小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中算理與算法的融合路徑探索

【摘要】算理與算法是數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，也是助力學(xué)生運(yùn)算能力提升的基礎(chǔ)保障.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要嚴(yán)格掌握算理與算法兩者之間的關(guān)系，將其有機(jī)融合，合理組織實(shí)施算理與算法的訓(xùn)練，讓學(xué)生可以深刻理解與認(rèn)識(shí)算理，圍繞算理開(kāi)展算法探究，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與素質(zhì).鑒于此，文章以人教版四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“小數(shù)的加法和減法”為例，針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中融合算理與算法的策略進(jìn)行深入分析與研究.

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；計(jì)算教學(xué)；算理與算法；融合

算理是數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程中存在的客觀規(guī)律，可以為計(jì)算提供客觀正確的思維形式.算法是人類設(shè)計(jì)與規(guī)定的計(jì)算方法和技巧，可以為計(jì)算提供高效、合理的操作模式.算理與算法兩者之間有著一定的關(guān)系，其中，算理是算法選擇應(yīng)用的理論依據(jù)，算法是計(jì)算算理的概括與提煉.因此，在開(kāi)展小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的過(guò)程中，教師需要深入分析算理教學(xué)與算法教學(xué)之間的聯(lián)系，科學(xué)、合理地融合算理與算法教學(xué)，不斷提升與強(qiáng)化算理與算法學(xué)習(xí)的有效性與合理性，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算素養(yǎng)進(jìn)一步發(fā)展.

一、結(jié)合知識(shí)共通性，呈現(xiàn)展示算理

算理是兼具推理性、思維性以及共通性等特征的理論知識(shí)，在教材中的占比相對(duì)較大，不同算理之間具有密切的關(guān)系.在數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的過(guò)程中，教師可以依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和特征，貼合算理的關(guān)聯(lián)性，選擇使用新知舊知關(guān)聯(lián)、推理分析等一系列教學(xué)模式，直觀、明確、清晰地展示與體現(xiàn)復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)計(jì)算算理，讓學(xué)生能夠逐步深化對(duì)算理的認(rèn)識(shí)與理解，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算算理內(nèi)涵以及規(guī)律的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)進(jìn)行算法教學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（一）回憶舊知，遷移應(yīng)用算理

由于算理與算法具有相通性，教師需要重視整數(shù)與小數(shù)計(jì)算的普遍規(guī)律，采取舊知回顧與導(dǎo)入的模式，讓學(xué)生逐步遷移、推理數(shù)學(xué)知識(shí).例如，“小數(shù)的加法和減法”這部分知識(shí)與整數(shù)加、減法的知識(shí)關(guān)系密切.對(duì)于四年級(jí)學(xué)生來(lái)講，其已經(jīng)深入學(xué)習(xí)與探究整數(shù)加、減法的算理知識(shí)，并且積累了一定量的單位知識(shí)，包括元、角、分.這為學(xué)生進(jìn)一步掌握與理解小數(shù)加、減法的算理提供了一定的助力.在課程教學(xué)的過(guò)程中，首先，教師可以為學(xué)生出示一系列整數(shù)的算式，即“24-13，34+23，56-23，451-172”等，提出問(wèn)題：“上述算式的計(jì)算結(jié)果是多少？計(jì)算原理是什么？應(yīng)該如何列出豎式計(jì)算上述算式？”學(xué)生根據(jù)教師提出的問(wèn)題回顧整數(shù)豎式的計(jì)算算理，即“整數(shù)相加減的過(guò)程中，需要對(duì)齊相同數(shù)位并將其相加”.其次，在這一基礎(chǔ)上，教師可以為學(xué)生出示小數(shù)算式“5.6-1.2”，繼續(xù)提出問(wèn)題：“你認(rèn)為小數(shù)算式的豎式應(yīng)該如何列出來(lái)？”鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)整數(shù)計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)思考與探究小數(shù)的算理，遷移、應(yīng)用已有的經(jīng)驗(yàn)，如“兩位數(shù)與三位數(shù)相加減的計(jì)算原理以及規(guī)律中對(duì)齊相同數(shù)位相加，小數(shù)是否也是如此？小數(shù)是否有相同數(shù)位，應(yīng)該如何將相同位數(shù)相加？”最后，教師可以結(jié)合學(xué)生存在的疑惑做好教學(xué)指導(dǎo)，展示計(jì)算算理知識(shí).

