“三會”視角下的概念教學

李進

[摘要]文章基于“函數的單調性”教學內容，從實際問題中抽象出數學問題，從圖形語言過渡到自然語言，在基于“三會”視角的學習探究過程中，數學表達由粗略到精準，自然生成函數單調性的概念，滲透數學學科核心素養．

[關鍵詞]概念教學；“三會”；單調性

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出“三會”即“會用數學眼光觀察世界．會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”，而概念教學是發展學生直觀想象、數學抽象素養以及落實學生“三會”的重要載體．同時“三會”又與“六大核心素養”關系密切．高中數學課程標準修訂組組長史寧中教授認為：數學的眼光就是數學抽象，與數學抽象關系密切的是直觀想象；數學的思維就是邏輯推理．而數學運算則是邏輯推理的一種特殊形式；數學的語言就是數學模型，現今數據分析變得越來越重要，逐漸形成了一種新的數學語言．陜西師范大學羅新兵教授等人認為：“三會”的本質是數學學習的一種“結果”．也是學生具有數學素養的一種表現．可見，在概念教學中有效落實“三會”有利于學生數學學科核心素養的提升．因此．在數學教學時．我們可以按照“三會”來設計和實施教學活動．筆者以蘇教版必修第一冊第五章的“函數的單調性”這一節課的教學設計為例．淺談筆者的想法和做法.

教材分析

函數的單調性是高中階段學生接觸并研究的第一個函數性質．也是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的性質，研究函數單調性的一般方法是數形結合、由直觀到抽象、由特殊到一般，學生借助對函數圖象的觀察、分析、歸納，發現函數圖象“升”“降”變化的直觀特征，用自然語言描述為“y隨著x的增大而增大（減?。?，進一步量化，發現“y隨著x的增大而增大（減小）”的數字特征，獲得數學符號表達．完成對數學概念的形式化、符號化．通過函數單調遞增（減）、增（減）區間以及增（減）函數概念的生成，逐步完善函數的單調性的知識體系．同時．學生用符號語言分步逐句翻譯、表征自然語言獲得單調性的概念，為后續奇偶性、周期性等知識的學習積累豐富的活動經驗．

學情分析

學生在初中已經結合一些常見的基本初等函數對單調性有了“定性”的認識，能夠從圖象的直觀變化感受圖象的上升（下降）趨勢．具備用自然語言描述這種變化趨勢的能力．學生在第二章“常用邏輯用語”中學習了全稱量詞和存在量詞．會用數學符號語言表述存在量詞命題及全稱量詞命題，為函數單調性的“定量”研究做好了知識儲備．

教學目標

從“形”和“數”兩方面理解函數的單調性．能利用函數圖象判斷函數的單調性．能利用定義對一些簡單函數的單調性給出形式化的證明．

通過對函數單調性定義的探究．滲透符號化與形式化、數形結合思想方法．培養學生觀察、判斷、抽象、概括能力.

教學難點

用符號語言來形式化表征函數的單調性.

教學過程

教學流程設計

1．情境引入，提出問題

問題情境：如圖2所示，氣溫θ是關于時間t的函數，記為θ=f（t）．觀察這個氣溫變化圖．說出氣溫在哪些時間段內是逐漸升高的．在哪些時間段內是逐漸下降的？

追問：生活中還有其他具有這種“升”“降”的例子嗎？

生1：心電圖、股市走勢圖等．

師：有很多函數具有類似性質，這就是本節課我們將要研究的函數的重要性質——函數的單調性．

設計意圖 由貼近學生生活的情境引領學生感悟生活與數學之間的聯系，學會運用數學眼光感知世界，從實際問題中抽象出數學問題．完成第一次數學抽象過程．

2．合作探究。生成概念

問題1 觀察下列函數圖象．指出它們的變化趨勢．

生2：從左至右看，有的圖象是上升的，有的圖象是下降的，有的圖象在一些區間內是上升的、在一些區間內又是下降的.

追問：圖象這種“升”“降”規律反映函數值y隨著自變量x的增大是如何變化的？

生3：在某個區間內，圖象從左至右上升←→在某個區間內，y隨著x的增大而增大．在某個區間內．圖象從左至右下降←→在某個區間內y隨著x的增大而減小.

師：你能說出函數y=x+1/x在哪個區間內y隨著x的增大而增大嗎？

生4：不能，因為不清楚這個函數圖象是怎樣的．

師：在我們學習的過程中，有時候遇到的函數有解析式但不清楚其圖象．或者圖象不明顯．無法利用圖象觀察得到“y隨著x的增大而增大（減小）”的結論，因此我們有必要進一步研究如何來刻畫“y隨著x的增大而增大（減?。保?/p>

設計意圖 由生活中的現實情境過渡到數學中的函數實例．為用數學思維思考世界提供具體的數學問題，將圖形語言的“上升（下降）”過渡到自然語言的“y隨著x的增大而增大（減?。保瓿傻诙螖祵W抽象過程．同時．在概念建構過程中讓學生意識到用符號語言進行表征的必要性.

