巧用圖形變換，妙解平面幾何問題

【摘要】在初中幾何問題中，有時需要對圖象進行變換實現題目條件的遷移或者等價轉化.如果能夠靈活運用圖形變換，在某些情況下可以大大降低問題的難度.本文將結合幾道例題來談如何利用圖形變換解決平面幾何問題.

【關鍵詞】圖形變換；平面幾何；初中數學

常見的圖形變換形式有：平移，旋轉，對稱等.不同的變換形式意味著幾何量要滿足不同的性質.同時在變換的過程中還要根據已知條件和圖形特點作出適當的輔助線.下面來看幾種不同類型的圖形變換問題.

典例分析

類型1 平移變換

例1 如圖1所示，在直角三角形ACB中，∠C= 90°，D、E兩點分別為CB、CA延長線上的點，BE與AD的交點為P，BD=AC，AE=CD，求∠APE的度數大小.

解 如圖2所示，將線段BD沿BE的方向平移，平移的長度為線段BE的長度，得到新的線段DQ.

連接DQ、AQ，可知四邊形BDQE是平行四邊形，

其中EQ∥CD，DQ∥BE，

BD=EQ.

因為∠C=90°，

所以∠AEQ=90°，即可得∠C=∠AEQ.

因為BD=AC，

所以EQ=CA.

在△CAD和△EQA中，CA=EQ，∠ACD=∠QEA，CD=EA，

則△CAD≌△EQA.

所以AD=AQ，∠CDA=∠EAQ.

因為在直角三角形ACB中，∠C=90°，

所以∠CAD+∠CDA=90°.

因為∠CDA=∠EAQ，

則∠CAD+∠EAQ=90°，

所以∠DAQ=90°.

所以△QAD是等腰直角三角形，∠AQD=∠ADQ=45°.

因為DQ∥BE，

所以∠APE=∠ADQ=45°.

評析 觀察題目，只有一個已知條件有關角的度數，所以對于題目所求的角的度數僅依靠角度之間的運算肯定是遠遠不夠的，因此就要考慮從邊的角度處理.再觀察題目中的條件“BD=AC，AE=CD”，發現這兩個條件中涉及的邊在圖形上比較分散，因此考慮平移，從而使條件更加集中，產生更多的特殊角進行運算.

類型2 旋轉變換

例2 如圖3所示，已知△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，E、F兩點是BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，試證明：BE2+CF2=EF2.

證明 如圖4所示，將△ACF繞點A按順時針方向旋轉90°.

因為△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

所以AB=AC.

旋轉后AC邊與AB邊重合，即旋轉后的三角形為△ABD.

所以AD=AF，∠BAD=∠CAF，∠ABD=∠C=45°，BD=CF.

因為∠EAF=45°，∠BAC=90°，

所以∠BAE+∠CAF=∠BAE+∠BAD=∠DAE=45°=∠FAE.

在△ADE與△AFE中，

AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE，

所以△ADE≌△AFE，

則EF=DE.

因為∠DBE=∠ABD+∠ABC=90°，

所以EF2=DE2=BD2+BE2=BE2+CF2.

評析 對于本題所要證明的等式，易想到用勾股定理.而應用勾股定理的前提是要有一個直角三角形，題目中“已知△ABC是等腰直角三角形”可得AB=AC，它們有著共同的端點的長度相同的線段，因此可以考慮通過旋轉的方式來對圖形進行變換.

類型3 對稱變換

例3 如圖5所示，在平面直角坐標系xOy中，存在A（-2，0）、B（0，4）、E（0，1）.將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′.當A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標.

解 如圖6所示，將點B沿射線AE的方向平移AE線段的長度得到點M，則點M的坐標為（2，5）.

連接BM，易證四邊形BME′A′是平行四邊形，則A′B=E′M.

因為點E的坐標為（0，1），將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′.

設AA′=n，則EE′=n，

點E′（n，1），即點E在直線y=1上.

作點M關于直線y=1的對稱點M′，

連接E′M′，則點M′（2，-3）.

當B、E′、M′在同一條直線上時，BE′+E′M′最小，即此時A′B+BE′取得最小值.

設直線BM′的表達式為y=kx+b，

代入點B、M′的坐標得k=-72，b=4，

所以直線BM′的表達式為y=-72x+4.

當y=1時，x=67.

所以點E′（67，1）.

評析 對稱變換一般用于最短路徑，或者線段相加最小值類的問題.在“兩點之間線段最短”的基本定理下，通過對稱得到三點共線的條件，從而得到最小值.有時對稱變換亦可用于某些本身包含對稱性的圖形，如正方形、圓形等等.

結語

總的來說，要想靈活運用圖形變換簡化解題，最重要的一步就是選擇合適的變換方法.平移常用于題目中已知條件在圖形中距離較遠、不夠集中的情況.而旋轉則主要用于同端點的等長線段，在構造全等三角形時經常用到旋轉的方法.而對稱則適用于求解最小值或者是一些對稱圖形的情況.在實際的解題過程中，往往需要運用多種轉換方法，學生需要根據題目的具體情境合理選擇.