淺談數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用

作者簡介：王進忠（1978～），男，漢族，福建龍海人，福建省龍海第二中學，研究方向：高中數(shù)學教學與研究。

摘 要：數(shù)形結合作為高中數(shù)學的重要思想方法之一，不僅體現(xiàn)在知識教學中，還體現(xiàn)在各種解題實踐中，是對學生知識技能及思維的綜合性考查。因此，高中數(shù)學教師在具體的教學中，要積極應用數(shù)形結合思想，讓學生通過數(shù)與形結合的方式，探尋知識背后所蘊藏著的數(shù)學方法，明晰知識的本質，提升應用知識解決實際問題的能力，積累更為豐富的數(shù)學實踐活動經(jīng)驗，培育學生核心素養(yǎng)。基于此，文章首先闡述了數(shù)形結合思想的基本內涵，隨即分析了數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用價值，最后論述了數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用策略，旨在讓高中數(shù)學課程教學的效果得到大幅提升。

關鍵詞：數(shù)形結合思想；高中數(shù)學教學；應用價值；應用策略

中圖分類號：G633.6?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2024）20-0100-04

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調高中數(shù)學課程教學不僅要突出數(shù)學主線，凸顯數(shù)學的內在邏輯和思想方法，還要結合所教學的內容，處理好數(shù)學核心素養(yǎng)與知識技能之間的關系。“四基”作為數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體，數(shù)學思想方法又是數(shù)學基本思想在操作層面上的具體體現(xiàn)，所以學生核心素養(yǎng)培育可以建立在數(shù)學思想方法之上。數(shù)形結合作為重要的思想方法，不僅能夠加大數(shù)學核心素養(yǎng)在教學中培養(yǎng)的可操作性，也能夠充實核心素養(yǎng)的基本內核，幫助學生在數(shù)形結合思想的導引下展開更高質量的課程學習及解題實踐操作，促進他們高效學習、全面發(fā)展。

一、 數(shù)形結合思想的基本內涵

數(shù)形結合思想既是一種思維方法，又是解題的基本策略，它是將抽象的數(shù)學語言和直觀的幾何圖形有機結合起來，以圖片為媒介，通過數(shù)與形之間的相互作用，將復雜的問題簡單化、抽象的知識直觀化，其基本形式有以形助數(shù)、以數(shù)解形、以形助數(shù)、以數(shù)解形等。“數(shù)形結合”的本質就是讓學生根據(jù)具體的內容，實現(xiàn)數(shù)與形之間的互相轉化，使所學知識不僅形象直觀且具備可運算性，達到高效學習數(shù)學知識的目的。

數(shù)形結合思想的應用將能讓學生的知識理解及解題實踐變得更為容易，更能加深他們的感知，降低學習難度，推進學生實現(xiàn)深度學習。但在數(shù)形結合思想的應用過程中，教師需要注意以下兩點：

1. 雙向考量

在應用數(shù)形結合思想的過程中，教師要引導學生從“數(shù)”與“形”兩個角度出發(fā)進行分析與考量。高中數(shù)學的知識點具有較強的邏輯性和抽象性，問題具有復雜性，所以學生需要形成多角度考量的習慣。學生應先以圖像的方式直觀呈現(xiàn)知識信息或者數(shù)學問題中所要推斷的未知條件，隨后再運用代數(shù)知識對數(shù)學問題展開邏輯分析，以此彌補單一化視角對知識或問題思考不全面的問題。

2. 等價考量

在應用數(shù)形結合思想的過程中，教師要引導學生保證“數(shù)”的代數(shù)性與“形”的幾何性質相一致，使得問題中給出的條件與關系、知識點中的條件與信息與所畫圖形相吻合，避免出現(xiàn)理解“誤差”，偏離原本方向。前后間保持一致將更好地借助圖形的直觀特性精準展現(xiàn)代數(shù)性質，方便學生理解與運用，突破學生思維定式，更好地為學生的“學”而服務。

