構造輔助圓巧解幾何最值問題

摘? 要：平面幾何中的最值問題是歷年中考的熱點，也是難點.當問題中含有直角或定點與定長時，則可根據圖形特征構造圓，然后利用圓的性質和相關幾何知識解決最值問題.

關鍵詞：平面幾何；最值問題；直角；構造；圓

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0057-04

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：朱錦灶（1977.1—），男，福建省莆田人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

平面幾何中的最值問題倍受命題者的青睞，這類問題形式豐富多樣，涉及的知識較多，求解方法靈活，承載著一定的選拔性功能，對學生而言具有一定的難度.本文以可構造輔助圓的幾何問題為例，談談如何通過構造輔助圓巧妙解決一類與最值有關的平面幾何問題.

1 題型一：利用直角構造圓

如果線段AB是定長，且∠APB=90°，則點P的運動軌跡就是以AB為直徑的圓.然后利用圓的性質和相關平面幾何知識即可求解最值問題.

例1? 如圖1所示，四邊形ABCD為矩形，AB=3，BC=4．點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點，∠ADM=∠BAP，則BM的最小值為［1］.

解析? 設AD的中點為O，以O點為圓心，AO為半徑畫圓，如圖2所示.

因為四邊形ABCD為矩形，所以∠BAP+∠MAD=90°.因為∠ADM=∠BAP，所以∠MAD+∠ADM=90°，所以∠AMD=90°，所以點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上，連接OB交圓O與點N.因為點B為圓O外一點，所以當直線BM過圓心O時，BM最短.因為BO2=AB2+AO2，AO=AD/2=2，所以BO2=9+4=13，所以BO=13，所以BM的最小值BN=BO-AO=13-2.

點評? 本題主要考查直角三角形、圓的性質，解題的關鍵是作出點M的軌跡，然后利用直角三角形和圓的相關知識求解．

例2? 如圖3所示，四邊形ABCD中，AB//CD，AC⊥BC，∠DAB=60°，AD=CD=4，點M是四邊形ABCD內的一個動點，滿足∠AMD=90°，則△MBC面積的最小值為．

解析? 如圖4所示，取AD的中點O，連接OM，過點M作ME⊥BC交BC的延長線于點E，過點O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF.

因為AB∥CD，∠DAB=60°，AD=CD=4，所以∠ADC=120°.因為AD=CD， 所以∠DAC=30°，所以∠CAB=30°.因為AC⊥BC，所以∠ACB=90°，所以∠B=90°-30°=60°，所以∠B=∠DAB，所以四邊形ABCD為等腰梯形，所以BC=AD=4.因為∠AMD=90°，AD=4，OA=OD，所以OM=AD/2=2，所以點M在以點O為圓心，2為半徑的圓上.因為ABCD，所以∠GCF=∠B=60°，所以∠DGO=∠CGF=30°.因為OF⊥BC，AC⊥BC，所以∠DOG=∠DAC=30°=∠DGO，所以DG=DO=2，所以OG=2OD·cos30°=23，GF=3，OF=33，所以ME≥OF-OM=33-2，當O，M，E三點共線時，ME有最小值33-2，所以△MBC面積的最小值為1/2×4×33-2=63-4．

點評? 本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質等知識，確定點M軌跡的是解題關鍵．

例3? （1）如圖5所示，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC，交BD的延長線于點M，請計算AC/BD的值及∠AMB的度數.

（2）在（1）的條件下，若OD=2，AB=8，將△OCD繞點O在平面內旋轉一周．

①當直線DC經過點B且點C在線段BD上時，求AC的長；

②請直接寫出運動過程中M點到直線OB距離的最大值［2］．

解析? （1）AC/BD=3，∠AMB=90°，過程從略.

（2）①如圖6所示，當直線DC經過點B且點C在線段BD上時，在△ODB中，∠D=60°，OB=AB/2=4.過點O作BD的垂線，垂足為H，則OH⊥BD.因為∠D=60°，所以∠DOH=30°，所以HD=1，HO=3.在Rt△OHB中，由勾股定理得BH=BO2-OH2=16-3=13，所以BD=13+1.因為△DOB∽△COA，所以AC/BD=3，即AC=3BD=3+39.

②如圖7所示，因為∠AMB=90°，AB=8，所以點M的軌跡是圓弧，即點M在圓P上運動，且∠OMB=∠OAB=30°.欲求點M到直線OB的最大值，需確定動點M距離直線OB最遠時的位置，根據圖形特征，點D的軌跡也是圓，點M運動極限位置取決于∠MBO的最大值.因為OD=2，OB=4，所以當且僅當OD⊥BM時，∠MBO取得最大值.即在Rt△ODB中，sin∠OBD=2/4=1/2，所以∠OBD=30°.過點M作OB的垂線，垂足為G，則MG⊥BG，即線段GM即為所求.在Rt△MGB中，sin∠GBM=MG/MB=1/2.因為∠OBD=30°，所以∠MBA=60°-30°=30°.因為AB=8，所以AM=4，MB=82-42=43，所以MG=BM/2=23，所以M點到直線OB距離的最大值為23．

點評? 本題主要考查全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角函數、相似三角形的判定與性質等知識.從求解過程來看，學生需熟練掌握“手拉手”模型證明三角形相似.對于求點到直線的最大距離問題，要注意尋找動點的軌跡和影響最大值的主要因素，進而運用幾何知識綜合判斷.

