聚焦本質(zhì)　感悟運(yùn)算一致性

李勇惠

摘? ?要：在運(yùn)算教學(xué)中，算理和算法的理解與掌握離不開學(xué)生對運(yùn)算本質(zhì)具有一致性的體會。“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”一課通過巧設(shè)情境，激活學(xué)生已有經(jīng)驗，讓學(xué)生利用多元表征理解算理，在對比分析新舊知識聯(lián)系中感悟運(yùn)算一致性。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；運(yùn)算；本質(zhì)；感悟；一致性

中圖分類號：G623.5? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2024）13-0024-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）提出“讓學(xué)生經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法。感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識。”可見，在計算教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注算法，還要從運(yùn)算本質(zhì)出發(fā)，重視對算理的理解以及小學(xué)階段有關(guān)運(yùn)算的整體溝通與架構(gòu)。

“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”是冀教版教材五年級下冊第四單元“分?jǐn)?shù)乘法”的第一課時。此前，學(xué)生已經(jīng)理解了分?jǐn)?shù)的意義，掌握了整數(shù)、小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)加法計算等知識。通過前測，筆者了解到，學(xué)生對分?jǐn)?shù)加法、整數(shù)和小數(shù)乘法掌握較好，大部分學(xué)生會計算分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，但對算理理解不足。基于教材和學(xué)情分析，筆者認(rèn)為本節(jié)課教學(xué)除了關(guān)注算法，更應(yīng)聚焦運(yùn)算的本質(zhì)，關(guān)注學(xué)生對算理的理解和對運(yùn)算一致性的體會。為此，本課教學(xué)目標(biāo)確定為：1.結(jié)合具體事例，經(jīng)歷用已有知識解決問題、學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)計算方法的過程；溝通分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)乘法之間的聯(lián)系，感悟運(yùn)算的一致性，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識；2.理解并掌握分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計算方法，能正確計算分?jǐn)?shù)與整數(shù)的乘法；3.體會用分?jǐn)?shù)乘法解決分?jǐn)?shù)連加問題的價值，激發(fā)學(xué)習(xí)新知識的興趣。下面結(jié)合具體教學(xué)實踐談幾點(diǎn)思考。

一、情境導(dǎo)入，巧設(shè)鋪墊

師：同學(xué)們，紅紅和媽媽一起去超市買奶糖。一袋奶糖重400克，幫她算一算，3袋糖共重多少千克？

生：400乘3，等于1200克，也就是1.2千克。

師：你注意到了單位換算，真細(xì)心！具體地說一說你是怎樣計算的？

生：把400看作4個百，乘3得到12個百，也就是1200。

（課件出示學(xué)生思考過程）

師：還有不同的做法嗎？

生：先算一包奶糖多少千克，400克等于0.4千克，0.4乘3等于1.2千克。

師：說說你是怎樣計算0.4×3的？

生：把0.4看作4個0.1，乘3就是12個0.1，也就是1.2。

（課件出示學(xué)生思考過程）

師：紅紅是這樣算的，她把400克換算成千克，現(xiàn)在每袋奶糖重千克，接下來該怎么列式呢？

【思考】創(chuàng)設(shè)購買奶糖的情境，讓學(xué)生利用已有知識解決3袋奶糖的質(zhì)量問題。教師引導(dǎo)學(xué)生思考不同的解決方法，并有意識地引領(lǐng)學(xué)生回憶整數(shù)和小數(shù)乘法的算理，為接下來學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理做好鋪墊，也為學(xué)生進(jìn)一步感悟運(yùn)算的一致性奠定基礎(chǔ)。

二、自主探究，“理”“法”相融

（一）自主列式，了解意義

生：×3。（板書算式）

師：你為什么這樣列式？

生：一袋奶糖是千克，買了3袋，就是3個千克，所以用乘3。

【思考】通過關(guān)鍵問題“×3，為什么這樣列式？”引發(fā)學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的思考，使學(xué)生初步感受分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同，都是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算，也可以理解為一個數(shù)的幾倍，在此體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)乘法與整數(shù)、小數(shù)乘法在運(yùn)算意義上的一致性。

（二）多元表征，理解算理

師：×3該怎樣計算？先想一想，再試著計算，并把你為什么這樣算，用畫圖、算式或文字形式記錄在學(xué)習(xí)單上。完成后，在組內(nèi)交流。

（學(xué)生自主解決，小組交流，教師巡視。）

師：誰來講一講自己的想法？

生1：（×3=++=）， ×3表示3個相加，同分母分?jǐn)?shù)相加，分母不變，分子相加，所以結(jié)果是。

師：誰和他的想法一樣？你們是利用轉(zhuǎn)化的思想，把乘法問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的同分母分?jǐn)?shù)加法，解決了我們遇到的新問題。

