兩版教材中“分數的意義”內容的比較研究

俞人靖 章勤瓊

摘? 要：從概念維度和模型維度，結合年級分布和環節分布，對中國北師大版小學數學教材和新加坡小學數學教材My Pals Are Here中的“分數的意義”內容進行分析比較，發現：兩版教材中“分數的意義”內容的編排和呈現基本符合學生的認知發展水平，新加坡版教材運用大量的度量模型突出分數的“度量”意義，北師大版教材運用大量的面積模型突出分數的“整體中的部分”意義。由此提出教學建議：明確分數的多種意義，重視“度量”意義；豐富分數的表征模型，增加度量模型；突出單元的核心目標，引領課時學習。

關鍵詞：小學數學；教材比較；分數的意義；概念維度；模型維度

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本文系國家社科基金2020年度一般項目“大數據支持下的中小學合作型課堂組織形式建構研究”（編號：20BGL127）、福建省教育科學“十四五”規劃2022年度基礎教育高質量發展重點專項課題“高質量發展視域下課堂教學的評價指標體系構建研究”（編號：FJGHZD22-06）的階段性研究成果。章勤瓊為本文通訊作者。

不論對學生還是對教師來說，分數都是一個充滿疑惑和困難的數學模塊［1］，所以，在小學數學課程中，分數內容受到大量關注。解決分數問題時，依靠概念性知識的學生會比依靠程序性知識的學生表現得更好［2］，所以，理解分數的概念（意義）位于首要且關鍵的位置。然而在現實中，學生進行分數運算的能力遠強于理解其意義的能力，如學生會運用分數運算規則計算34×12，但不能說明是什么意思。［3］本研究對我國北師大版小學數學教材和新加坡大部分政府學校使用的小學數學教材My Pals Are Here（Marshall Cavendish出版社出版）中的“分數的意義”內容進行分析比較，以期對教學實施（包括教材完善）提出合理建議。

一、 研究框架與方法

小學階段的分數內容包括分數的認識、分數意義的理解、分數的基本性質、分數的四則運算以及有關分數的問題解決。本研究分析比較的是兩版教材中體現分數意義的分數的認識、分數的理解、分數的基本性質內容，不包括體現分數意義的應用的分數的四則運算和有關分數的問題解決內容。

數學內容在教材中有兩個維度值得關注：首先是概念維度，即數學內容中的不同概念；其次是模型維度，即表征數學概念的不同模型。本研究從概念維度和模型維度，結合年級分布（北師大版的12冊教材中，共有3冊涉及分數的意義，分別是三年級上冊、五年級上冊和六年級上冊；新加坡版的12冊教材中，共有5冊涉及分數的意義，分別是二年級下冊、三年級下冊、四年級下冊、五年級上冊和六年級上冊）和環節分布（將兩版教材的編排劃分為四個環節：主題部分、學習部分、活動部分和練習部分。北師大版教材中，目錄頁上每個單元的標題及標題旁的插圖為主題部分；每個課時中要求學生操作、探究的活動為活動部分，其余為學習部分；每個課時后的“練一練”和單元“練習”為練習部分。新加坡版教材中，單元標題頁為主題部分，每個課時中的Before you learn和Hands-on Activity中的Work in groups為活動部分，Hands-on Activity中的Try和Chapter Review為練習部分，其余的Learn為學習部分），對“分數的意義”內容進行分析比較。

就概念維度而言，不同學者對分數的概念有不同的理解。Kieren指出分數具有部分整體概念、度量概念、乘法運算子概念、商的概念以及比的概念，并認為部分整體概念是學生學習分數的基礎，同時應整體、全面地從各種概念難度去理解分數。［4］Hansen將分數的意義分為整體中的部分、集合中的部分、數線上的數（兩個整數間的數）、商和比，并認為教學應根據其對學生認知挑戰的程度，從低到高進行。［5］Forrester在Kieren的基礎上增加了等值分數，并說明了分數作為算子能使一個量變大或減小。［6］總體而言，對分數的意義進行整理，主要有整體中的部分意義、度量意義、商意義、比意義以及算子意義。［7］將國內外學者對分數意義的理解進行整合，可以對分數的意義做如表1所示的分類和描述。

