創設互動型學習境脈，促學生核心素養發展*

【摘 要】教學蘇教版五下《圓的周長》一課，引導學生與境互動、與人互動、與脈互動，有助于他們經歷脈絡化情境的數學課堂學習，經歷圓周長從直接測量到間接測量的探索創造之路，有效實現核心素養的培育。

【關鍵詞】小學數學；境脈學習理論；境脈學習；《圓的周長》

【中圖分類號】G623.5" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）17-0012-04

【作者簡介】汪瑩，江蘇省蘇州市姑香苑小學校（江蘇蘇州，215007）副校長，高級教師，蘇州市數學學科帶頭人，蘇州市優秀教育工作者，蘇州市指導自學先進教師。

小學教學境脈學習，即新的數學知識與學生自身的數學現實經驗及其他各個學習要素發生碰撞、交流的過程。在這個過程中，教師為學生提供豐富的資源、開放的環境，引導他們積極探究和主動建構，使其實現對新知的深層次理解，逐步發展核心素養。教學蘇教版五下《圓的周長》一課時，教師可以通過引導學生與境互動、與人互動、與脈互動，促進他們經歷完整的探究過程，有效發展核心素養。

一、教學過程

1.與境互動：回歸源頭，單位計數是測量活動之起始

測量是指用一個帶單位的數值來描述可測量物體的某一種屬性。直接測量的過程一般如下：選擇合適的測量單位，用單位量連續覆蓋，計量所有的單位總數，最后確定剩余部分的處理方法。綜觀小學數學教材中認識長度的脈絡，最先認識的長度單位是“厘米”，然后是“米”“分米”“毫米”，用直尺量長度，就是將測量對象與長度單位量進行比較，屬于直接測量。量一條線段的長度就是直接測量。

測量的傳遞性、可加性、近似性等都是數學抽象方法、推理方法在測量中的體現。測量工具的使用會簡化直接測量的過程，提高其精確性。要測量圓的周長，只提供直尺這一種工具是不夠的，豐富的學具能促進學生在有限的學習時空自動調取已有的測量經驗。

談話：為了方便測量，我們先來研究圓形物體上的圓。老師已經給大家準備了材料，有1元硬幣、瓶蓋、膠帶卷、軟尺、直尺、三角板、細線、剪刀等，先來看一下操作要求。

出示操作要求：（1）用你喜歡的方法量一量圓形物體上圓的周長，并寫在研究單的表格里；（2）對每個測量對象進行三次測量；（3）小組分工合作，誰測量、誰記錄都要安排好。

無論是“化曲為直”的軟尺——將單位量“厘米”與圓周自然貼合讀出測量結果，還是“中介物”——線繩，把圓周長“轉化”成繩長，利用繩子“化曲為直”，之后用直尺工具讀出結果，都是把學生已有的對直線圖形周長進行直接測量的經驗遷移到圓周長的測量上，引發學生已有經驗和新知之間的沖突。幾個測量對象有“厚”有“薄”，促使學生主動選擇不同的測量工具和方法，豐富學生的操作體驗。而對每個測量對象進行三次測量，可以讓學生認識到測量方法、測量工具、測量對象都會產生誤差。平均數可以減少誤差，但不能完全避免誤差。更重要的是，“化曲為直”成為學生的“自動化”需求。

以往長度測量的比較是和單位量直接比較，現在，在圓周長的測量中把圓的一周“化曲為直”后，如果只和單位量直接比，是過渡不到公式法的。但如果直奔公式，省略測量的方法，就會失去測量的意義，也可能會給學生的學習帶來困難。創設必要的直接測量的活動情境，有助于學生在處理新知時與內部世界建立有意義的聯系。

2.與人互動：喚醒需求，選對標準是測量迅捷之關鍵

線段的長度可以由單位計數和利用工具直接測量得到。用1厘米作為比較的標準與圓的一周進行比較，可以得到具體的圓周長度。第一次實驗除了能得到這三個大小不同的圓的周長數據以外，暫時不能提供更多有用的信息，這對于解決大量圓周長計算的實際問題顯然是遠遠不夠的。

