基于中華優秀傳統文化的數學探究活動

摘要：以“楊輝三角的性質與應用”教學為例，引領學生開展數學探究活動，將中華優秀傳統數學文化融入高中數學教學。在數學探究活動中，讓學生感受中華優秀傳統文化的獨特魅力，發展學生的數學思維，提升學生的數學抽象、邏輯推理等核心素養。

關鍵詞：中華優秀傳統文化" 數學探究活動" 楊輝三角

中華優秀傳統文化是中華民族的精神命脈與文化基因，是實現中華民族偉大復興中國夢的重要精神力量。我國從落實立德樹人根本任務出發，頒布了一系列政策，旨在傳承與發展中華優秀傳統文化?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）在修訂原則中提出，繼承和弘揚中華優秀傳統文化，引導學生形成正確的世界觀、人生觀、價值觀?！墩n標》強調更新教學內容，課程內容有機融入中華優秀傳統文化，充實豐富培養學生社會責任感、創新精神、實踐能力。2021年，《中華優秀傳統文化進中小學課程教材指南》對中華優秀傳統文化“進什么、進多少、如何進”進行頂層設計，對落實文化教育具有重要的指導意義。

楊輝三角是中華優秀傳統文化的重要成就，蘊含了豐富的性質和廣泛的應用，充分體現了中華優秀傳統文化的智慧。它的發現比歐洲早500年左右?！墩n標》在“教學與評價案例”的案例18“楊輝三角”中，要求“通過楊輝三角，了解中華優秀傳統文化中的數學成就，體會其中的數學文化”。《課標》指出高中數學包括四大主線：函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動，并強調數學文化融入課程內容?？紤]到楊輝三角的科學性、探究性、趣味性特點，在數學知識、數學思維和數學文化等方面均具有重要教育作用，因此筆者把楊輝三角設置為一個主題，通過系列數學探究活動，引導學生從不同的角度進行研究。下面以“楊輝三角的性質與應用”為例，探討基于中華優秀傳統文化的數學探究活動，為將中華優秀傳統文化融入高中數學探究活動提供一定的參考。

一、數學探究活動的內涵

（一）數學探究活動的本質

《課標》定義數學探究活動為圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究與合作研究，最終解決問題的過程，它是綜合提升數學學科核心素養的載體。數學探究活動是一種綜合實踐活動，是高中數學課程內容重要組成部分，其本質是學生在教師的引導下，以問題為導向，經歷發現、提問、推理論證、綜合應用等過程，用知識解決問題的數學學習活動。

（二）數學探究活動的模式

數學探究活動的模式是將探究活動理論與實踐相結合的關鍵，具有系統的結構。學生在數學探究活動過程中，自身的學習水平在不斷發展。數學探究活動主要包括提出問題、獨立探究、合作交流、總結歸納、應用拓展等環節，如圖1?？紤]到學生的認知能力和素養水平的差異性，在數學探究活動中，應遵循差異性、過程性、開放性等原則，幫助每個學生在探究活動中得到不同發展。

二、基于中華優秀傳統文化的數學探究活動實踐

（一）內容分析

人教A版高中數學選擇性必修第三冊中關于楊輝三角的性質與應用內容位于第六章“計數原理”的章末部分，以數學探究的形式呈現。本探究活動包含的主要內容有排列與組合、二項式定理，因此該探究活動是對本章內容的復習與應用，具有承接作用。本活動蘊含數形結合、分類討論、轉化與歸納、從特殊到一般等數學思想方法，能夠發展學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養。

（二）學情分析

楊輝三角的數學探究中包含了豐富的性質，針對不同的學生水平可以提出適當的探究要求。本數學探究活動在高二年級學生中開展，學生已經具備獨立探究、合作學習的技能。在知識儲備方面，學生已經學習排列與組合、二項式定理、數列，具有相應的概念、性質的基礎，有一定的數學抽象、論證推理能力。