需要說明的是，對分數的意義進行劃分是為了從學科本質上審視教材編排和教學活動，最終目的是讓學生對分數意義的理解更為全面和深入，避免因為思維定式造成認知障礙，因此，不能孤立地去理解分數的各種意義。［8］事實上，意義之間也存在著些許重疊，如在“度量”意義中，分數單位是將1平均分得到的，其中的一份就是一個分數單位，這就涉及“整體中的部分”意義。劃分后的每個意義強調其側重的那一方面，如教材中用類似“五個三分之一”這樣的語言描述分數，體現出分數是分數單位的累加這一“度量”意義。另外，“乘法運算子”這一意義在分數的乘除計算中體現，更偏向于程序性知識，因此在教材比較中，不對這一意義進行編碼。編碼時，以每個問題為單位，考慮該問題側重傳達分數的何種意義，進行相應的編碼；若一個題目中包含多個小題，且體現不同的意義，則分別計數。

就模型維度而言，Mohan和Tricia指出在分數教學中常用到的幾個模型，包括面積模型、離散模型和度量模型。［9］此外，Sitti等人在研究中發現，數線對學生學習分數有很大的支持作用。據此，將表征分數的模型分為四類，如表2所示。

面積模型強調一個整體被平均分成多份后，涂色部分的大小或其與整體的關系。離散（集合）模型是指以多個事物組成的集體為一個整體，用分數表示其中一個或多個與整體的關系。度量模型側重分數單位的識別和累加，即先確定分數單位，再通過分數單位的累加形成分數。數線模型可以看成度量模型的進一步抽象，同樣強調分數單位的識別，在此基礎上確定分數在數線上的位置，并將整數與分數相聯系。結合表征分數的模型和分數的意義來看，面積模型和離散（集合）模型更側重“整體中的部分”意義，度量模型和數線模型更側重“度量”意義。編碼時，若同一個問題中呈現不同的模型，則分別計數；若同一個問題下多次出現某個類別的模型，則多次計數。

二、 研究結果與分析

（一） 概念維度

兩版教材中分數不同意義的占比如圖1所示。可見，新加坡版教材中，“整體中的部分”意義和“度量”意義占比較大（分別為33.0％和45.3％），“商”意義占比最小（僅為9.4％）；北師大版教材則將重點放在“整體中的部分”意義上（占62.0％），相對忽視了“度量”意義（僅占15.0％）。

兩版教材中分數不同意義的年級分布如下頁表3所示。

可見，新加坡版教材中，“整體中的部分”意義集中于二、三年級，四至六年級雖然也有涉及，但是明顯減少。另外，在二年級剛接觸分數時，新加坡版教材就開始向學生滲透“度量”意義，且從二年級到四年級越來越多，直至四年級重點學習。五年級開始介紹“商”意義，但是“商”意義占比最小，六年級便不再繼續滲透和應用。“比”意義集中于六年級：此前的學習中，學生處理的對象僅限于一個；而六年級時，學生需要用分數表示兩個量之間的關系，并用分數表示比值，同時需要識別分子和分母分別代表哪個量。由此推測，在新加坡版教材編寫者看來，學生對“整體中的部分”意義和“度量”意義的理解是并駕齊驅的，“商”意義對學生的認知能力（特別是抽象能力和聯系能力）要求較高，“比”意義挑戰性最強。

北師大版教材在三年級初次引入分數時，大篇幅集中呈現“整體中的部分”意義。到五年級，介紹“度量”意義；同時，“整體中的部分”意義還在延續，且數量接近“度量”意義的兩倍。“商”意義安排在五年級，但所占篇幅同樣很小，且只用一個字母式表示分數與除法的關系。另外，在五年級雖然沒有明確介紹“比”意義，但是能在一些練習中發現“比”意義，即用分數表示兩個量之間的關系，如“山娃家一共養了6只羊，8只鴨子，20只兔子，羊的只數是鴨子的幾分之幾？羊的只數是兔子的幾分之幾？”。真正介紹“比”意義是在六年級，但更多的是用分數表示比值，用分數化簡比值。可見，北師大版教材著重于“整體中的部分”意義，在“比”意義方面更關注分數表示、化簡比的程序性作用。