二、 數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用價值

（一）有利于幫助學生深入理解知識

高中數(shù)學教師應用數(shù)形結合思想能幫助學生深入理解所學知識點，構建較為完善的知識體系。高中階段的數(shù)學知識相對來說比較抽象、復雜，大多數(shù)的知識點由字母、公式、數(shù)字組合而成，學生很容易混淆，也難以達到理解、內化知識并遷移應用、舉一反三、融會貫通的目的。而通過數(shù)形結合的方式，學生能夠借助圖像，直觀理解理論性較強的知識點，厘清數(shù)量關系，探尋知識的本質與內核，達成他們對知識的深度理解。同時，數(shù)形結合思想的間接性、直觀性及有效性特點也能夠將代數(shù)與幾何兩大教學內容聯(lián)系起來，引領學生從多個不同角度解讀知識點，使得學生能夠基于一個維度去理解另一個維度的知識內容，進而讓學生以綜合考量的方式把握不同單元知識之間的聯(lián)系，深層分析知識結構之間的關系，大幅提升學生的知識學習與理解效果。

（二）有利于提升學生問題理解能力

數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用將能有效提升學生的問題理解能力。高中階段的數(shù)學問題比較復雜，教師指導學生運用數(shù)形結合的思維方式分析問題，可以將問題中的相關信息及條件以圖形的方式呈現(xiàn)出來，幫助學生更為快速地找到解題的突破口，使學生了解不同問題條件背后所隱藏著的知識信息，學生也將學會多角度看待問題，運用不同的方式解決問題。另外，學生在得到了答案之后，也能夠借助圖形進行歸納和總結，加深對題目的理解，掌握數(shù)與形之間的關系，基于具體的問題，進一步分析數(shù)與形之間的轉換，突破思維定式，提升解題的思維與技巧。

（三）有利于發(fā)展學生創(chuàng)新創(chuàng)造素養(yǎng)

數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用將能有效發(fā)展學生的創(chuàng)新創(chuàng)造素養(yǎng)。數(shù)形結合思想從數(shù)學本質規(guī)律出發(fā)，以培養(yǎng)學生解決抽象問題的能力為目標，讓學生在深入解讀并熟悉了教材知識點的基礎上，對數(shù)學知識產(chǎn)生直觀化理解，并在頭腦中建構起有關數(shù)學知識的數(shù)形關系，形成數(shù)學思維。在數(shù)形結合思想長期的熏陶與感染下，學生在學習中將下意識地將圖形與各種知識點串聯(lián)在一起，探尋其中的數(shù)形關系，持續(xù)發(fā)展獨立思考能力。這樣一個過程不僅能讓學生經(jīng)歷科學嚴密的思考過程，也將推進學生的快速發(fā)展。學生能夠聚焦不同的知識點，以不同的圖像呈現(xiàn)出來，還能夠利用知識點，尋求問題的不同解法，大幅提升他們的綜合能力，全力發(fā)展創(chuàng)新創(chuàng)造素養(yǎng)。

三、 數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用策略

（一）數(shù)形結合思想在高中數(shù)學理論知識講學中的應用

1. 創(chuàng)設數(shù)形結合情境，初步認知理論知識

高中階段的數(shù)學理論知識具有一定的抽象性，教師在應用數(shù)形結合思想輔助學生理解理論知識的過程中，應該重視數(shù)形結合情境的創(chuàng)設，以情境引領學生產(chǎn)生對理論知識的形象感知，激發(fā)學生探究理論知識學習的興趣與能動性，使得學生能夠在情境感知、情境探究等活動中初步解讀理論知識，形成對理論知識的直觀認知。

以人教版高中數(shù)學課本教材為例，教師在教學《單調性與最大（小）值》時，其中的教學重點就是讓學生借助函數(shù)圖像學會用符號語言表達函數(shù)的單調性，理解函數(shù)單調性的作用及實際意義。在讓學生展開對函數(shù)單調性及最大、小值探究之前，教師就要創(chuàng)設與之相關的數(shù)形結合情境，讓學生獲得初步的感知。比如，教師可以借助信息技術為學生播放打羽毛球的視頻，讓學生思考一個問題：“羽毛球拋出又下落的軌跡與什么相似？”這一豐富的生活化情境能夠拉近所教學內容與學生經(jīng)驗認知之間的關系。基于這一情境，教師可以指導學生完成繪圖，增進感知。比如，教師可以讓學生在草稿紙上畫出羽毛球拋出時的運動軌跡及羽毛球下落時的軌跡，學生在一系列直觀化體驗中，將重點關注羽毛球拋向“最高處”的這一點，進而引申出函數(shù)的最值。在學生積累了豐富的經(jīng)驗認知之后，教師再順勢引入二次函數(shù)，讓學生自行繪制二次函數(shù)圖像，并將其與羽毛球拋出時的運動軌跡相對比，聚焦羽毛球“上升”“下降”問題，探究二次函數(shù)單調上升及單調下降的問題。最后，再將毛球的最高點和最低點與函數(shù)的最大值和最小值相聯(lián)系，讓學生獲得對增函數(shù)性質與最值、減函數(shù)性質與最值的初步認知，并將這種認知遷移應用于后續(xù)函數(shù)“奇偶性”的探究與討論中，逐漸加深他們的理論知識學習程度。