間接測量即公式法，在規則圖形周長的測量上比直接測量更占優勢。這一點，學生可以從自己已有的學習經驗（如長方形和正方形的周長、多邊形的面積計算）中獲得感受。那么，課堂上如何才能喚醒學生對間接測量的需求，從而促進他們實現經驗或方法的遷移呢？

談話：剛才，我們直接拿“1厘米”去和圓周長做比較，雖然得到了圓周長的具體數據，但操作起來比較麻煩。除了圓周包含厘米數的多少可以決定圓周的大小以外，還有什么能決定圓周的大小呢？

預設：直徑、半徑。

提問：你是怎么想到的？

預設：依據畫圓的經驗或直觀比較的經驗。

提問：如果用半徑去測量圓周長，會有怎樣的發現呢？

出示操作要求：（1）先在學習單上用圓規畫出一個圓；（2）保持圓規兩腳間的距離（半徑）不變，用半徑測量剛才所畫圓的周長；（3）再畫兩個大小不同的圓，重復上面的操作；（4）比較三次用半徑測量圓周長的結果，說說你的發現。

學生操作、交流，得出操作的結論：圓周長大約是它半徑的6倍多。

用“半徑”測量圓周長，雖然不能得到圓周長的具體數值，但可以發現半徑與圓周長之間的關系，這是由直接測量走向間接測量的橋梁。從只關注長度數據的變量，到關注數量之間可能存在的不變的倍比關系，這是一次重要的飛躍。

圓周長與直徑之間的關系是圓周長計算公式的主體，也是歷來課堂最重要的研究對象。但是，如果布置學生測量圓直徑，直接計算周長與直徑的關系，這樣的學習路徑看似便捷，卻少了感官的參與，不妨放慢腳步。

出示圖1左圖：剛才，我們通過操作得出圓周長總是半徑的6倍多。現在，我們再來看直徑。這三個圓的直徑，大圓的直徑長，周長也長；小圓的直徑短，周長也短。

出示圖1右圖：隱去圓，只剩下直徑與化曲為直后的圓周長。

提問：仔細觀察這些圓的直徑長度和它們的周長化曲為直后線段的長度，圓的周長和直徑之間可能存在什么樣的關系呢？

預設：直觀觀察，雖然是不同的圓，但好像圓周長都是直徑的3倍（多）。

演示：用直徑去比較相應的圓周化曲為直后的線段。（如圖2）

談話：周長和直徑之間可能存在什么樣的關系呢？直觀觀察，雖然是不同的圓，但好像圓周長都是直徑的3倍（多）。

因為之前有了“化曲為直”的圓周長，所以使得圓的直徑與周長的比較變得直觀可視。之后再有長度單位加入，可以起到承前啟后的作用。“3倍多一些”既來自于把直徑的長度視為一份的直接比較，也可以來自于直徑長度數據與周長長度數據的計算，這里為后續探索埋下了伏筆。

除了周長以外，圓直徑（包括半徑）也是可以直接測量的對象。圓的周長和直徑有著密切的聯系。圓周長不方便直接測量，但是相對而言，直徑的長度可以很方便地直接測量。用直接測量的方法，只能得到圓周長的近似值。因此，把不方便直接測量的圓周長與方便直接測量的圓直徑建立起聯系，尋求兩者之間的數量關系，建立數學模型，找到計算圓周長的突破口，是測量圓周長的另一條路徑。

3.與脈互動：錨定標準，間接測量是計量周長之捷徑

用操作法和觀察法得到的“關系”看似有規律，如果這個規律真實存在，那么圓周長的計算就可以利用這個規律實現。但是，直接觀察并不足以支撐結論的獲得，這時就需要理性層面的推理的加持。這個表示“3倍多一些”的數，也是幾千年來古今中外數學家們研究的對象。此時的數學課堂上，學生正和古人“一起”經歷發明圓周率的過程。教師適時給予的豐富的歷史資源，能促進學生在真實情境中積極參與主動建構的學習，從而實現對知識的深層次理解。