兩版教材中分數不同意義的環節分布如表4所示。從中也能看出兩版教材對分數不同意義的重視程度。新加坡版教材明顯體現出主題部分的引導作用，每一單元的主題頁中都有說明性的單元大觀念及課時安排，重點突出，階段明確；同時，單元內每一個環節集中體現的意義與主題頁呈現的意義相符。此外，學習部分和活動部分是新加坡版教材體現分數意義的主要環節，而學習部分和練習部分是北師大版教材體現分數意義的主要環節。

（二） 模型維度

兩版教材中表征分數不同模型的占比如圖2所示。新加坡版教材中，面積模型與度量模型占比相近，都接近50％，離散模型和數線模型占比很小。可見，它更偏向于運用連續量的平均分模型幫助學生理解部分與整體之間的關系——只于四年級用分數表示一個集體中的一部分時采用離散模型；更多采用度量模型幫助學生理解分數單位的累加——雖在三、四年級將度量模型進一步抽象成數線模型，要求學生將分數對應到數線上的點，但是數線模型出現的頻次相比于度量模型少得多。北師大版教材中，面積模型占比最大（為63.3％），離散模型其次，而度量模型和數線模型占比非常小。其中，度量模型和數線模型占比基本持平，而離散模型、度量模型、數線模型的總占比遠低于面積模型的占比。

圖2

兩版教材中表征分數不同模型的年級分布如表5所示。可見，新加坡版教材中，面積模型在二、三年級占比最高，度量模型在三、四年級占比最高；三年級是轉折點，度量模型

的應用遠高于面積模型；度量模型貫穿學生學習分數的整個階段。北師大版教材在三年級呈現面積模型和離散模型，并以面積模型為主；五年級時面積模型的數量減少，離散模型的數量基本不變，且面積模型和離散模型的總和接近度量模型和數線模型總和的三倍。

兩版教材中表征分數不同模型的環節分布如下頁表6所示。橫向看，新加坡版教材重視面積模型和度量模型，在主題部分和活動部分更多地采用面積模型，在學習部分和練習部分更多地采用度量模型，而離散模型和數線模型較少；北師大版教材不論在學習部分、活動部分還是練習部分，都使用大量的面積模型。縱向看，新加坡版教材在學習部分和活動部分使用的模型數量都大于或接近練習部分；而北師大版教材中的模型更多地體現于練習部分，即通過題目呈現模型。

三、 研究結論

綜合上述兩個維度的研究結果，可以得到兩版教材比較研究的結論：

（一） 共同點：兩版教材中“分數的意義”內容的編排和呈現基本符合學生的認知發展水平

兩版教材初次引入分數時，都采用“整體中的部分”這一意義，引導學生從部分與整體關系的角度認識分數。體現“整體中的部分”意義的“平均分”情境在生活中非常常見，對學生來說挑戰較小。以此引入，符合學生自主建構知識的規律，同時能夠調動學生的已有經驗，支撐學生直觀地理解分數。

此外，在學生初次接觸分數的二、三年級，兩版教材都利用大量的表征模型，結合大量的生活情境，幫助學生順利地認識這一相對整數來說較為“奇怪”的數的意義，比如讓學生將代表一塊比薩的圓平均分成4份，得到1份就是14塊比薩，也是整塊比薩的14。學生在操作圖形的過程中與分數的意義相聯系，順應具體形象的認知發展水平。而在五年級學習“商”意義、六年級學習“比”意義時，兩版教材中表征模型的呈現次數都顯著減少，特別是在學習“商”意義時。其原因可能與五、六年級學生的認知發展水平向形式運算階段過渡，抽象概括、想象能力進一步發展有關，也可能與將整數除法算式寫成分數形式這一較為程序性的操作有關。