問題2 如何用數學符號語言來刻畫“在區間D內，y隨著x的增大而增大”？

（學生獨立思考，小組合作討論．）

生5：取x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）．

師：你這里“x1＜x2”體現的是什么？“f（x1）＜f（x2）”體現的又是什么？

生5：“x1＜x2”體現的是“x增大”，“f（x1）＜f（x2）”體現的是“y增大”．

師：“y隨著x的增大而增大”能不能保證“x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”？取“x1，x2”兩個值能保證“y隨著x的增大而增大”嗎？

（小組再次合作討論）

生6：“在區間D內，y隨著x的增大而增大”能推出“在區間D內，x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”，但“在區間D內，x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”不能保證“在區間D內，y隨著x的增大而增大”，范例如圖4所示．

在范例中，“在區間（0，+∞）內，x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”，但“在區間（0，+∞）內，y隨著x的增大而增大”不成立．因此，應該改為“在區間D內，所有的x1

師：在第二章“簡易邏輯用語”中我們學習了兩個邏輯聯結詞“任意”和“存在”．所以這里的“所有”我們可以用“任意”來替代.

師：我們再來看這句話，“在區間D內，y隨著x的增大而增大”，這里“隨著”怎么體現？

生7：當x1＜x2時.

師：這里“在區間D內”怎么體現？

生8：x1∈D，x2∈D．

最后得到結論如下：任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）←→在區間D內，y隨著x的增大而增大.

設計意圖通過問題串引導學生思考，給予學生表達、修正的機會．學生先獨立思考形成初步認識．再小組合作討論、思維碰撞提升認識，在此過程中學會用數學語言表達世界，感知數學語言的嚴謹性、數學概念的完備性．將自然語言“y隨著x的增大而增大”過渡到符號語言．完成第三次數學抽象過程，通過對這兩種描述方式的對比．讓學生體會數學符號語言的美.

問題3 如何用符號語言刻畫一般函數y=f（x）在定義域l內的區間D上單調遞增？

問題4 能類比函數單調遞增的定義得到函數單調遞減的定義嗎？

設計意圖 由特殊到一般．學生歸納出函數單調遞增的定義．類比出函數單調遞減的定義，學生的思維得到升華；在數形結合中體會數學語言與數學圖象的一致性，學會用數學思維分析世界．

3．例題精講，遷移內化

例1 畫出函數y=1/x（x≠0）的圖象，并寫出其單調區間．

生9：遞減區間（-∞，0）U（0，+∞）．

師：這個結論對不對？符不符合定義？

生10：-1<1，但f（-1）＜（1），因此y=1/x在定義域內不是單調遞減的．

師：所以函數的單調性是局部性質．不一定在整個定義域內具有單調性．

例2 證明：函數f（x）=1/x-1在區間（-∞，0）內單調遞增．

（學生獨立證明，小組合作討論．）

設計意圖 例1是利用函數圖象判斷其單調性．引導學生理解函數的單調性是對定義域內某個區間而言的．它是函數的局部性質．例2是應用定義給出形式化的證明，培養學生運用符號語言的習慣．兩個例題引導學生從“形”和“數”兩個方面理解函數的單調性．

4．課堂小結，收獲經驗

本節課學習了哪些知識？我們是如何得到這些知識的？你有什么收獲？

設計意圖合理歸納總結．形成思維體系，感受思想方法，提升數學素養．

5．課堂延伸，升華思維

（1）記y2-y1=△y，x2-x1=△x，那么函數的單調性與△y/△x的符號有什么關系？

（2）利用定義研究函數f（x）=x+1/x的單調性．

設計意圖 繼續深化函數單調性的應用．引領學生深刻認識概念的內涵與外延．提升數學運算等核心素養．

教后反思

1．注重概念的自然生成，培養數學素養

本節課是一節數學概念課．學生獲得單調性概念的數學抽象過程分為三個階段：

（1）用數學眼光觀察世界.

課初引入環節，將實際問題去生活化轉化為數學問題．抽離出事物的本質特征．用圖形語言進行表征——在什么范圍內圖象從左至右上升，在什么范圍內圖象從左至右下降．從而提升學生的數學抽象和直觀想象素養．

（2）用數學思維思考世界.

在概念探索環節，借助小組合作的方式．鼓勵學生深入思考，從而將圖形語言過渡到自然語言——y隨著x的增大而增大（減?。谧灾魈剿鞯倪^程中．學生的邏輯推理能力得到發展．

（3）用數學語言表達世界.

通過設置問題串．充分給予學生表達、修正的機會，將自然語言過渡到符號語言，用符號語言分步逐句翻譯“y隨著x的增大而增大（減?。保畲笙薅鹊刈鹬夭⒁龑W生建構“自己的表達”．從而生成函數單調遞增（減）、增（減）區間、增（減）函數等概念．最后設置課堂小結環節，不斷加深學生對研究函數性質的一般方法的理解，提升學生的數學抽象素養．

2．關注學生的學習方式，提升學習力

在整節課的教學中．關注“三會”目標的同時遵循學生的認知規律．利用學生自主探究、小組合作等方式充分發揮學生的主觀能動性，在探索的過程中逐步感悟特殊到一般等數學思想，對于小組合作學習環節．教師要提前建立學習小組．以4-6人為一組，設置組長一名．要求組長組織合作學習的開展．教師提出問題后．先讓學生獨立思考．然后讓學生小組交流．交流時分工明確，輪流發言，一人發言，其他人認真傾聽，中途不打斷，不重復別人的發言．可以補充別人的發言．小組內達成共識后由組長匯總記錄，匯報時由一人作為代表即可，小組合作學習不限于小組內、課堂內，以形成一個數學學習與研究“共同體”為目標．學生在合作中積極傾聽、分享表達，增強合作意識，提高合作能力，提升學習效能．本節課講解的是函數單調性的研究步驟與方法．為學生研究函數的其他性質提供了依據，增強了學生自主學習的能力．