一道中考題的不同解法及啟示

摘要：對2022年蘇州和2023年黃岡的中考數學選擇填空的壓軸題目的相似性，進行多角度、多種方法的探究和解析，啟發教師對信息問題的把握要更加豐富，進而提高學生的解題能力，發展學生的核心素養.

關鍵詞：一題多解；中考壓軸題；核心素養；數學思想

中考數學的壓軸題目，往往考查學生的運算、推理、圖形等方面的綜合素養，這也是數學核心素養的重要部分.中考的壓軸題目很少會出現只有唯一解法的情況，通常會給學生提供多次尋找入手點的契機，但一般具有隱匿性，需要學生具備一定的知識儲備及挖掘信息的能力.

1 題目呈現

2 題目解析

分析：題目已知條件中涉及三點A（0，2），B（n，0），C（m，3），其中未知的量是點B的橫坐標和點C的橫坐標.從代數方程的角度看，兩個未知的量需要兩個方程來解決；從幾何角度看，由條件中“線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60°得到線段AC”，連接BC，可得△ABC是等邊三角形，對于等邊三角形的對稱性，常常借助“三線合一”來處理.60°是很特殊的角度，借助三角函數可以由角度轉化成線段的長度，同樣，我們也可以構造60°等特殊角來解決線段長度問題.

點評：法1輔助線的作法比較常見，由△ABC是等邊三角形，有三條對稱軸，未知的量是點B的橫坐標和點C的橫坐標，只有兩個未知數，所以過點A作CB的垂線（圖3）或過點B作AC的垂線（圖4），用法1的方法都可以解答出來.

點評：法4運用了從局部到整體的思想.題目中“線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60°得到線段AC”，由于線段AB是單條線段的旋轉，因此如果把線段AB放在一個圖形中，就可以得到一個整體圖形的旋轉.隱含條件里線段AB在Rt△ABO中，進而我們就可以把點O繞點A逆時針方向旋轉60°得到對應點D，則∠ADC=90°，∠OAD=60°，作出常見的輔助線后，把m分解成FD和DE兩個部分求解.

點評：“一線三等角”是八年級上學期“全等圖形”中比較重要的專題.以60°的特殊角為背景設置，構造出“一線三等角”的模型，這里對學生的圖形構造能力要求較高，但計算比較簡便.

3 考題鏈接

（2023年黃岡市中考第16題）如圖8，已知點A的坐標為（3，0），點B在y軸正半軸上，將線段AB繞點A順時針旋轉120°得到線段AC，若點C的坐標為（7，h），則h=__________.

本題是黃岡數學中考填空題的最后一題，考查學生多種數學思想方法，和2022年的蘇州數學中考第8題類似，以上五種方法均可以使用.

4 教學啟示

數學幾何題目的呈現一般是以簡潔的、隱匿的形式出現，在幾何探究教學中，教師要多加引導、鼓勵，啟發學生思考，幫助學生掌握數學思想和方法的本質，抓住特殊的量、不變的量，多解歸一，實現數學核心素養的育人價值.