漸進式“再發現”:融思維發展于解題活動

張良江

摘? 要：數學教學是發展思維的教學，好比要在游泳實踐中學會游泳一樣，筆者力主學會思考、發展思維也應在思維實踐和思維活動中才能得到落實.解題活動作為數學教學的重要組成部分，其對發展思維具有無可替代的承載作用.因此教師應十分重視在解題過程中，就如何尋求解題思路給予示范與引導，讓思維活動具體化，使之看得見、抓得住.

關鍵詞：數學教學；學會思考；發展思維

數學教學是數學思維的教學，是數學學科獨特育人功能之所在，思維的教學需要貫穿于數學教學的全過程.作為數學教學的內容之一的解題教學，更是培養和提升數學思維的重要途徑.解題教學中，教師應努力創造條件使解題活動成為思維活動的再現.對于解題思路的分析、探求與形成，學生應在教師的指導下主動地探尋與獲取.本文試以一道幾何題多解思路的探求為例，力呈筆者的教學主張——漸進式“再發現”：在思維實踐中學會思考，在思維實踐中發展思維，請同行指正.

1? 原題呈現及分析

1.1? 原題呈現

已知矩形ABCD中（BC＞CD），點M在BC上，BM=CD，點N在CD上，且DN=CM，DM與BN交于點P，則DM∶BN=（? ）.

A. 3∶2

B. 1∶2

C. 2∶3

D. 2∶5

1.2? 思路分析

思考1：矩形ABCD的各邊長均未知，長寬比例也不確定，我們可以由此推斷該題的結論與矩形邊長無關，因此可以考慮給邊長及相關線段賦值、設元，通過計算來尋求解答.

思考2：題中條件“BM=CD”“DN=CM”為構造全等提供了可能，于是“平移、旋轉、對稱”等手段值得一試.

思考3：選項中“1∶2”“3∶2”等選項暗示我們，題圖中可能隱藏著特殊角（30°、45°、60°等），以此為突破口，構造等腰直角三角形或含30°的直角三角形，也可能是問題求解的新方向.

2? 解法探求及評析

2.1? 測量、驗證法

解法1? 題中并無相關數值，先以尺規作圖的方式較準確地畫出符合題意的圖形，分別測量出線段DM與BN的長度，近似地計算出比值粗略地進行驗證（注：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）.故選B.

評析與反思：當然，此解法中采用的畫圖、測量、計算、驗證的方法缺乏科學的嚴謹性.但是，在部分有已知選項的選擇題中，由于有答案的導向，在不易引起混淆的情形下，不妨一用.

2.2

定量賦值法

延續解法1的思路，由于不同學生所畫矩形ABCD的形狀、大小不盡相同（長寬尺寸以及長寬比例），但最終均可驗證出正確結果，這無疑在啟示我們，題中DM∶BN的值與矩形ABCD的邊長大小以及長寬比例無關.因此，對相關線段的長度賦以數值，則新解法便呼之欲出.

解法2? 如圖1，設DN=CM=1，BM=CD=2，則BC=3，CN=1，由勾股定理可得DM=5，BN=10.故DM∶BN=5∶10=1∶2.

評析與反思：毫無疑問，對線段賦值的方式肯定不是唯一的.如圖2，設DN=CM=3，BM=CD=4，則BC=7，CN=1，由勾股定理可得DM=5，BN=52.故DM∶BN=5∶52=1∶2.

2.3

一般賦值法

由解法2帶來的啟示，DM∶BN的值與矩形ABCD的長寬尺寸以及長寬比例無關，所以可以將解法2中的所賦數值更進一步地一般化，使解題過程更加具有邏輯嚴謹性.

解法3? 如圖1，設BM=CD=a，DN=CM=b，則BC=a+b，CN=a-b，由勾股定理可得DM=a2+b2，BN=（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）=2·a2+b2.故DM∶BN=a2+b2∶（2·a2+b2）=1∶2.

評析與反思：矩形中有“天然”的直角，通過一般化的賦值，應用勾股定理求出相關線段的值，再求比值，顯得直接而明了.勾股定理為幾何問題代數化提供了便利.

2.4? 平移法

DM∶BN的值為1∶2，這似乎在暗示我們，DM與BN應該可以構成一個等腰直角三角形的直角邊與斜邊.由此考慮適當改變DM與BN的位置，使二者具有同一端點，以期形成等腰直角三角形，從而促使問題的解決.而改變線段位置的方法通常有平移、旋轉與軸對稱等.

2.4.1? 平移線段DM

解法4? 如圖3，平移DM至NQ，連接MQ，BQ，則四邊形NDMQ是平行四邊形，得MQ∥DN，MQ=DN=CM，易證△BMQ≌△DCM，所以BQ=DM=NQ，且∠1=∠2，∠3=∠4，再由∠2+∠4=90°得∠1+∠3=90°，即∠BQN=90°，△BNQ為等腰直角三角形，所以DM∶BN=NQ∶BN=1∶2.

解法5? 如圖4，平移MD至BQ，連接QN，則四邊形DMBQ是平行四邊形，于是BQ瘙綊DM，DQ瘙綊BM，所以AQ=CM=DN.易證△ABQ≌△CDM≌△DQN，所以NQ=BQ=DM，且∠1=∠3，∠2=∠4，再由∠3+∠4=90°，得∠2+∠3=90°，即∠BQN=90°，△BNQ為等腰直角三角形，所以DM∶BN=BQ∶BN=1∶2.

評析與反思：平移DM，使其與BN具有公共端點，是出于“將DM，BN分別作為等腰直角三角形的腰與底邊”的考慮，有一種“生米煮成熟飯”的味道.從某種意義上講，該問題本身也會為解題思路的形成提供方向性的指引.

