基于核心素養的高中數學《集合》教材內容編排的比較研究

楊定珺 何方國

摘? 要：小學和初中的學生已經接觸過一些集合，為了更加有效地使用集合語言，學生需要進一步了解集合有關知識.本研究從宏觀和微觀兩個維度對人教A版、蘇教版、北師大版三個版本的教材中《集合》的內容、習題數量和難度進行比較，并對三版教科書中數學文化的運用進行分析，以便一線教師在教授集合知識時可以根據學生的實際能力選擇合適的教學方法.

關鍵詞：教材比較；內容分析；集合；數學教學

1? 問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，［1］其中數學抽象能力和邏輯推理能力是自主發展能力的重要組成部分，而集合是學生進入高中階段學習的第一個數學知識點，也是培養學生抽象思維能力和邏輯推理能力很重要的一部分.在教學實踐中，學生學會了知識點卻無法將抽象知識點具體應用到習題中，針對此類情況，筆者將高中數學人教A版、蘇教版、北師大版教材進行對比研究，進行相互借鑒，期望對教師制定教學策略提供幫助.

2? 研究內容及方法

2.1? 研究內容

在中學階段，我國不同地區使用不同版本教材，筆者選取了三種使用范圍較廣的教材，即人教A版、蘇教版、北師大版教材.本文內容選自2019年人教A版必修第一冊、2019年蘇教版必修第一冊以及2019年北師大版必修第一冊.主要研究的是集合的概念與表示、集合間的基本關系、集合的基本運算的教材內容編排分析和教材中習題的數量與難度的比較.

在對三版教科書中《集合》的習題數量進行統計時，若一道習題中包含多次提問，無子問題，則把該題數量記為1；若一道習題中分設子題目，則按子題目數量統計；若一道習題為填空題，則每一空為一題.

針對以上習題數量的規定，給出以下3個示例，并解釋說明.

例1? 指出下列各集合之間的關系，并用Venn圖表示.

A=｛x｜x是四邊形｝，B=｛x｜x是平行四邊形｝，C=｛x｜x是矩形｝，D=｛x｜x是正方形｝.

說明：該習題中不分設子題目，數量記為1.

例2? 判斷下列元素的全體是否組成集合，并說明理由.

（1）與定點A，B等距離的點；

（2）高中學生中的游泳能手.

說明：該習題中分設兩個子題目，數量記為2.

例3? 用符號“∈”或“”填空.

0??? N；-3??? N；0.5??? Z.（其中N為自然數集，Z為整數集）

說明：該填空題中有三個空，數量記為3.

2.2? 研究維度

本文主要從宏觀和微觀兩個角度對三個版本教材中集合內容進行對比分析.宏觀比較主要指包含三版本教材結構的比較，微觀比較主要包含集合知識導入對比、知識的呈現對比、教材習題數量的對比以及其中蘊含的數學文化對比.

3? 研究結果與分析

3.1? 宏觀分析結果

三版教材都將集合這個知識點放在了必修一第一章節，人教A版把集合的表示放在了集合的概念這一小節的知識拓展中，蘇教版和北師大版是把集合的表示作為小節的重要部分；人教A版和北師大版中集合的基本關系是子集、真子集、空集，集合的基本運算包括并集、交集、補集、全集；蘇教版則將基本關系中的子集、空集、真子集和基本運算中的全集、補集放在第二小節，將基本運算中的交集、并集放在第三小節.［2］

3.2? 微觀分析結果

3.2.1? “集合”知識導入對比

在引入方面，人教A版運用了復習導入的方法，列舉了學生在小學和初中接觸過的一些集合，如所有的正方形等，做好初高中知識的銜接，能夠更好地將知識點進行遷移.在蘇教版中運用情境導入，激發學生的學習興趣，將數學文化中日常生活類素材融入教科書中，對學生人文素養的提升有非常重要的意義.北師大版則是將復習導入和情境導入相結合，以學生初中的數學學習和日常生活為起點，引入集合，這是社會生活類素材融入教科書中數學文化的很好體現.這三種導入方式都可以點燃學生的思維火花，為接下來對集合概念的學習奠定基礎.

3.2.2? “集合的概念”知識點呈現對比

人教A版是讓學生把1-10之間的每一個偶數作為元素，這些元素的全體就是一個集合，進而讓學生推導剩下五個例子能否組成集合，思考其中它們的元素又分別是什么.讓學生思考得到元素和集合的概念，即我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.［3］

蘇教版“集合的概念”的學習是運用初中數學學習的習題，讓學生先將數字填入相應的集合圈內，運用了圖形表征的方式幫助學生進一步理解并思考：什么是集合？如何用數學語言表示集合？由此得到定義：一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合；集合中的每一個對象稱為該集合的元素.［4］

北師大版運用初中數學和現實生活，把事物進行分類研究，而其中的每一類都可以構成一個集合，由此來引入集合的概念“一般地，我們把指定的某些對象的全體稱為集合”［5］.