2. 實施數(shù)形結合推理，深層掌握數(shù)學理論

在以往的教學過程中，學生始終處于被動接受知識的狀態(tài)，他們對知識的理解難以達到“深度”境地。在具體的教學中，教師可以通過數(shù)形結合的方式引導學生參與知識的推理與分析活動，使得他們在推理過程中從不同的角度參與知識生成的過程，深層掌握數(shù)學理論，形成良好的抽象意識及歸納思維，切實提升數(shù)學學習能力。這樣一來，學生理論知識學習效果將更佳，也能夠促進他們達成對基礎知識內容的多元、全面、立體建構，為后續(xù)的遷移應用知識解決實際問題奠定基礎。

以人教版高中數(shù)學教材中《同角三角函數(shù)的基本關系》為例，對sin2α+cos2α=1這一基本關系式的講解，便可以借助教材中的圖像（如圖所示）輔助學生理解。基于這一圖像，讓學生從中得出數(shù)量關系。比如，OM2+MP2=1，以此得出x2+y2=1。在得出了這樣一層關系式之后，教師在讓學生仔細觀察圖像，當α的終邊與坐標軸重合的時候，這個公式便成立了。因此，結合這一圖像，根據(jù)三角形函數(shù)的定義，當α≠kπ+π2（k∈Z）時，有sinαcosα=tanα。基于這一圖像信息，學生可以總結具體的語言表達：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。如上，教師在教學中借助教材的圖像讓學生經(jīng)歷了同角三角形函數(shù)基本關系式的推導，使得學生親身經(jīng)歷了理論知識生成的過程，加深了對三角形函數(shù)基礎知識點的理解。在后續(xù)更多的三角函數(shù)關系式推導中，教師同樣可以輔助使用圖像讓學生理解、經(jīng)歷數(shù)學原理的推導與證明過程，使其感受知識間的內在聯(lián)系，提升對知識的理解效度。

（二）數(shù)形結合思想在高中數(shù)學問題解決實踐中的應用

1. 以形解數(shù)，降低難度

以形解數(shù)主要聚焦學生對代數(shù)問題的解決，代數(shù)問題在高中數(shù)學解題中占據(jù)較大比重，且都有較強的抽象性，學生在解答的時候存在各種困難。因而，教師可以讓學生借助圖形表示數(shù)量關系或者變化過程，精準分析其中所涉及的數(shù)量信息，降低問題理解的難度，使得學生能夠將一些復雜的題目信息簡單化、直觀化，變成易懂的圖形圖像，輕松找到解題的突破口。同時，借助圖形還能夠使學生逐漸明晰解題的思路，避免解題過程偏離方向，大幅提升解題效率。

以人教版高中數(shù)學課本教材為例，教師在教學《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》時，一元二次方程的根值問題是一個重點。教師可以出示一道比較經(jīng)典的“根值”問題，通過數(shù)形結合的方式輔助學生分析、解答，讓他們學會使用數(shù)形結合思想解答代數(shù)問題，降低難度。教師可以出示以下問題：

關于x的實系數(shù)方程x2+ax+b=0的一個根在（0，1）內，另一個根在（1，2）內，那么a+2b-3的范圍是多少呢？這是一道比較經(jīng)典的一元二次方程根值問題，教師可以讓學生利用圖像完成解析，剖析其中的數(shù)量關系，找到解題的突破口。學生可以使用兩種方法完成解析，具體如下：

解析一：根據(jù)這一方程兩個根的信息，可以確定f（0）=b>0f（1）=1+a+b<0f（2）=4+2a+b>0，基于這一信息，可以畫出（a，b）的區(qū)域（如下圖1），結合圖像，可以確定點A、B、C的坐標分別為（-1，0）（-2，0）（-3，2）。令z=a+2b-3，由線性規(guī)劃可得：z=a+2b-3的取值范圍是（-5，-2）。