然而，學生的數學探究活動的經驗、方法存在不足，在探究楊輝三角的性質與應用的過程中，無法系統地發現楊輝三角的性質，對性質的推理論證過程不嚴謹。

（三）教學目標與重難點

首先，引導探究楊輝三角的性質，利用楊輝三角解決問題。其次，經歷發現數學知識間的聯系、提出并分析問題、推理論證并得出結論、綜合應用結論的數學探究過程。再次，掌握科學的數學探究活動方法，發展數學學科核心素養。最后，學會研究數學課題的基本方法，發展嚴謹規范的數學研究精神。

本探究活動的重點是發現與證明楊輝三角的性質，應用楊輝三角解決開方、數列等問題。難點主要是靈活應用楊輝三角的性質。

（四）探究策略與流程設計

基于楊輝三角的數學探究活動，設計了課前、課中、課后三個過程的開放性探究活動，其主要內容圍繞“楊輝三角有哪些性質、有哪些應用”進行數學探究。

課前，以獨立探究與小組合作相結合的方式。首先，確定小組成員及分工，班級內每5～6人為一組，其中1人作為組長；接著，根據教師設計的研究報告參考形式，圍繞楊輝三角的性質、應用，小組成員共同討論探究方案，確定研究思路；隨后，小組成員各自展開獨立探究，然后通過專題作業的方式完成個人的研究報告。最后，小組內的成員討論交流，共同完善本組的研究成果，組長撰寫一份小組的研究報告。

課中，展示各組的課前研究報告，并以小組成果中的性質與應用為例，展開系統性的證明、討論。

課后，根據學生所收獲的內容，完成相應的練習，然后思考并查閱有關楊輝三角的性質與應用的資料。

本數學探究活動利用GeoGebra軟件，促進學生在直觀展示與動手操作中發現楊輝三角這個數字三角形的數字特征與結構規律，感受蘊含的中華優秀文化的豐富魅力。

（五）確定探究主題，開展探究

1.創設情境

師生活動：教師通過PPT呈現二項式系數與楊輝三角，在探究（a+b）n的展開式的二項式系數性質時，將系數寫成了一張圖，借助圖2，發現了系數的規律。對于圖3，早在1261年，我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，就已經出現了這張圖，稱這個圖為楊輝三角。楊輝三角的發現早于歐洲500年左右，它是一個偉大的數學史成就，充分體現了中華優秀傳統文化。

楊輝是南宋數學家，著有《詳解九章算法》《日用算法》《乘除通變本末》《楊輝算法》。楊輝總結了九歸等乘除捷算法及其口訣，對縱橫圖及幻方研究頗有貢獻。

楊輝三角原稱“開方作法本源圖”，《詳解九章算法》指出“楊輝三角”這種方法出于《釋鎖》算書，北宋數學家賈憲曾經用過這種方法。許多古代數學家們借助此圖，解決了開高次方、解高次方程等問題。它是一個偉大的數學史成就，充分體現了中華優秀傳統文化。

【設計意圖】通過創設楊輝三角的數學情境，介紹數學家楊輝與楊輝三角的歷史，使學生體會到楊輝三角在中國優秀傳統數學文化中的重要作用，幫助學生理解為何要研究楊輝三角，提高學生的學習興趣與探究熱情。

2.提出問題

通過前置性作業的方式，落實課前任務，通過提出本數學探究活動的問題，明確探究任務。問題如下：

（1）你發現楊輝三角哪些數學結論？請對發現過程進行概述。

（2）寫出結論的證明思路，描述其形成過程。

（3）對發現的結論進行證明或否定。

（4）舉例說明楊輝三角的應用。

（5）你有哪些收獲與體會。

【設計意圖】提出問題是開展數學探究活動的關鍵步驟，通過提出問題，學生獲得探究的內驅力，使探究活動具有方向性與驅動性。

3.獨立探究

班級按5～6人確定小組，小組對探究問題分析，集體討論探究方案，確定探究思路。小組成員各自開展獨立探究，經歷查閱、搜集、整理資料的過程，然后通過專題作業的方式，撰寫研究報告。

【設計意圖】通過引導學生各自進行文獻閱讀等方法查閱資料，探究楊輝三角的性質，猜想楊輝三角的結構特征與數字規律，有助于學生感受楊輝三角蘊含的豐富數學文化，增強探究的自主性與積極性。

