幾何畫板輔助數學教學的必要性與具體措施的研究

施詠香

[ 摘 要 ]21世紀，教育信息技術化是所有教育工作者所達成的共識.將幾何畫板與初中數學教學有機地融合在一起是時代發展的需要，是新課標的需求，也是實際教學的需要.文章從“探究知識形成過程，發展數學思維”“揭示圖形變化規律，感知數量關系”“動態演示數學問題，簡化問題難度”三方面具體談論如何將幾何畫板應用在數學教學中.

[ 關鍵詞 ]幾何畫板；數學思維；信息技術

從20世紀90年代起，一些經濟、教育發達國家率先在教育教學領域植入信息技術手段，有效提高了課堂教學實效.近年，我國的教育信息化呈破竹之勢悄然崛起，幾何畫板的應用對提高數學教學效率有絕對的優勢.為了讓幾何畫板更好地為數學課堂教學服務，筆者對此進行了大量的研究，取得了一定的成效.

幾何畫板應用的必要性

1.時代發展的需要

隨著時代的發展，現代化的信息技術已經滲透到人類生活的各個領域，它為我們創造了通過不同的方式認識、了解與改變世界的可能.數學教育也應跟上時代的步伐.幾何畫板作為一種重要的教學輔助工具，能將抽象的數學內容轉化成直觀可視的圖象，降低思維的起點，讓學生能更好地理解教學內容[1].

幾何畫板的操作簡便，廣大師生能快速掌握其操作要領.如今，不少一線教師借助幾何畫板創作課件，取得了非常好的成效.據此，不難看出教育的發展與社會的發展是一致的.幾何畫板的應用是時代發展的需要，也是促進學生成長的重要方式.

2.新課標的需求

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確提出：教師可以利用信息技術對文本、圖象、聲音、動畫等進行綜合處理，豐富教學場景，激發學生學習數學的興趣和探究新知的欲望.這句話不僅強調了信息技術對教學的影響，還鼓勵教師將信息技術的優勢應用在數學課堂中，讓學生能借助先進的設備、設施提高學習效率.

新課標還強調要發揮信息技術的育人功能，要求教師處理好知識傳授與能力培養之間的關系，讓學生能應用先進的信息技術手段應對千變萬化的問題，形成自身的技能.幾何畫板作為數學教學的重要輔助工具之一，能滿足新課標所提出的要求，對促進教學相長具有重要價值與意義.

3.實際教學的需要

經過一段時間的調查研究，筆者發現當前一些教師在實際教學中仍存在一些不足，如難以將抽象的幾何內容呈現出來.對初中生而言，他們的抽象思維能力有限，空間想象力不夠，難以理解一些運動變化的關系，這就為學習帶來了困難.有些教師為了改善這種情況，將各種圖形借助課件進行展示，但這些圖并不會動，學生難以從根本上理解其本質.

教師因缺乏應用幾何畫板的習慣，導致呈現的圖都是“死圖”，學生難以對教學內容形成直觀形象的認識.想要突破這一現象，就要利用好幾何畫板這一工具，讓學生在簡單直觀中感知數學知識的趣味性.當然，這也是從傳統紙筆教學上升到技術應用的重要突破.

幾何畫板輔助教學的具體措施

1.探究知識形成過程，發展數學思維

新課標著重強調數學教學要凸顯出知識的形成與發展過程，幾何畫板的應用可再現概念、定理等的形成，深化學生的理解程度.教學中，教師可指導學生應用幾何畫板進行動手操作，通過對一些現象的觀察、度量、統計與分析，發現蘊含的規律，為概念的抽象奠定基礎.

這種教學模式打破了傳統“教師講授—練習訓練—測試講評”的模式，形成了“呈現問題—實驗操作—觀察猜想—驗證—應用”的新型探究式學習模式.這一教學模式凸顯了學生在課堂中的主體地位，每個環節都由學生自主思考、交流而完成，教師只起到引導的作用.

因此，幾何畫板的介入是促使課堂轉型的重要契機，學生在自主操作、思考中激活思維，開闊眼界，提升素養.

案例1 “平行線分線段成比例定理”的教學.

本節課的難度較大，對學生的思維要求較高.若采用“注入式”的教學模式，則難以讓學生從根本上掌握知識本質，而讓學生親自動手測量、觀察、計算與總結，又會耗費大量的時間與精力，這就給教學帶來了難度.研究發現，對于本節課，借助幾何畫板進行授課，既能避開親自動手操作所耗費時間太多的問題，又能讓學生經歷完整的探究過程，能激發學生的研究興趣，幫助學生建構新知，形成長時記憶.

問題 如圖1，已知l1∥l2∥l3，分別求出AB∶BC，DE∶EF.

如圖1，應用幾何畫板作出符合問題條件的圖形，拖動平行線與截線的位置，并借助測量與計算功能來觀察變化過程中數據的情況.

觀察發現，只要不改變平行的關系，不論截線的位置怎樣變化，待求結論的兩組比的值均恒等不變.因為是從直觀上觀察到的結論，所以學生更容易理解，記憶起來也更加牢固、深刻.

繼續操作幾何畫板，改變原圖形，使得點A，D重合在一起，發現以上結論依然成立；再次改變圖形，使得點B，E重合在一起，以上結論同樣成立；隱藏l1，l2，l3，發現以上結論還是成立的.

以上探究過程，由學生自主操作、觀察、體驗、獲得結論，雖然用時不長，收獲卻不少.顯然，幾何畫板的應用打開了幾何教學之門，讓學生通過簡便的操作就發現這個問題的結論與圖形的變化并沒有關系.圖形變化規律在幾何畫板的輔助下自然呈現，由此帶給學生愉悅的學習體驗.

