數軸上的動點問題探析

【摘要】“數軸上的動點問題”，是指點在數軸上運動而形成的問題.數軸作為初中數學學習的一個工具，通過數軸可以體現數學中的數形結合思想.本文利用數軸的性質結合一元一次方程，探析解決復雜的“數軸上的動點問題”的解題策略.

【關鍵詞】數軸；動點；初中數學；數形結合

數軸安排在數學教材七年級上冊第一章中，是研究數的一個基礎工具.深度研究數軸我們可以發現隱含的一些重要規律：若數軸上點A、點B表示的數分別為a，b（b＞a），則線段AB的長（點A到點B的距離）可表示為b-a.將點A向左平移m（m＞0）個單位，則新點與數（a-m）對應；將點A向右平移n（n＞0）個單位，則新點與數（a＋n）對應；利用這些規律，結合方程，可以解決復雜的“數軸上的動點問題”.

“數軸上的動點問題”，是指點在數軸上運動而形成的問題，在期末試卷中常常以壓軸題出現，綜合考查七年級學生對知識的掌握情況以及運用知識的能力，讓許多學生望而生畏.分析其原因主要是學生對這類問題沒有整體的認識，導致學生每次遇到這類問題找不到解題的思路.

例1 如圖1，點A、B、C在數軸上對應的數分別是-24，-10，10.

（1）直接寫出AB＝______，BC＝______.

（2）若在數軸上點A以1個單位長度/s的速度向左運動，同時點B以3個單位長度/s的速度向右運動，點C以5個單位長度/s的速度向右運動，設運動時間為t.

①用含t的代數式表示運動變化后線段BC和線段AB的長；

②是否存在常數m，使式子BC-mAB的值不隨時間t的變化而變化，若存在，求出m的值，若不存在，說明理由.

分析 設運動時間為t，則

A運動后對應的數為-24-t，點B和點C運動后對應的數分別為：-10+3t，10+5t，再分別求解BC，AB，再進行整式的加減運算；結合BC-mAB的值不隨時間t的變化而變化，即代數式的值與t無關，建立方程求解即可.

解 （1）因為點A、B、C表示的數分別是-24，-10，10，

所以AB＝-10-（-24）＝14，AC＝10-（-10）＝20，

（2）A運動后表示的數是-24-t，

B運動后表示的數是-10+3t，

C運動后表示的數是10+5t，

所以運動后，BC＝（10+5t）-（-10+3t）＝ 2t+20，

AB＝（-10+3t）-（-24-t）＝4t+14，

存在符合要求的m的值，使BC-mAB的值不隨時間t的變化而變化，理由如下：

BC-mAB＝2t+20-m（4t+14）＝（2-4m）t+20-14m，

當2-4m＝0，即m＝12時，BC-mAB的值不隨時間t的變化而變化，

此時，BC-mAB＝20-14×12＝13.

點評 本題考查數軸上兩點之間的距離，整式的加減運算的應用，代數式的值與某字母無關的問題，解題的關鍵是用含t的代數式表示動點的位置.

學習新知

已知在數軸上有三個點A、B、C，點C在A、B之間，C點與A點的距離是C點與B點的距離的4倍，則稱點C是{A，B}的奇點.

例2 如圖2，A點表示-4這個數，B點表示1這個數.原點C與A點的距離是4，與B點的距離是1，則C點是{A，B}的奇點；再如，-3這個數表示的D點到A點的距離是1，與B點的距離是4，則D點不是{A，B}的奇點，但點D是{B，A}的奇點.

運用新知

如圖3，數軸上M點表示數-4，N點表示數6.

（1）數______對應的點為{M，N}的奇點；數______對應的點為{N，M}的奇點；

（2）如圖4，數軸上的A點表示數-50，B點表示數30.若動點P從B點出發向左運動，當P點運動到什么位置時，P、A、B三點中恰好有一個點為另外兩點的奇點？

分析 （1）首先讀題，結合圖形理解奇點的含義，然后根據奇點的含義，設數x所表示的點是{M，N}的奇點，由題意列方程求出x；同樣設數y所表示的點是{N，M}的奇點，由題意得6-y＝4（y+4），求出y.（2）設P點表示的數是a，分六種情況討論.

解 （1）設數x所表示的點是{M，N}的奇點，

所以x+4＝4（6-x），解得x＝4，

所以數4所表示的點是{M，N}的奇點；

設數y所表示的點是{N，M}的奇點，

所以6-y＝4（y+4），解得y＝-2，

所以數-2所表示的點是{N，M}的奇點.

（2）設P點表示的數是a，

當P是{A，B}的奇點時，PA＝4PB，所以a+50＝4（30-a），解得a＝14；

當P是{B，A}的奇點時，PB＝4PA，所以4（a+50）＝30-a，解得a＝-34；

當A是{B，P}的奇點時，AB＝4AP，所以80＝4（-50-a），解得a＝-70；

當A是{P，B}的奇點時，4AB＝AP，所以320＝-50-a，解得a＝-370；

當B是{A，P}的奇點時，AB＝4BP，所以80＝4（a-30），解得a＝50（舍去）；

當B是{P，A}的奇點時，BP＝4AB，所以a-30＝4×80，解得a＝350（舍去）；

綜上所述，P點表示的數為14或-34或-70或-370時，滿足題目的要求.

點評 試題涉及實數與數軸，數軸上點的特征，數軸上兩點間距離，用方程解決問題等核心知識.總結本題的解答思路：弄清新定義“奇點”的含義，是解題的關鍵所在.細讀“點C是{A，B}的奇點”的新定義可看出：“三個點A、B、C”在“點C是{A，B}的奇點”的新定義中是有序的，而題目問題“P、A和B中恰有一個點為其余兩點的奇點”與新定義明顯有區別，沒有指明順序，這提示我們采用分類討論的方法解決問題，避免出現遺漏.

結語

數軸上的動點問題不僅有數量關系，還有圖形關系，分析問題時要通過數形結合的方式，用含有字母的代數式表示數軸上的動點的位置，根據題目中線段之間的數量關系，通過列方程進行表達，最終解決數軸上的動點問題.