三版教材都是將集合的概念從學生的數學學習和日常生活中抽象出來，可以激發學生思考的熱情，使學生的思維能夠迅速定位到抽象概念的學習當中.蘇教版在集合的概念旁邊指出了集合論的創始人是康托爾，將顯性數學史融入了教科書的編寫中，有利于學生加強對數學文化的認識，且其對于集合的定義為學生接下來學習集合的元素特征奠定了基礎，讓集合的概念具體化.

人教A版和蘇教版對于集合的元素特征都進行了說明，人教A版和北師大版中都涉及確定性和互異性，蘇教版比人教A版和北師大版多提了一個無序性.在人教A版中集合的元素特征不是這一小節的教學目標，而蘇教版認為集合互異性的辨析與應用是培養學生邏輯推理能力的重要一環.三版教材都對元素與集合的關系還有常用數集進行了說明，人教A版將常用數集匯總在表格中，蘇教版和北師大版則是用文字進行敘述，且用加粗字體重點標出了常用數集的記法，兩版教材都可以很直觀地向學生呈現出數集的記法，幫助學生對常用數集進行記憶.人教A版和北師大版在對集合和集合的元素進行概念闡述時都是直接進行說明，而蘇教版對集合概念運用了康托爾的人物介紹，在集合元素的概念陳述之后引入中國的直轄市，為學生進行解釋說明，這些都是數學文化在教科書的體現，能夠幫助學生認識數學的科學和人文價值.

3.2.3? “集合的表示方法”知識點呈現對比

人教A版先對列舉法進行說明，隨后舉出兩個例子，讓學生充分掌握列舉法的運用，此時教師需要對列舉法表示集合的注意點進行說明然后另外提出兩個思考題，這兩個題目中的集合是否仍然可以運用列舉法進行表示，得到否定答案之后再提出描述法，并舉例說明，最后提出兩個問題讓學生嘗試綜合運用這兩種方式表示集合.［6］

蘇教版直接解釋了列舉法和描述法，并插入Venn圖的展示，然后給出兩個例題讓學生完成，但是每一題都只運用一個方法讓學生表示集合，比較簡單，更適合一些數學基礎較好的學生進行學習理解，教師應在教學中對集合的表示方法運用提供更多的練習.

北師大版開門見山地向學生展示了集合的兩種表示方法：列舉法和描述法.首先給出列舉法的概念，然后給學生提供兩個例題，檢驗學生對列舉法的掌握程度；隨后用大于3且小于10的所有實數組成的集合無法用列舉法表示，讓學生形成認知矛盾，此時再用描述法表示，層層遞進，符合學生的思考規律.

3.2.4? “集合的基本關系”知識點呈現對比

人教A版、蘇教版和北師大版都是讓學生自主觀察三個例子中兩個集合之間的關系，推導出集合A中的每個元素都是集合B的元素，由此得出子集的概念：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集，記為AB.人教A版三個例子中有兩個是與學生社會生活密切相關的，可以將抽象概念具體化，有利于學生將復雜數學問題簡單化.三個版本的教材都闡述了空集的概念，并規定空集是任何集合的子集.在這個部分，人教A版和北師大版都對Venn圖進行解釋，并用Venn圖表示集合的包含關系，而蘇教版在第一小節就已經解釋了Venn圖，這時就直接運用Venn圖表示.人教A版是先引出真子集概念后引出空集，蘇教版則與之相反，北師大版是在“集合的概念與表示”這一節給出了空集的概念.三版教材在對基本概念解釋完畢之后都佐以例題讓學生能夠通過練習的方式加深對知識點的鞏固，教會學生思考，在解題過程中學會舉一反三.在“集合的基本關系”中，人教A版和北師大版沒有融入數學文化，可以適當增加數學文化的占比，蘇教版在概念引入時融入了數學文化.

3.2.5? “集合的運算”知識點呈現對比

人教A版將實數的加法運算遷移到集合的基本運算中，讓學生觀察兩組集合，思考集合之間的關系，推導得出并集的概念，隨后舉出兩個例子，強化學生對并集的理解，然后繼續讓學生觀察兩組集合，思考集合之間的關系得到交集的概念，后面繼續舉出兩個例題，鞏固學生對知識點的認識.

蘇教版則是先觀察思考得出交集的概念，然后引出并集的概念.

北師大版用集合C是由集合A和集合B的所有公共元素組成的等兩個實例引入交集的概念，隨后又用集合C是由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的等兩個例題引入并集的概念.