生2：（×3==），我是這樣想的，分母是5，分?jǐn)?shù)單位就是，分子2是它的個數(shù)，乘3就是把分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)翻了三倍，當(dāng)然分?jǐn)?shù)單位是不變的，所以用分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)2×3作分子，就是。

生3：我用的是畫圖的方法，是把單位“1”平均分成5份，取其中的2份，3個就是取的份數(shù)乘3，2乘3得6，所以×3就等于。

師：真棒！你借助圖形讓大家清楚地看到了6個，這種數(shù)形結(jié)合的方法非常直觀。除了把單位“1”畫成長方形，還可以畫成什么圖形？

生4：我是把單位“1”畫成了圓形……

生5：我畫的是線段圖，的分?jǐn)?shù)單位是，每個里都有2個，×3就有6個，也就是。

師：誰能結(jié)合線段圖再說一說2×3是什么意思？分母為什么不變？

（結(jié)合學(xué)生回答，出示課件。）

【思考】運(yùn)算教學(xué)不僅要關(guān)注計算結(jié)果，更要使學(xué)生理解計算的道理。此環(huán)節(jié)通過展示多樣化的算法，滲透了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，鼓勵學(xué)生遷移運(yùn)用乘法的意義，自主尋找解決問題的辦法。學(xué)生在多元表征和討論交流中進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)乘法的意義，借助幾何直觀，理解分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘改變的是分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)，而分?jǐn)?shù)單位不變，因此分母不變的道理，同時深刻理解了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)是若干個分?jǐn)?shù)單位相加。

（三）自主總結(jié)，明晰算法

師：計算時我們要用簡便的方法。想一想分?jǐn)?shù)乘整數(shù)該怎樣計算？同桌互相說一說。

生1：用分子乘整數(shù)當(dāng)分子，分母當(dāng)分母。

生2：其實就是分母不變，把分子和整數(shù)相乘作分子。

【思考】算理和算法是計算教學(xué)中兩個不可缺少的關(guān)鍵要素。教學(xué)時，既要讓學(xué)生在直觀中理解算理，又要讓學(xué)生掌握抽象的算法。在整個推演算理、推導(dǎo)算法的過程中，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識。

（四）整體建構(gòu)，感悟運(yùn)算一致性

師：結(jié)合直觀圖大家理解了×3就是在計算有幾個這樣的分?jǐn)?shù)單位，回想剛才我們在算三袋糖的質(zhì)量時，還用到了整數(shù)乘法、小數(shù)乘法。請同學(xué)們認(rèn)真觀察，在計算這些乘法時，有什么相同的地方？

（出示課件）

生1：它們都是求幾個相同加數(shù)的和。在計算前和計算后，它們的分?jǐn)?shù)單位、整數(shù)單位和小數(shù)單位都是不變的。

師：是的，這些都叫計數(shù)單位，在計算前和計算后，計數(shù)單位是不變的，什么變了呢？

生2：計數(shù)單位的個數(shù)變了，400×3就是求“4個百”乘3，是12個百；0.4×3就是4個0.1乘3，是12個0.1；×3就是2個乘3，是6個。

師：太棒了！我們在計算這些乘法時，其實都是在求幾個相同加數(shù)的和，都是計算有幾個這樣的計數(shù)單位。

【思考】《課標(biāo)》指出，通過整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，進(jìn)一步感悟計數(shù)單位在運(yùn)算中的作用，感悟運(yùn)算的一致性。由于五年級學(xué)生的知識體系還不完善，要使學(xué)生直接感悟運(yùn)算的一致性還存在一定困難。因此，教師在課堂伊始巧妙利用例題引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)、小數(shù)乘法，并在此基礎(chǔ)上溝通三者之間的聯(lián)系。學(xué)生通過對比、觀察，發(fā)現(xiàn)其實計算道理都是一樣的，它們都是在計算有幾個這樣的計數(shù)單位。學(xué)生在親自參與學(xué)習(xí)的過程中輕松地感悟整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的一致性，加深了對分?jǐn)?shù)乘法算理的理解，并最終形成了乘法計算的完整運(yùn)算體系。

