèi)容的詳略有致，將有利于復(fù)習(xí)活動(dòng)突出重點(diǎn)、切中要害、提高達(dá)成度，最終目的培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題、想問(wèn)題、解決問(wèn)題。

二、基于結(jié)構(gòu)思維，形成連續(xù)演繹

“結(jié)構(gòu)思維”具有整體性、關(guān)聯(lián)性、層次結(jié)構(gòu)性、動(dòng)態(tài)平衡性等特征，強(qiáng)調(diào)通過(guò)整體與對(duì)象、整體與部分、整體與發(fā)展的相互作用過(guò)程來(lái)認(rèn)識(shí)和把握整單元的數(shù)學(xué)知識(shí)。如何用這樣的系統(tǒng)思維著眼“圓”知識(shí)鏈、能力鏈的形成與生長(zhǎng)，讓學(xué)生從“散狀學(xué)習(xí)”不斷走向“結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)”。筆者著力從“梳理交流、溝通求聯(lián)、好題推薦”的學(xué)習(xí)路徑打通學(xué)生復(fù)習(xí)的通道。

（一）整體架構(gòu)，縱向梳理

“圓”這一單元的知識(shí)（包括特征、周長(zhǎng)、面積等）比較多，又與圓環(huán)、外方內(nèi)圓、內(nèi)方外圓、扇形……等圖形有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系。為了幫助學(xué)生系統(tǒng)地建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，課前布置給學(xué)生任務(wù)，按照自己的理解方式，對(duì)“圓”的知識(shí)進(jìn)行整理和復(fù)習(xí)。學(xué)生主動(dòng)搜索知識(shí)儲(chǔ)備，羅列出了許多方法：思維導(dǎo)圖法、列表法、樹狀法、列舉法、網(wǎng)狀法、畫圖法等。

1.小組交流

師：課前，大家已經(jīng)根據(jù)“復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)單”對(duì)“圓”的內(nèi)容系統(tǒng)地進(jìn)行了回顧整理。先請(qǐng)四人小組交流：你的任務(wù)單是用什么方法梳理的？你梳理的亮點(diǎn)又在哪兒？

2.全班分享

師：我們一起來(lái)欣賞一下XXX同學(xué)的作品，他是用什么方法梳理的，他梳理最大的亮點(diǎn)是什么？

生1：畫圖法梳理。把整單元的知識(shí)通過(guò)畫圖的方法羅列出來(lái)，讓我們非常清楚地看出本單元學(xué)了哪些知識(shí)。

生2：畫思維導(dǎo)圖的方法。構(gòu)建了圓整個(gè)單元知識(shí)的框架。每一版塊的知識(shí)都畫得非常清楚。

生3：他也是用畫思維導(dǎo)圖的方法，我非常欣賞他有自己的理解：扇形、圓環(huán)、扇環(huán)、內(nèi)方外圓、外方內(nèi)圓都是圓的衍生圖形。這些圖形其實(shí)都是有關(guān)系的。

課中選取部分有代表性的作品進(jìn)行展示，讓學(xué)生欣賞、評(píng)價(jià)、交流梳理的亮點(diǎn)。讓學(xué)生在交流中相互矯正、相互補(bǔ)充、相互借鑒，讓學(xué)生在頭腦中形成完整的知識(shí)體系。學(xué)生運(yùn)用系統(tǒng)的思維主動(dòng)對(duì)圓的知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化、組合、編碼、構(gòu)建并提取，個(gè)性化的展示交流激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生整理復(fù)習(xí)的能力，從而大大提高了復(fù)習(xí)的效率。

3.形成網(wǎng)絡(luò)圖

學(xué)生從系統(tǒng)的角度去把握知識(shí)邏輯順序，關(guān)注教材編寫：要想計(jì)算圓周長(zhǎng)、面積，必須先認(rèn)識(shí)圓的特征。學(xué)生在“存異——求同——優(yōu)化”的梳理過(guò)程中，理解了圓的本質(zhì)“一中同長(zhǎng)”，并且構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)（圖3）。教師根據(jù)學(xué)生匯報(bào)反饋交流，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖。這樣的系統(tǒng)思維著眼圓的知識(shí)鏈、能力鏈的形成與生長(zhǎng)，讓學(xué)生從“散狀學(xué)習(xí)”不斷走向“結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)”。

（二）溝通求聯(lián)，橫向比較

面對(duì)一個(gè)圓，我們研究特征、計(jì)算和綜合運(yùn)用。教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“結(jié)構(gòu)思維”的方式，從一個(gè)單元的角度，將分散的知識(shí)集中呈現(xiàn)，并橫向比較。教學(xué)設(shè)計(jì)了任務(wù)二，課前讓學(xué)生填寫一張表格，讓學(xué)生通過(guò)每一行已知的信息，解決出其他信息。并讓學(xué)生仔細(xì)觀察說(shuō)說(shuō)發(fā)現(xiàn)。