解析二：在同一個坐標系中分別作出函數(shù)g（x）=－x2和h（x）=ax+b的圖像（如下圖2），h12=12a+b。函數(shù)h（x）=ax+b的圖像由拋物線上O、E之間的一點B和E、F之間的一點A得以確定，所要求的“z=a+2b-3”取值范圍便是求直線與x=12的焦點縱坐標的取值范圍。基于這一圖像，可以很明確地得出一個信息：當直線經(jīng)過E、F時，最大，經(jīng)過O、F時，最小。結合圖像信息，便可以確定a+2b-3的取值范圍為（-5，-2）。

如上，教師在讓學生解答一元二次方程的根值問題時，從兩個不同的角度圖坐標軸，使得學生借助圖像找到了a+2b-3的取值范圍，這樣就大幅提升了學生的解題效率，降低了解題難度，持續(xù)深化了數(shù)形結合思想。

2. 以數(shù)促形，強化邏輯

以數(shù)促形主要聚焦學生對幾何問題的解決，讓學生用數(shù)字驗證圖形或直觀反映圖像信息，也就是讓學生在幾何直觀的基礎上對數(shù)量關系進行分析，這樣的過程將持續(xù)增強學生的邏輯思維，提升他們對基礎知識點的辨析能力。立體幾何問題看似是“形”的問題，但還是與“數(shù)”的知識、方法有著十分緊密的關聯(lián)。教師在指引學生解答立體幾何問題時，便可以運用數(shù)形結合思想，為學生的解題提供新思路、新視角，讓他們擁有更多的解題選擇。同時，學生在這樣一系列的實踐探索中，將自覺辨析代數(shù)方法、幾何方法解決立體幾何問題的優(yōu)缺點，從而基于自身的知識與技能基礎，摸索出更加適合自身的解題方法，使得解題效率得到大幅提升。

以人教版高中數(shù)學教材中《圓錐曲線的方程》為例，以圓錐曲線為背景考查代數(shù)知識的問題比較多，教師可以為學生出示一道比較經(jīng)典的例題，引領學生以數(shù)形結合思維完成推理，強化邏輯，大幅提升解題的效率與質量。對此，教師可以為學生出示以下例題：

如圖所示，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD，△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上的一點，PO=66DO，求證：PA⊥平面PBC。

以上問題以圓錐為背景，考查線面垂直問題，需要學生以數(shù)形結合的方式完成解答，從而持續(xù)深化邏輯推理素養(yǎng)。證明垂直的問題，除了可以使用幾何中垂直關系知識點之外，還可以使用代數(shù)中表示垂直的數(shù)量關系。這道題中給出的信息基本是數(shù)量關系，比如，AE=AD、PO=66DO等，所以在求PA⊥平面PBC時，便可以從代數(shù)關系入手。先設DO為a，根據(jù)題目信息可得：PO=66a，AO=33a，AB=a，PA=PB=PC=22a。根據(jù)以上信息，可以得出以下結論：

結論一：PA2+PB2=AB2。依據(jù)這一數(shù)量關系，可以得到PA⊥PB；

結論二：PA2+PC2=AC2。依據(jù)這一數(shù)量關系，可以得到PA⊥PC。

根據(jù)線面垂直的證明條件，依據(jù)以上結論，便可以得證PA⊥平面PBC。

如上，教師在讓學生解答以上幾何證明題時，沒有直接從線面垂直幾何證明條件的知識點入手，而是結合題目中的信息，抓住了一些數(shù)量關系，由已知的數(shù)量關系繼續(xù)延伸，推導出其他的數(shù)量關系，構建“PA2+PB2=AB2”“PA2+PC2=AC2”的數(shù)量條件，得出線線垂直結論，最后證明線面垂直。這樣一個過程充分體現(xiàn)了以數(shù)促形，學生在解題的過程中，邏輯思維不斷深化，實現(xiàn)了解題能力的提升。

四、 結論

綜上所述，在高中階段的數(shù)學教學過程中，教師應該重視數(shù)形結合思想的應用，大幅提升學生的學習效果及質量。因而，教師應該從意識理念層面明確數(shù)形結合思想的基本內涵，領悟數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用價值。隨后，在理論知識教學及問題解決實踐中積極應用數(shù)形結合思想，使得學生將數(shù)形結合思想貫穿于知識學習及解題實踐中，持續(xù)深化他們的邏輯分析能力、數(shù)學建模應用能力及數(shù)學運算能力，推進學生展開更為深入的數(shù)學學習活動，達到深度學習的境地，實現(xiàn)知識、技能及素養(yǎng)的提升，進而全方面貫徹落實新課標的理念，打造更為高效的數(shù)學課堂。

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