（二） 不同點：新加坡版教材運用大量度量模型突出分數的“度量”意義，北師大版教材運用大量面積模型突出分數的“整體中的部分”意義

新加坡版教材十分重視“度量”意義，從“整體中的部分”意義引入分數后，在學習分數的第二階段就將“度量”意義放在主要位置。編排上，一方面，體現分數學習的連續性，即從二年級開始，每個年級都有分數的學習，且不同年級有不同的側重點；另一方面，體現“度量”意義教學的一貫性，即二年級以“整體中的部分”意義為主，同時伴有“度量”意義的認識，此后每個年級都將“度量”意義的理解和運用滲透到學習內容中。另外，新加坡版教材使用了大量的表征模型（總數接近北師大版教材的兩倍），即格外重視幾何直觀對學生思維的支持作用。同時，教材中的活動部分和學習部分通常與表征模型相結合，幫助學生在活動中建構學習經驗，理解分數的意義。在四種表征模型中，使用最多的是度量模型，它不僅貫穿學生學習分數的整個階段，還在三、四年級占主體地位。

北師大版教材偏好通過“整體中的部分”意義幫助學生在不同階段理解分數，在學習分數的三個階段，幾乎都將“整體中的部分”意義置于關鍵位置。這一做法在初學分數時，能夠讓學生快速地建立“平均分”情境，更容易接受和理解分數；但在后期學習假分數及分數與除法的關系時，則容易造成學生的認知障礙。此外，北師大版教材更多地使用面積模型和離散模型，因此，學生會對“整體中的部分”意義掌握得較好。同時必須注意到，教材運用的表征模型數量較少，常常使用單一的文字語言描述問題及其情境，且學生的實際操作活動較少，這就要求學生具備較高的抽象能力，才能理解分數的意義、解決問題。特別是六年級學習分數“比”意義時，幾乎不采用表征模型引導學生直觀地體會兩個量的關系，這會使原本就抽象的分數放到問題情境中時更加抽象和難以理解。

值得一提的是，新加坡版教材很好地體現了目標導向作用，每個單元起始都有能夠體現本單元核心內容和目標的主題頁，其中的大觀念即本單元的核心目標。如二年級分數單元主題頁中的大觀念為“分數可以用來描述平均分的部分是如何與整體相聯系的”，這表明本單元中分數的“整體中的部分”意義是重點。相比之下，北師大版教材缺乏能夠引領整個單元的大觀念，如五年級同時呈現了“整體中的部分”“度量”“商”“比”四種意義，但可惜的是，無論是“度量”“商”還是“比”意義，都沒能在新一個階段取得主角的地位。

四、 教學建議

基于上述研究結論，可以得到關于“分數的意義”內容的教學建議（從某種角度看，也是對我國教材修訂的建議）：

（一） 明確分數的多種意義，重視“度量”意義

分數的意義內涵豐富，將其分類并明確表述，學生才能對分數有更為全面的理解，以避免只關注“整體中的部分”意義這一隅，導致無法延續后面假分數、分數四則運算的學習。同時，需要考慮分數的各種意義及其聯系在年級上的合理分布，盡可能在每一學年都讓學生見到“熟悉”的分數，通過更有連續性的學習幫助學生螺旋式上升地理解較為抽象的分數。

可以認為，“度量”意義是最能夠體現分數作為數的本質的意義，在學生學習分數時起貫通作用。例如，假分數的認識就可以由“度量”自然地過渡，用14作為單位量，量3次有3個14，就是34，量5次有5個14，就是54。因此，教師需要認識到“度量”意義在學生后續分數學習中的解釋作用，在教學中提升“度量”意義在所有意義中的比重，并且讓“度量”意義貫穿學生分數學習的整個階段。

教學時，為了厘清分數的多種意義，需要把握每種意義的學習目標和核心。比如，“整體中的部分”意義的學習目標是理解平均分的部分與整體的關系，其核心是將分數的表示與平均分后取份數的過程相對應；“度量”意義的學習目標是理解分數與整數、小數在數本質上的一致性，其核心是分數單位累加得到分數；“商”意義是分數的真正來源［10］，即分數源于兩個整數相除不能得到整數時數系擴充的需要，其核心是理解整數除法可以寫成分數的原因，不能只是簡單地將整數除法中的被除數和除數與分數的分子和分母相對應。此外，當“整體中的部分”意義過渡到“度量”意義后，就應常用“度量”意義來建構學生對分數的深刻理解。如學習“商”意義，即為什么a除以b可以寫成ab，可以做如下解釋：a除以b也就是將a中每個1除以b，則1b就是一個單位，一共有a個，就是ab。