1.概念比較

環(huán)節(jié)1：先獨(dú)立完成表格（見(jiàn)下表）說(shuō)說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)？

師：通過(guò)填表，我們知道周長(zhǎng)和面積都是12.56，我們可以說(shuō)這個(gè)圓的周長(zhǎng)和面積相等，行嗎？為什么？

生1：一個(gè)指的是面積，另一個(gè)是指周長(zhǎng)，是兩個(gè)不同的概念，不能比較。

師：仔細(xì)觀察上面表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：半徑越大，周長(zhǎng)越大；半徑越大，面積也越大。同一個(gè)圓中半徑是直徑的一半，周長(zhǎng)是半徑的2π倍，是直徑的π倍。不同的圓，周長(zhǎng)之比等于半徑之比等于直徑之比，面積之比是半徑之比的平方。

生2：上面同學(xué)說(shuō)的這些規(guī)律，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)可以靈活得運(yùn)用，比如，告訴我們兩圓的半徑之比，我可以根據(jù)面積比和半徑比之間的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，這樣比較方便。

通過(guò)填表，讓學(xué)生加深了圓的特性等概念的理解，辨清了它們之間的關(guān)系，逐步構(gòu)建四者之間的模型，深化認(rèn)識(shí)。

2.規(guī)律運(yùn)用

環(huán)節(jié)2：運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題

師：請(qǐng)計(jì)算下圖的兩道題（圖4），你能用多種方法計(jì)算嗎？比較一下，哪一種方法更簡(jiǎn)便？

第1題，有兩種做法，一種是先求出半徑再計(jì)算面積。另一種是運(yùn)用第一題的發(fā)現(xiàn)，半徑之比和面積之比的關(guān)系來(lái)解決。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“要想求面積必須告訴半徑”這種方法并不簡(jiǎn)單，運(yùn)用填表格時(shí)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：半徑之比和面積之比的關(guān)系。學(xué)生通過(guò)橫向比較、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律，大大提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

第2題難度最大。學(xué)生掌握得還是不錯(cuò)的。也有兩種解題方法，一種是假設(shè)法，假設(shè)圓的半徑為1，再進(jìn)行計(jì)算。另一種是通比法，大正方形、圓、小正方形的面積比。

在復(fù)習(xí)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生探究這兩個(gè)問(wèn)題，打破了學(xué)生思維固有的局限性，運(yùn)用規(guī)律產(chǎn)生新的認(rèn)知，拓寬學(xué)生的認(rèn)知視角，培養(yǎng)學(xué)生靈活選擇方法解決問(wèn)題的能力。

（三）好題推薦，串連成片

關(guān)于圓的知識(shí)，新授課時(shí)學(xué)生已經(jīng)做過(guò)很多練習(xí)，復(fù)習(xí)課時(shí)再讓學(xué)生機(jī)械地做題，對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)“食之無(wú)味”，課堂參與度不高，課堂氣氛不會(huì)活躍。所以設(shè)計(jì)“好題推薦”這一任務(wù)，讓學(xué)生通過(guò)回憶給同伴推薦好題，并要求寫出推薦的理由。

1.比較周長(zhǎng)和面積

師：同學(xué)們，關(guān)于圓的知識(shí)，你碰見(jiàn)過(guò)哪些好題呢？請(qǐng)你來(lái)推薦一道吧！說(shuō)說(shuō)你推薦的理由以及解答方法。

生1：我推薦這道題（圖5）的理由是計(jì)算周長(zhǎng)的時(shí)候，不要忘記里面兩條圓周長(zhǎng)的一半。計(jì)算面積就是一個(gè)長(zhǎng)方形面積減一個(gè)圓面積。

師：大家還能不能“觸類旁通”，根據(jù)這位同學(xué)推薦的題目，你還想到了哪些類似的題？

生2：我想到了操場(chǎng)跑道的面積和周長(zhǎng)（圖6）。周長(zhǎng)是一樣的，面積則是長(zhǎng)方形加一個(gè)圓面積。

生3：我想到了一個(gè)半圓在里面，一個(gè)半圓在外面（圖6）。周長(zhǎng)是一樣的，面積則是長(zhǎng)方形加一個(gè)圓面積。

對(duì)于圓這一單元習(xí)題學(xué)生見(jiàn)過(guò)很多，但是由一道題想到一串題，并且找出這些題目的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)卻是學(xué)生的弱項(xiàng)，針對(duì)這一薄弱的問(wèn)題，我們?cè)O(shè)計(jì)“好題推薦”這一任務(wù)，讓學(xué)生由一道題想到一類題。激活學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，促進(jìn)思維和能力的拓展。