三版教材中都用符號、Venn圖對交集、并集進行了表示，符號語言抽象簡潔，Venn圖直觀形象，有助于學生將抽象概念簡單化.蘇教版和北師大版還運用數軸來表示交集與并集，在涉及一些數學區間的交并集上的表示更加直觀簡單.在這一個章節中，人教A版和北師大版都認為補集也是集合間的基本運算，還提出了全集的概念；但在蘇教版中補集和全集的概念呈現在了第二節中.求集合的并集、交集、補集都算是集合的運算，放在同一個小節里面可能更有利于學生理解概念，并能夠應用它們的性質去解決問題.蘇教版中還要求學生能夠理解掌握區間和集合的關系，并能應用它們解決一些簡單問題，而這個部分的學習對日后研究函數的定義域、值域、單調區間等內容起到了知識儲備作用.

3.2.6? 習題對比

習題的教學是數學教學的重要組成部分，學生解題的正確率可以反映學生對知識點的掌握情況，在習題中更容易融入數學文化，幫助學生理解數學思想和方法，培養良好的數學觀和數學思維能力，也能夠幫助學生認識數學的科學、人文和應用價值.

我們對三個版本的教科書的各欄目習題數量及其占比進行了統計分析（見表1）.

對人教A版、蘇教版和北師大版習題數量進行顯著性差異分析，結果顯示，三個版本教材在習題數量上不存在顯著性差異（χ2=6，p＞0.05）.

從整體上看，三版教科書習題均設置了練習題和章復習題兩個欄目的習題，人教A版和蘇教版還設置了節習題欄目，北師大版沒有設置節習題欄目.人教A版和蘇教版習題欄目設置比例為節習題＞練習題＞章復習題，且設置比例相差不大（如圖1）.從局部來看，北師大版在練習題欄目上設置比例高于其他兩個版本，占比為67.61%，章復習題設置比例也最高，占比32.39%.

在習題數量方面，三版教科書既有相同點，又有不同點，總習題量相差較大，但是習題欄目設置相似.其中，蘇教版的習題數量幾乎為人教A版和北師大版的兩倍，說明蘇教版非常重視學生對單個知識的理解和掌握.在章習題的設置比例上，北師大版高于其他兩個版本，說明北師大版教科書非常重視學生對知識的綜合運用，方便學生形成完整的知識框架.

下面對習題的難度進行分析比較，采用修正后的綜合難度模型進行難度分析，表2為該模型難度因素和水平分類.

根據表2，對三版教材例題、習題進行統計，并且利用公式求出各難度因素的加權平均值得到表3.

從表3中可以看出，三個版本的教科書綜合難度差異不大.從單個難度因素出發，在背景因素上，北師大版

教科書難度略高于人教A版和蘇教版，這是因為北師大版教材的習題相對來說涉及較多的學科情境背景，而另外兩個版本涉及較少.在運算和數學認知這兩個難度因素方面，三版教科書都呈現較大難度，難度加權平均值從大到小的順序為蘇教版、北師大版、人教A版，這顯然與集合知識本身存在較大關系.在運算難度因素上，集合的運算這個知識點涉及數值運算，導致三個版本教科書的習題在運算難度上變大；在數學認知難度因素上，因為集合的概念和表示抽象程度較高，學生在學習和理解上也會比較困難，從而對學生的認知能力提出了更高的要求，因此數學認知因素也呈現出五個難度因素中最高的加權平均值；在推理難度因素上，因為蘇教版設置了較多的證明題，所以蘇教版的難度加權平均值略高于人教A版和北師大版；在知識含量難度因素上，北師大版難度加權平均值略高，因為北師大版教科書在設置習題時需要學生綜合運用所學知識，用多個知識點解題.

4? 總結

從宏觀和微觀兩個方面比較人教A版、蘇教版和北師大版教材內容，可以發現人教A版和北師大版都把《集合》這個章節分為三個小部分：概念、基本關系、基本運算；而蘇教版則是分為概念和表示，子集、全集、補集，交集、并集，而這樣的目錄里只包含了一個小節里面的部分內容，不能對一節課的內容進行良好的概括，補集是集合基本運算的一個部分，可以與交集、并集一起學習，讓學生熟練掌握集合運算方法.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］林和鋁，周仕蓉.新課標視角下高中數學教材對比研究——以人教A版高中數學“集合”為例［J］.理學考試研究，2022（13）：15-18.

［3］章建躍，李增滬.普通高中教科書：數學（必修第一冊A版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［4］單墫，李善良.普通高中教科書：數學（必修第一冊）［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

［5］王尚志，保繼光.普通高中教科書：數學（必修第一冊）［M］.北京：北京師范大學出版社，2019.

［6］胡云飛.核心素養視角下基于探究的概念教學設計與反思——以《集合的含義及其表示》為例［J］.數學通報，2017（11）：33-36.