談話：我們還可以通過一幅圖來看一看、比一比。（出示圖3）

演示：用半徑測量圓周長，圓的周長大約是半徑的6倍多。連接6條半徑的端點，構成一個正六邊形。由兩點之間線段最短可知，圓的周長比半徑的6倍（也就是直徑的3倍）多。

在正方形內先畫一個最大的圓，在圓內再畫一個正六邊形，正六邊形的邊長等于圓的半徑，六邊形的頂點都在圓上。不難看出，圓的周長比正方形的周長（小），但比正六邊形的周長（大）。

提問：從圖中，你能得出正方形的周長、正六邊形的周長與圓的直徑之間有怎樣的關系嗎？

預設一：正方形的周長是圓直徑的4倍。

預設二：正六邊形的邊長等于圓的半徑，它的周長就是圓半徑的6倍，也就是圓直徑的3倍。

小結：用這張圖，我們不難得出，圓的周長在直徑的3倍和4倍之間。（板書：3d＜C＜4d）

“到底是3倍多幾呢？”這時再提出這個問題，是基于學生已經知道了圓的周長在3d與4d之間，并產生了一探究竟的欲望。而后進一步的實驗操作（測量直徑，計算周長與直徑之間的倍率），是為了使學生的認識由粗略走向精確。學生親歷知識的形成和發現過程，既能激發他們主動探究知識的欲望，又能培養他們的動手操作能力。在此基礎上介紹圓周率的歷史，能培養學生嚴謹求實的研究態度，使其掌握科學的研究方法。選擇有代表性的資料呈現給學生，歷史瞬間還原，學生對圓周率的體驗、感悟會更加深刻，圓周長的計算公式也就呼之欲出了。

如果能在40分鐘的課堂上讓學生主動經歷，古人研究圓周長、發明圓周率的過程，將能使他們的數學學習變得更有意義。圓周長計算方法的探索之旅始于“化曲為直”的直接測量，困于操作不便與誤差，通過質疑比較對象，從直接測量“長度單位”到間接比較“半徑”“直徑”，進而發現“徑”與“周”之間的固定關系；再從理性推理、實操驗證到計算證明，看似路徑曲折，過程卻與歷史極其相似，這就是真正發生的數學學習。

二、教后思考

1.創設學習境脈，加強數學交流

量周長的活動有助于學生初步理解圓周長的意義，測量的困難則促使學生重新審視并進一步思考比較的標準到底是什么。因為“困難”就放棄直接測量，轉而投奔“定向研究”直徑與周長的關系，是否能讓學生更好地理解和把握測量的本質呢？從測量的視角，縱向來看，圓周長又應如何學習呢？思維的多次轉換就像打開一個個盲盒，既在師生的意料之外，又在情理之中。在這樣的課堂中，學生都積極地表達感悟、分享見解，充滿了真誠的交流，孕育著數學的智慧。

2.拓寬思維邊界，激發數學潛能

“測量”是小學數學課程的主要內容之一。測量的學習應該是對數學思想方法的感悟、體會和應用。學生在經歷了經驗分享與觀點交流之后，觀察到圓周長與直徑之間固定不變的關系，進而總結出計算圓周長的一般方法。這個意義層面的認知是學習者不斷分享切磋的深度整合，意味著有意義學習經驗的創造。所有這些生動的數學現象，都發生在學習境脈的層層推進中，發生在對選擇更合適的測量比較標準的覺察與推敲中。這樣的經歷，使得學生偶然的思維迸發逐漸轉化為數學的智慧，最終發展成數學的素養。

【參考文獻】

［1］劉娟娟.小學數學“測量”的內容本質分析和教學建議［J］.南京曉莊學院學報，2019，35（3）：33-36.

［2］楊明媚.境脈主義：小學數學思維方法深度學習的新視角——以“認識一個整體的幾分之一”學習為例［J］.數學之友，2023，37（4）：53-54，57.