2.細(xì)致分析尋找方法

生1：同學(xué)們，求出圖7中陰影部分的面積，你會(huì)嗎？

生2：有一些不規(guī)則的陰影部分我們?cè)撛趺此伎迹?/p>

生3：能不能通過(guò)割補(bǔ)把不規(guī)則的圖形變成規(guī)則的圖形？

生1：我推薦的理由就是這幾題都可以運(yùn)用“割補(bǔ)”的方法，把不規(guī)則的圖形“轉(zhuǎn)化”成規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算。

3.整體入手解決問(wèn)題

圖8也是來(lái)自學(xué)生推薦的題目，對(duì)于空間觀念不強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，難以找到分析的突破口。如果學(xué)生還在思考：要求圓面積必須要知道半徑；要求圓環(huán)面積必須要告訴大圓半徑和小圓半徑。只追求固定模式，就很難尋找到解決問(wèn)題的方法。此時(shí)，需要學(xué)生換個(gè)角度來(lái)思考，第一個(gè)圖形把r2=10cm2看作一個(gè)整體，后面兩個(gè)圖形R2-r2=10cm2看作一個(gè)整體，從整體思考問(wèn)題入手，學(xué)生解決問(wèn)題將會(huì)更加順利。

復(fù)習(xí)中，“好題推薦”這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)富有挑戰(zhàn)性。看似復(fù)雜的題目，其實(shí)運(yùn)用割補(bǔ)法、移一移、轉(zhuǎn)化、整體等思想方法，復(fù)雜的問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單了。

三、拓展提升應(yīng)用，挖掘思維深度

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課通過(guò)一些具有針對(duì)性、綜合性、開(kāi)放性的拓展性習(xí)題，能更好地提升和完善學(xué)生的應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

（一）變式練習(xí)，萬(wàn)變不離其宗

相似性的題組，通常可用“一題多變”的方式進(jìn)行變式教學(xué)，這種教學(xué)模式，把解決一個(gè)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為解決一類問(wèn)題，遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”，開(kāi)拓學(xué)生解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的，例如下題（圖9）：

對(duì)于方中圓和圓中方的問(wèn)題，學(xué)生如果僅憑記憶來(lái)學(xué)習(xí)，一旦遺忘，就無(wú)從解決。因此，解決問(wèn)題模型的建立，可以使機(jī)械的學(xué)習(xí)變得更有效果。結(jié)合課堂微視頻，讓學(xué)生進(jìn)一步探究方圓方、圓中圓、捆圓等問(wèn)題，規(guī)律就顯而易見(jiàn)。

探究時(shí)，重點(diǎn)解決第二個(gè)圖形的分解。學(xué)生討論之后，利用微視頻“捆圓的周長(zhǎng)與面積”，掌握“曲直分界點(diǎn)”的重要性，再利用組合圖形面積的計(jì)算方法解決問(wèn)題。同時(shí)，在應(yīng)用部分，增加了正六邊形，正三角形的捆圓周長(zhǎng)計(jì)算，讓學(xué)生找到解決問(wèn)題的一般規(guī)律，化抽象為直觀，建立解決捆圓問(wèn)題的模型。

（二）課外拓展，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

知識(shí)方法的運(yùn)用能力體現(xiàn)在生活中的問(wèn)題解決中，而思維方式更體現(xiàn)在對(duì)于全新知識(shí)的自主學(xué)習(xí)上，教師應(yīng)該給予學(xué)生這樣的機(jī)會(huì)，讓他們?nèi)L試觸碰一些相關(guān)聯(lián)的新知識(shí)，體會(huì)思維方式的價(jià)值。

破鏡重圓數(shù)學(xué)小研究（課外）片斷。下圖（圖10）是一個(gè)圓的其中一部分，你能還原整個(gè)圓嗎？你想到了哪些方法？

學(xué)生圍靈活運(yùn)用圓的特征從不同角度展開(kāi)思考：折一折、畫一畫、估一估、拼一拼等，把一個(gè)殘缺的圓變得圓滿了（圖11）。

對(duì)于小學(xué)六年級(jí)的復(fù)習(xí)教學(xué)，我們需要從更深、更遠(yuǎn)的角度來(lái)重新思考和定位，我們教給學(xué)生的不僅僅是解題技巧，而更應(yīng)該是一種對(duì)當(dāng)下及未來(lái)都具重要意義的思維方式。運(yùn)用“結(jié)構(gòu)思維”重塑小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)，能激活學(xué)生學(xué)習(xí)的“眾多生長(zhǎng)”，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程從薄到厚、再?gòu)暮竦奖。罱K做到厚積薄發(fā)。