4.合作交流

小組內成員根據各自的研究報告，進行討論交流，共同完善研究成果，最后形成一份小組研究報告。

【設計意圖】合作交流使小組成員的智慧凝聚，有助于培養學生的合作能力，增強團隊意識。

課前活動是利用研究報告單，激勵學生進行數學探究的首要步驟。數學探究活動是以問題為導向，運用知識解決問題的一種研究性學習方式。這節課通過安排課前探究任務及相應專題作業，引導學生自主查閱資料，發現楊輝三角的性質，有助于學生積極參與、體驗過程。通過數學探究，學生對楊輝三角性質的理解由淺至深，體會由猜想到論證、由直觀到抽象、由特殊到一般的數學思維過程。以數學探究活動的方式來探究楊輝三角的性質與應用，能夠提升學生的數學探究精神、應用意識，初步掌握數學課題研究的方法，發展學生自主學習的能力。

5.明確探究思路，歸納性質

問題1：結合楊輝三角與二項式系數構成圖，通過畫一畫、連一連、算一算，從不同角度，觀察楊輝三角的結構特征，發現楊輝三角中的數字具有哪些排列規律？

小組1得出結論：從楊輝三角的每一行來看，可以發現，楊輝三角的第n行的第r個數可以表示為Cr－1n，這是一個組合數。所以，第n行就是a+bn的展開式的二項式系數，即C0n，C1n，C2n，…，Cnn。

小組2得出結論：從楊輝三角的橫行來看，發現每一行中與首尾兩端等距離的兩個數字是相等的，具有一定的對稱性，即Crn=Cn－rn，證明的方法可以用組合數來證明。

小組3得出結論：第n行的所有數字的和等于2n，即C0n+C1n+…+Cnn=2n，并且第n行的奇數項之和與偶數項的和也是相等的，即C0n+C2n+…=C1n+C3n+…，而這兩個結論恰好也是剛學習過的二項式定理的兩個重要結論。

小組4得出結論：從橫向的角度發現，第n行的所有數的平方和等于第2n行中的中間的數。

小組5得出結論：從縱向觀察楊輝三角，通過觀察楊輝三角中相鄰兩行之間的關系，發現楊輝三角的三角形兩個腰都是由數字1組成的，其余的所有數字都等于這個數字“肩上”的兩個數字的和。

……

【設計意圖】通過對探究方法的指導，引導學生從橫向、縱向、斜向等不同角度研究楊輝三角，促進學生自主發現、歸納結論。對比從不同角度發現楊輝三角的性質過程，有助于學生拓寬視野，體會楊輝三角蘊含的中華優秀文化，體會古人的數學智慧。

問題2：對于小組4、5的結論，如何用數學符號描述？如何推理論證？

師生活動：在學生理解楊輝三角的數可以表示為組合數的基礎上，教師引導學生將上述結論用組合數表示，鼓勵學生用組合數、數學歸納法等方式對結論進行證明，學生給出以下證明過程：

①論證Crn=Cr－1n－1+Crn－1，證明如下：

由于Cr－1n－1+Crn－1=n－1！r－1！n－r！+n－1！r！n－1－r！=n－1！r！n－r！r+n－r=n！r！n－r！，

注意到Crn=n！r！n－r！，因此，Crn=Cr－1n－1+Crn－1。

②論證Crr+Crr+1+Crr+2+…+Crn－1=Cr+1n，證明如下：

Crr+Crr+1+Crr+2+…+Crn－1=Cr+1r+1+Crr+1+Crr+2+Crr+3+…+Crn－1

=Cr+1r+2+Crr+2+Crr+3+…+Crn－1=Cr+1n，將前兩項的和與第三項結合，反復利用遞歸性即可。

【設計意圖】通過引導學生結合已學知識，對楊輝三角的重要性質進行證明，加深學生對性質的理解，濃厚學生的探究興趣。通過發現和提出問題，分析與解決問題，促進學生經歷完整的數學探究過程，并初步掌握數學探究活動的基本方法，提高學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學素養。