（二）推理分析，直觀展示算理

為幫助學(xué)生深入探究與感知計(jì)算算理的本質(zhì)，讓學(xué)生能夠全面、有效體會(huì)算理的特點(diǎn)與內(nèi)涵，打牢基礎(chǔ)，教師需要在直觀展示計(jì)算算理的基礎(chǔ)上，帶領(lǐng)學(xué)生推理分析、逐層探索算理知識(shí)，利用直觀可視的工具設(shè)備，演繹計(jì)算算理的形成，讓學(xué)生通過(guò)觀看、傾聽(tīng)、操作與思考，明確掌握與了解算理.例如，“小數(shù)的加法和減法”計(jì)算算理的本質(zhì)為“十進(jìn)制計(jì)算”.在教學(xué)的過(guò)程中，教師可以巧妙地使用計(jì)數(shù)器，為學(xué)生直觀呈現(xiàn)小數(shù)的加法和減法算理.首先，教師可以為學(xué)生提供計(jì)數(shù)器.計(jì)數(shù)器中的不同珠子代表不同的數(shù)位，其中，白色珠子代表十位，紫色珠子代表個(gè)位，綠色珠子代表十分位，黃色珠子代表百分位.教師隨機(jī)報(bào)出各種小數(shù)，如“3.45，3.27，4.86”等，為學(xué)生提供一定的時(shí)間，要求學(xué)生使用計(jì)數(shù)器將小數(shù)擺出來(lái).在這一基礎(chǔ)上，教師可以隨機(jī)選擇學(xué)生，鼓勵(lì)其講一講自己擺放的方式和策略，如對(duì)于“3.45”這個(gè)小數(shù)，教師需要在個(gè)位數(shù)中放置3個(gè)紫色珠子，在十分位中放置4個(gè)綠色珠子，在百分位中放置5個(gè)黃色珠子.其次，教師可以提升計(jì)算難度，展示“3.45+2.48”的小數(shù)加法計(jì)算題，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，自主操作與思考，調(diào)整計(jì)數(shù)器，繼續(xù)添加珠子，如需要在個(gè)位、十分位以及百分位中分別添加2個(gè)珠子、4個(gè)珠子與8個(gè)珠子.在添加之后，教師要求學(xué)生自主數(shù)一數(shù)、算一算珠子的數(shù)量，使用“十進(jìn)制”算理，得出最終的結(jié)果，如個(gè)位、十分位與百分位上現(xiàn)在分別有5個(gè)珠子、8個(gè)珠子、13個(gè)珠子，計(jì)數(shù)器需要滿十進(jìn)一，百分位上的珠子超過(guò)10個(gè)，需要在十分位上加1個(gè)珠子，在百分位上保留3個(gè)珠子，結(jié)果為5.93.教師通過(guò)直觀演繹的模式引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比思考、直觀參考和觀察、總結(jié)和分析，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟算理，充分理解和認(rèn)識(shí)小數(shù)加、減法算理的本質(zhì)特征和內(nèi)涵，即“小數(shù)加、減法計(jì)算的過(guò)程中需要對(duì)齊數(shù)位、對(duì)齊小數(shù)點(diǎn)，直接相加計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)”.