2.4.2? 平移線段BN

解法6? 如圖5，平移NB至DQ，連接QM，則四邊形DNBQ是平行四邊形，于是NB瘙綊DQ，BQ瘙綊DN，于是BQ=CM，易證△BMQ≌△CDM，所以MQ=MD，類同解法5，易得∠DMQ=90°，即△DMQ為等腰直角三角形，所以DM∶BN=DM∶DQ=1∶2.

圖5

圖6

解法7? 如圖6，平移BN至MQ，連接DQ，NQ，則四邊形BMQN是平行四邊形，得MQ瘙綊BN，NQ瘙綊BM，所以NQ=CD.易證△DNQ≌△MCD，DQ=DM，如前易證∠MDQ=90°，即△DMQ為等腰直角三角形，所以DM∶BN=DQ∶MQ=1∶2.

評析與反思：與解法4、解法5類似，平移BN與平移DM有異曲同工之妙，選擇平移哪條線段只是參照物選擇的不同而已.

2.5? 旋轉法

2.5.1? 繞點D旋轉線段DM

解法8? 如圖7，將線段DM繞點D順時針旋轉90°至DQ，連接MQ，作QF⊥BC于點F，交AD于點E，則△DMQ為等腰直角三角形，易證△DEQ≌△DCM，所以DE=DC，QE=CM=DN.所以QF=QE+EF=DN+CD=CM+BM=BC，易得CN=FM，可證△QFM≌△BCN，所以QM=BN，所以DM∶BN=DQ∶QM=1∶2.

2.5.2? 繞點M旋轉線段DM

解法9? 如圖8，將線段DM繞點M順時針旋轉90°至MQ，連接DQ，作QF⊥AD分別交AD，BC的延長線于點F、E，則△DMQ為等腰直角三角形，易知ME=CD，QE=CM.再由CM=DN可得CE=CN=DF，又FQ=FE+EQ=CD+CM=BM+CM=BC，于是△DFQ≌△NCB，所以DQ=BN.所以DM∶BN=DM∶DQ=1∶2.

評析與反思：將DM繞點D（或M）旋轉90°，構造了等腰直角三角形，再設法證明該三角形的斜邊與BN相等，是這兩種構造法的思考源頭.無疑，旋轉為思路的探求及解法的形成起到了鋪路、架橋的作用.

3? 探求感悟

波利亞有一句膾炙人口的名言：“掌握數學就是意味著善于解題.”可見解題對于數學學習的重要性.除了通過解題實踐來消化基礎知識之外，更重要的是通過解題實踐來提升思維能力，形成和發展數學核心素養.那么，如何引導學生科學地思考，讓學生主動地探索，使多解思路自然形成呢？

3.1

善于辨認、回憶、預見，及時發現“老鼠尾巴”

問題的已知條件與未知的結論，像兩個沒有橋梁連接的小島，而求解的過程，無疑就是為兩座小島之間架設有效便捷的橋梁.如何架設橋梁？多角度“辨認”、深層次“回憶”、合理“預見”.所謂“辨認”“回憶”“預見”，是指從條件（或結論）出發，辨識出其中是否有我們熟悉的名詞、定義、場景等等，從而引導我們去“回憶”與之相關聯的知識、原理與方法等.比如，本文的例中，由要求兩條線段的比值，讓我們想到“準確畫圖，度量驗證”、利用勾股定理賦值計算；由題中“BM=CD，DN=CM”聯想到構造全等；由“1∶2”“3∶2”等結論，想到可能存在特殊角，從而構造特殊三角形等等.“辨認”“回憶”“預見”三者是一個不可分割的、互為聯動的整體.

奧林匹克數學競賽最早發起人之一，蘇聯著名數學家塔爾塔克夫斯基教授曾打比方說：“尋找題解就是好像去抓藏在石堆里的老鼠.”可以“圍繞石堆不停止地來回走動，并留心觀察，看看什么地方露出老鼠尾巴沒有.一旦發現老鼠的尾巴，你們就用手抓住它，并把老鼠從石堆里拖出來”［1］.對條件與結論不斷地揣摩、分析、挖掘的過程就是“圍繞石堆不停地來回走動”的過程，不斷地“辨認、回憶與預見”，就是“留心觀察，及時發現老鼠尾巴并將其拖出石堆”，使問題得解的過程.

3.2? 漸進地“再發現”，是實現自主探究的有效助推手段

好的解題思路不是憑空產生的.然而，好的解題思路也并非可遇不可求的.《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出教學要使學生經歷數學“再發現”的過程……逐步養成講道理、有條理的思維習慣和理性精神.［2］數學課堂中，教師應以讓學生經歷數學“再發現”為基本原則，選擇能引發學生思考的教學方式.何為能引發學生思考的方式？即以充分暴露師生思維活動中的微觀過程為原則，以漸進的方式，提出具有邏輯連貫而又具有一定思維挑戰性的問題，促使學生主動地“再發現”、主動地探究.

數學教學的核心價值，在于發展思維能力，提升素養.顯然，思維能力的提升是在思維活動中逐步實現的.因此，我們不可將思維活動漂浮于云端，使其看不見、抓不住，而應將其轉化為學生易于感知、易于模仿的問題形式直觀地呈現出來，讓他們思考有方向、思考有參照.這樣，才能在游泳實踐中學會游泳，在思維實踐中發展思維能力、提升思維水平.

參考文獻

［1］ 羅增儒.數學解題學引論（第2版）［M］.西安：陜西師范大學出版社，2001.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.