（六）展示研究成果，學以致用

問題3：在中國古代，作為中華優秀傳統文化的重要成就，楊輝三角解決了許多數學問題，比如數列問題、開方問題等。你們查閱了楊輝三角的哪些應用？

小組6成果展示：通過查閱資料，發現楊輝三角可以解決數列的古算題，它出自楊輝所著的《詳解九章算法》，該題為“三角垛，下廣，一面十二個，上尖，問計幾何？”

師生活動：教師總結歸納，楊輝三角在數列求和方面有重要應用。在我國古代，許多數學家研究數列的問題，而且取得輝煌的成就，比如通過“三角垛”等垛積問題的研究，數學家由此發現了許多數列的求和公式。

問題4：將上述三角垛問題進行一般化，如圖4，就是如下的將圓球堆成三角垛問題：如圖，底層是每邊堆n個圓球的三角形，向上逐層每邊減少1個，頂層是1個，如何求總數？

師生活動：學生得出由等差數列的求和公式可知，其和等于n1+n2，即C2n。教師引導學生結合之前小組發現的結論，鼓勵學生觀察楊輝三角的數字特征，發現平行于腰的第二條斜線上的數字分別為：1，2，3，4，…，Cn－1n，其和等于C2n，即1+2+3+…+Cn－1n=C2n。

問題5：根據剛才的規律，如何寫出二階等差數列、三階等差數列的求和公式？即1+3+6+…+C2n－1=？，1+4+10+…+C3n－1=？

師生活動：師生共同探究，學生發現從斜行的角度來看楊輝三角，可以直接得到二階等差數列、三階等差數列的求和公式，也就是1+3+6+…+C2n－1=C3n，1+4+10+…+C3n－1=C4n，如圖5。教師引導學生聯想出四階、五階，乃至一般的高階等差數列，總結由楊輝三角可得到高階等差數列的一般求和公式，可以看出中華優秀傳統數學文化具有廣泛的應用價值。

問題6：楊輝三角除了數列求和，還有哪些應用？請同學們查閱書籍，通過網絡搜索相關資料，進一步探究楊輝三角的應用，拓展更多的中華數學文化知識。

【設計意圖】通過楊輝三角的應用，豐富學生的學習內容，促進學生建立排列組合、開方運算、數列等知識之間的聯系，感受楊輝三角的非凡價值。

（七）歸納概括，總結提升

通過對楊輝三角的性質與應用的數學探究活動，教師提出以下問題幫助學生總結回顧整個數學探究活動過程：

（1）由本次探究活動，你收獲了楊輝三角的哪些文化知識？

（2）本次活動的探究過程是什么？你掌握數學探究活動的方法了嗎？

【設計意圖】通過回顧本課題的探究活動，引導學生從知識、過程、方法等角度復習本次探究活動的內容，引導學生積累數學活動的經驗，掌握數學探究活動的方法，提高自主探究、發現與解決問題以及提出新問題的能力。

（三）基于中華優秀傳統文化的數學探究活動的思考

在高中數學教學中，常態化的教學過程往往是知識的探究、問題的解決，缺少對數學知識的文化探索。筆者對基于中華優秀傳統文化的數學探究活動從以下方面進行思考。

首先，以立德樹人為目標，將中華優秀傳統文化巧妙地融入數學探究活動中，使學生在探究知識與解決問題的過程中，積累數學活動經驗，掌握數學探究活動的方法，體味中華文化的魅力，增強民族自豪感，提高文化自信，樹立積極的人生態度。

其次，以學生發展為主體，新課程新教材包含豐富的中華優秀傳統文化，優秀文化的類型也是多種多樣的。教師應根據學生的認知基礎、思維特點、探究能力等具體學情，在探究活動中，對不同的學生提出相應的要求，設計有梯度的問題，使學生得到適合自身的發展。

最終，以素養提升為導向，數學探究活動對培養學生的數學核心素養具有重要的作用，中華優秀傳統文化有助于學生加深對數學的理解。中華優秀傳統文化在數學探究活動各環節中的巧妙融入，十分有益于實現文化融合與數學核心素養的綜合性發展。

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責任編輯：黃大燦