（二） 豐富分數的表征模型，增加度量模型

在現實中，不少學生無法利用圖示表征分數問題，特別是六年級分數表示兩個量之比時；此外，有學生能運用運算法則或解題技巧快速進行分數計算和問題解決，卻無法說明為什么要這樣算，為什么能這樣算。小學高年級學生的思維雖然逐漸向抽象水平發展，但是仍然以具體形象思維為主導，因此，面對抽象的分數問題，仍然需要直觀模型來輔助。對此，教師首先需要呈現大量的直觀模型，引導學生運用豐富的表征模型理解分數的多種意義。

通常，教學“分數的初步認識”，即“整體中的部分”意義時，教師會選擇大量的面積模型來幫助學生理解分數。這種方式到了學習假分數等內容時，便有可能成為學生理解的阻礙。對此，后續教學“分數的意義”時，教師應該更多地選取度量模型，通過分數單位向學生呈現分數，從而幫助學生跳脫出“平均分”情境，從數的一致性上理解分數。在此基礎上，還要逐步地過渡到更為抽象的數線模型，從而幫助學生真正理解分數與整數、小數的一致性，對數系有更完整的理解。

當然，學生對分數的不同表征反應了其對分數意義理解的水平層次。因此，在重視度量模型和數線模型的同時，也要關注表征的豐富性，從分數意義的不同方面理解分數，解決問題。例如，教學分數的基本性質時，既可用面積模型，從部分與整體關系的視角解釋，也可用度量模型，從分數單位的視角解釋。

（三） 突出單元的核心目標，引領課時學習

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了“整體把握教學內容”“重視單元整體教學設計”的建議。為此，明確單元核心目標尤為關鍵。明晰了分數的多種意義后，教師可以對各種意義做整體思考和規劃，在每個單元的教學中突出核心目標，從而引領課時教學的方向。具體地，首先要以整體化的視角審視單元知識之間以及當前階段知識與下一階段知識之間的聯系，在此基礎上將核心目標分解成具體的可評價的表現性目標，即達成這一目標時學生需要有什么樣的表現，然后便可以設計出與目標相對應的學習任務，引發學生的學習活動。

學生的學習活動經驗，包括探究經驗、互動經驗、游戲經驗等，都是其自主建構知識的豐富土壤。在單元核心目標的引領下，可以設計豐富多樣的學習活動，讓學生在實踐、探究、體驗、合作、交流中感悟分數的基本思想，積累關于分數的基本活動經驗，從而促進學生全面、深刻地理解分數。比如，在“度量”意義的教學中，設計度量活動讓學生重走古人之路：以1張紙條為單位來測量物體的長度，當不能剛好用“幾張紙條”來表示物體的長度，且紙條太長時，將紙條對折，產生幾分之一的分數做測量單位，得到測量結果。再如，設計將分數大小比較與撲克牌游戲相結合的活動、找朋友合成“1”的活動等。

參考文獻：

［1］ M.Chinnappan，T.Forrester.Generating procedural and conceptual knowledge of fractions by pre-service teachers［J］.Mathematics Education Research Journal， 2004（3）：872.

［2］ D.Hallett，T.Nunes，P.Bryant.Individual differences in conceptual and procedural knowledge when learning fractions［J］.Journal of Educational Psychology，2010（2）：395406.

［3］ M. Aksu. Student Peformance in Dedling with Factions［J］.The Journal of Educational Research，1997（6）：375.

［4］［5］［8］ J.Mills.Developing Conceptual Understanding of Fractions with Year Five and Six Students［D］.Hamilton：The University of Waikato，2013：480，480，480.

［6］［9］ T.Forrester.Generating procedural and conceptual knowledge of fractions by pre-service teachers［J］.Mathematics Education Research Journal，2014（3）：883，883.

［7］ 章勤瓊，徐文彬.論小學數學中分數的多層級理解及其教學［J］.課程·教材·教法，2016（3）：4349.

［10］ 張奠宙.分數的定義［J］.小學教學（數學版），2010（1）：4849.

（俞人靖，浙江省嘉興市實驗小學。章勤瓊，福建師范大學教育學院，教授，博士生導師。）