三、鞏固練習(xí)，學(xué)以致用

1.看圖列式計算

生1：第一小題，×2==。第二小題，×3=。

生2：第一小題要約分成最簡分?jǐn)?shù)。

生1：我同意你的觀點(diǎn)。

師：所以你要提醒大家什么？

生1：能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù)。

2.計算下列各題

7×? ×4? 10×? ?×c（b≠0）

3.據(jù)統(tǒng)計，一個沒有擰緊的水龍頭，每小時滴水升，那么這個水龍頭一天（按24小時計算）大約流失水多少升？

（學(xué)生獨(dú)立完成后集體交流，結(jié)合此題進(jìn)行節(jié)約用水教育。）

【思考】計算練習(xí)不在多，而在精，尤其要圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)有針對性地練習(xí)。第一題主要考查學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義和計算方法的掌握情況，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和運(yùn)算能力。第二題考查分?jǐn)?shù)乘整數(shù)或整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的計算方法的掌握情況。第三題是解決分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的簡單實際問題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和運(yùn)算能力。

四、全課總結(jié)，暢談收獲

（一）巧設(shè)情境，在解決問題中激活經(jīng)驗

計算教學(xué)往往比較單調(diào)枯燥，為了避免機(jī)械計算，教師以購買奶糖的情境作為引入，將計算教學(xué)與解決實際問題有機(jī)結(jié)合。在學(xué)生自主解決“3袋糖共重多少千克”的問題中，學(xué)生的知識經(jīng)驗被激活，同時回顧了整數(shù)和小數(shù)乘法的算理。看似與本節(jié)課無關(guān)，但為后面幫助學(xué)生溝通整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法之間的聯(lián)系，感悟運(yùn)算一致性奠定了基礎(chǔ)。在學(xué)生針對問題情境列出分?jǐn)?shù)乘法算式后，教師追問“為什么這樣列式”，使學(xué)生自然地將整數(shù)、小數(shù)乘法的意義遷移到分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義中。

（二）多元表征，在做數(shù)學(xué)中理解算理

數(shù)的運(yùn)算教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生知“法”明“理”。在算理理解過程中，做數(shù)學(xué)尤為重要，即借助算式、畫圖、說理、舉例等多元方式，嘗試將學(xué)生的思維外顯，在與他人交流的過程中，逐漸學(xué)會條理思考、表達(dá)，并最終理解算理。本節(jié)課的探究算理環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生自己嘗試計算×3，并記錄計算的思維過程。課上，有的學(xué)生從分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義出發(fā)，把分?jǐn)?shù)乘法轉(zhuǎn)化成連加算式，建立起分?jǐn)?shù)加法和乘法的關(guān)系；有的用畫圖表示，在數(shù)形結(jié)合中感知分?jǐn)?shù)單位的累加；還有的從推理的角度看，是2個，乘3就是6個，用學(xué)生的話說就是“翻了3倍”。這種條理的表達(dá)打開了學(xué)生思維的閘門，引發(fā)全班學(xué)生的深度思考。不同的表達(dá)方式，最終都讓學(xué)生理解算理，并感悟到“分?jǐn)?shù)單位”在運(yùn)算中的重要作用。這樣的感悟其實是學(xué)生真正經(jīng)歷了做數(shù)學(xué)，在畫圖和說理的過程中領(lǐng)悟了知識本質(zhì)之“理”。

（三）聯(lián)通本質(zhì)，在對比分析中感悟運(yùn)算一致性

“感悟運(yùn)算的一致性”是《課標(biāo)》對運(yùn)算教學(xué)提出的新要求。由于教材中的運(yùn)算知識分散在不同年級和單元中，教師要樹立整體意識，用全局的、發(fā)展的眼光去分析教材，利用轉(zhuǎn)化遷移思想構(gòu)建新舊知識間的聯(lián)系，使學(xué)生體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)。本節(jié)課，在學(xué)生理解算理、抽象出一般算法后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較并思考：“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與之前學(xué)習(xí)的整數(shù)乘法、小數(shù)乘法在計算時有什么相同的地方？”這樣的前后呼應(yīng)，巧妙地為學(xué)生搭建思維的階梯，使學(xué)生構(gòu)建新知識與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系。學(xué)生感悟了：整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法的計算本質(zhì)相同，都是求有多少個計數(shù)單位。學(xué)生在對比分析中體會到了運(yùn)算的一致性。

參考文獻(xiàn)：

［1］教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］羅鳴亮.“形”雖有殊，其“理”歸一——“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”教學(xué)思考［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2018，（7-8）：84～87.

［3］楊月玲.計算有結(jié)構(gòu)教學(xué)更有法［J］.試題與研究，2022，（36）：43～45.

［4］楊? ?曄.“小數(shù)乘整數(shù)”教學(xué)片斷與思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023，（Z2）：73～74+78.