2 題型二：利用定點與定長構造圓

設A為定點，如果AM的長度為定值，則點M的軌跡是以A為圓心，AM的長為半徑的圓.如果題目涉及定點與定長，則可構造圓，利用圓的性質和相關幾何知識求解最值問題.

例4? 如圖8所示，點A，B的坐標分別為A（6，0），B（0，6），C為坐標平面內一點，BC=22，M為線段AC的中點，連接OM，當OM取最大值時，點M的坐標為．

解析? 如圖9，因為點C為坐標平面內一點，BC=22，所以C在⊙B上，且半徑為22，在x軸上取OD=OA=6，連接CD.因為AM=CM，OD=OA，所以OM是△ACD的中位線，所以OM=1/2CD，即當OM最大時，CD最大.而D，B，C三點共線時，即當C在DB的延長線上時，OM最大.因為OB=OD=6，∠BOD=90°，所以BD=62，所以CD=82，且C（2，8），所以OM=CD/2=42，所以OM的最大值為42.因為M是AC的中點，則M（4，4）.

點評? 本題考查坐標和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識．確定OM為最大值時點C的位置是解題關鍵，也是難點．

例5? 如圖10所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E、F分別是邊AB、BC上的動點，且EF=4，點G是EF的中點，連接AG，CG，則四邊形AGCD面積的最小值為［3］．

解析? 如圖11所示，連接AC，過B作BH⊥AC于H，當G在BH上時，△ACG面積取最小值，此時四邊形AGCD面積取最小值.四邊形AGCD面積等于△ACG與△ACD面積之和，即S四邊形AGCD=SΔACG+24．連接BG，由G是EF中點，EF=4知，BG=2，故G在以B為圓心，BG為半徑的圓弧上，圓弧交BH于G′，此時四邊形AGCD面積取最小值.由勾股定理得AC=10，又因為AC/2·BH=AB/2·BC，所以BH=4.8，所以G′H=2.8，即四邊形AGCD面積的最小值為1/2×10×2.8+24=38.

點評? 本題考查了勾股定理及矩形中與動點相關的最值問題，解題的關鍵是利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得到BG=2，從而確定出G點的運動軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓．

例6? 如圖12所示，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中點，E為AB上一動點，點B關于DE的對稱點B′在△ABC內（不含△ABC的邊上），則BE長的范圍為．

解析? 因為點B與B′關于DE對稱，所以BD=B′D，則點B′的運動軌跡在以D為圓心，BD為半徑的圓弧上.

①如圖13所示，當點B′恰好落在AB邊上時，連接AD和DE，由題意及“三線合一”知，AD⊥BD，BD=BC/2=3.在Rt△ABD中，AD=AB2-BD2=52-32=4.根據對稱性得DE⊥AB.由等面積法得AB/2·DE=AD/2·BD，所以DE=12/5.

在Rt△BDE中，BE=BD2-DE2=95.

②如圖14所示，當點B′恰好落在AC邊上時，連接AD、DE、BB′和DB′，由題意，BD=DB′=DC，所以∠DBB′=∠DB′B，∠DB′C=∠DCB′，所以∠DBB′+∠DCB′=∠DB′B+∠DB′C，即∠BCB′+∠CBB′=∠BB′C，所以∠BB′C=90°，即BB′⊥AC.因為點B與B′關于DE對稱，所以DE⊥BB′，BE=B′E，所以DE//AC，所以∠BED=∠BAC，∠DEB′=∠AB′E.由對稱性得∠BED=∠DEB′，所以∠AB′E=∠BAC，所以AE=B′E，故AE=BE=B′E，即此時點E為AB的中點，此時BE=AB/2=5/2.

綜上所述，BE長的范圍為9/5＜BE＜5/2.

點評? 本題考查等腰三角形的性質和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能夠根據題意準確分析出動點B′的運動軌跡（即圓弧），并構建適當的三角形進行求解是解題的關鍵．

3 結束語

在初中數學教學中，教師應引導學生對平面幾何中的最值問題進行歸納，并提煉出解決問題的方法，提高解題效率［4］.如果∠APB=90°，且AB的長度為定值，那么點P的軌跡是以AB為直徑的圓.如果動點P到定點A的距離是定值，那么點P的軌跡是以A為圓心，AP的長為半徑的圓.這兩種情形是平面幾何的最值問題中比較常見的，可通過構造圓，然后利用圓的性質來解決.除此以外，如果AB的長為定值，且動點P滿足∠APB為定值，則動點P的軌跡是以AB為弦的圓.學生熟悉以上有關圓的幾何模型，可提高分析問題和解決問題的能力，進而提升其數學核心素養.

參考文獻：［1］ 劉桂景.初中數學幾何最值問題的解題思路分析［J］.數理天地（初中版），2024（1）：49-50.

［2］ 崔懷勝.平面幾何中與動點有關的最值問題［J］.數理天地（初中版），2022（19）：21-22.

［3］ 李鴻昌.由一道競賽模擬題引發的探究［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2023（11）：30-32.

［4］ 李鴻昌，曹瑩.例談平面幾何法“破解”圓錐曲線小題［J］.數學通訊，2017（1）：10-13.

［責任編輯：李? 璟］