蘇霍姆林斯基認為，每個人的內心深處，都希望自己是一個發現者、研究者與探索者，這是一種根深蒂固的需要，尤其是在兒童的內心深處，這種需要更強烈.強烈的求知欲與趣味橫生的探究過程，不僅讓學生體驗到了數學學習的樂趣，還有效啟發了學生的思維.

2.揭示圖形變化規律，感知數量關系

在運動過程中保持給定的幾何關系是幾何畫板的重要功能，這種功能將圖形的變化規律完整地表示了出來，能讓學生從直觀可視的效果中感知圖形各個量之間存在怎樣的數量關系.因此，幾何畫板的應用，不僅為學生提供了別樣的視覺盛宴，更為數學教學提供了技術支持.

案例2 “三角形”的解題教學.

問題 已知△ABC與△CDE均為等邊三角形.（1）如果點B，C，D位于同一直線上，那么AD與BE的長度相等嗎？（2）將△CDE圍繞點C旋轉大于0°小于360°后，AD與BE的長度相等嗎？

對于本題，若自己作圖思考，從初中生的認知水平來說，很難一次就弄明白.而借助幾何畫板的演示功能，則能將圖動態地展示出來.學生通過對直觀化的圖形的觀察，即可發現結論正確與否.

幾何畫板呈現出的情形為：如圖2，不論將△CDE按照題設條件圍繞點C怎樣旋轉（除了點A，C，D在一條直線上這種情況），△BCE與△ACD恒為全等的關系，因此AD與BE的長度也是恒等不變的關系.

幾何畫板的介入成功地激發了學生的探索欲，讓學生在圖形的動態演示中獲得了問題的結論，并感知到幾何畫板是探索幾何圖形之間關系的重要輔助工具.

為了讓學生通過幾何畫板更好地感知幾何圖形間的數量關系，教師可在此處加以變式，以拓寬學生的思維，讓學生進一步感受知識的寬度與深度，也體驗幾何畫板對數學學習的便利.

變式 如圖3，已知△ABC與△CDE都是等腰直角三角形.

（1）若點A，C，E位于同一條直線上，那么AD與BE相等嗎？

（2）倘若將△CBE圍繞點C旋轉一定的角度，那么AD與BE相等嗎？

學生自主操作幾何畫板，很快就發現這個問題的條件雖然發生了變化，但與原題竟然驚人的相似.當學生作圖并按照題設條件旋轉圖形時，發現本題很簡單.

學生的興奮之情溢于言表，幾何畫板的應用讓原本枯燥乏味的問題變得靈動且富有生命力，活躍了課堂氣氛的同時，起到了激趣啟思的作用.

3.動態演示數學問題，簡化問題難度

一些學生覺得初中數學難，究竟難在何處呢？調查發現，學生所謂的難，基本都在于難以理解知識的推理過程，尤其是動態幾何中的軌跡問題成了部分學生的“死穴”.科學、合理地應用幾何畫板來作圖，可讓學生在動態演示下追蹤到圖形的軌跡，簡化復雜的圖形形成過程以及知識的推導過程，有效突破學生思維的障礙點[2].

借助幾何畫板動態演示數學問題一般有如下兩類：

第一類，應用幾何畫板展示幾何圖形的運動或變化，也就是讓學生從圖形某一元素的變化中獲得函數模型.解決這類問題的重點在于將動態的問題轉化成靜止的問題，常見的有點動、線動、面動、平移、旋轉、翻折問題等.

第二類，用動態的觀念來分析與解決幾何問題，探索幾何圖形在運動時伴隨圖形位置與數量關系“變”與“不變”的特性.這一類型包括用動態的觀念進行猜想、驗證，獲得結論的過程.

解決動態幾何問題的關鍵，在于從理論知識出發，借助幾何畫板的工具性功能，在動靜結合中發現解決問題的關鍵.這與分類討論思想、數形結合思想、函數與方程思想等有著密不可分的聯系.

案例3 “動點問題”的教學.

問題 如圖4，已知四邊形ABCD為一個菱形，其中AB = 4，∠ ABC = 60°，E為AB邊上的一個動點，如果過點B作直線EC的垂線， F為垂足，求點E從點A運動到點B時，點F的運動路徑的長度.

想要求點F的運動路徑的長度，首先要明確點F的運動軌跡，這也是學生思維的障礙點.通過紙筆畫圖，學生很難從真正意義上理解它的運動軌跡，但借助幾何畫板的動態演示功能，可將圖形的變化過程以及點F的運動軌跡直觀、完整地展示出來.

從學生認知發展的規律來看，學習者在學習開始階段只是一名參與者，而后通過對事件的觀察與分析，可抽象出事件的數學符號，從而更加有效地參與具體的教學活動.此為教育與心理的理論基礎，也是將幾何畫板融合到教學中的重要依據.因此，幾何畫板的動態演示功能不僅能簡化問題的難度，更重要的是能促進學生認知的發展，為建構完整的認知體系奠定基礎.

總之，將信息技術與數學教學深度融合勢在必行，幾何畫板的各種功能與優勢突破了傳統教學的靜止狀態，為課堂添加了更多靈性與智慧，為學生的學習提供了更多便利.幾何畫板的介入體現了數學課堂的活力與生命力，這是一種自由、開放、智慧的數學美.

參考文獻：

[1]陶維林.幾何畫板新版特色與實用技巧[M].北京：清華大學出版社，2003.

[2]劉勝利.21世紀高等教育院校教材“幾何畫板”課件制作教程（第三版）[M] .北京：科學出版社，2010.