二、以算理理解為立足點(diǎn)，加強(qiáng)算法教學(xué)

算法強(qiáng)調(diào)展示數(shù)學(xué)計(jì)算規(guī)律的特征，算法的學(xué)習(xí)目標(biāo)與任務(wù)在于為助力數(shù)學(xué)計(jì)算方法的應(yīng)用和選取，讓學(xué)生在解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，使用恰當(dāng)、合理的計(jì)算順序和邏輯流程，規(guī)范、合理地落實(shí)數(shù)學(xué)計(jì)算，借此達(dá)成進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)計(jì)算質(zhì)量，逐步減少數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí)間的目的.算法與算理具有相互引領(lǐng)與幫助的關(guān)系.在開(kāi)展數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的過(guò)程中，教師需要將指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建算理與算法融合理念作為核心任務(wù)，從算法問(wèn)題切入，讓學(xué)生在靈活應(yīng)用算法知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中加深對(duì)算理的理解和認(rèn)識(shí)，并將其逐步使用到相同類型問(wèn)題的處理與解決中，讓學(xué)生對(duì)算理與算法的理解和認(rèn)識(shí)能夠逐步強(qiáng)化.例如，在開(kāi)展“小數(shù)的加法和減法”教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，教師可以創(chuàng)設(shè)生活情境：“學(xué)校附近開(kāi)了一家日常用品店，主要經(jīng)營(yíng)水杯（2.5元）、文具盒（3.45元）、筆記本（2.2元）、頭繩（1.5元）等用品，小紅準(zhǔn)備前往店鋪購(gòu)物，請(qǐng)問(wèn)：購(gòu)買一個(gè)文具盒與一根頭繩需要花費(fèi)多少元錢？”，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試使用整數(shù)的算理“對(duì)齊數(shù)位開(kāi)展計(jì)算”，自主使用不同的算法，列出各種算式，自主解答與計(jì)算.方法1：“借助元、角、分的實(shí)際概率進(jìn)行計(jì)算”：3.45元可以當(dāng)作3元4角5分，而1.5元可以當(dāng)作1元5角.學(xué)生可以按照整數(shù)對(duì)其數(shù)位的計(jì)算原理進(jìn)行計(jì)算，3元+1元=4元，4角+5角=9角，4元+9角+5分=4元9角5分，可以簡(jiǎn)化為4.95元.方法2：“結(jié)合整數(shù)加法的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算”，3.45元由3個(gè)1、4個(gè)0.1與5個(gè)0.01組成，而1.5由1個(gè)1與5個(gè)0.5組成，相同數(shù)位相加可以得出結(jié)果4.95.方法3：可以將3.45當(dāng)作345個(gè)0.01，將1.5當(dāng)作150個(gè)0.01，345+150=495，結(jié)果是495個(gè)0.01，結(jié)果就是4.95.在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)引導(dǎo)下，學(xué)生可以自主靈活地使用已有的算理知識(shí)，自主探索、研究各種不同的計(jì)算方法，并根據(jù)計(jì)算方法推理分析小數(shù)計(jì)算的算理，最大限度地提升數(shù)學(xué)計(jì)算算理與算法融合的教學(xué)質(zhì)量、教學(xué)效率.教師可以在這一基礎(chǔ)上，為學(xué)生詳細(xì)講解小數(shù)計(jì)算的算理：“對(duì)齊相同數(shù)位中的數(shù)，按照整數(shù)加減法的運(yùn)算原理進(jìn)行計(jì)算.”同時(shí)，教師可以詳細(xì)介紹小數(shù)計(jì)算的方法與技巧，如在3.45+1.5計(jì)算的過(guò)程中，需要將個(gè)位的3與個(gè)位的1對(duì)齊，將十分位的4與十分位的5對(duì)齊，將百分位的5與百分位的0對(duì)齊，得出結(jié)果4.95.

三、遷移訓(xùn)練，提升算理算法應(yīng)用能力

在課程教學(xué)的過(guò)程中，教師可以深入提煉與挖掘算理、算法教學(xué)的難點(diǎn)與重點(diǎn)，貼合關(guān)鍵、核心的知識(shí)點(diǎn)規(guī)劃設(shè)計(jì)多元化、多樣化的數(shù)學(xué)練習(xí)題，鼓勵(lì)與指導(dǎo)學(xué)生靈活、巧妙地使用算理、算法知識(shí)自主完善與處理問(wèn)題，進(jìn)一步提升和強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)算理、算法知識(shí)技能、推理能力、遷移應(yīng)用能力.例如，在“小數(shù)的加法和減法”課程教學(xué)的過(guò)程中，教師可以在講解算理、算法知識(shí)之后，規(guī)劃設(shè)計(jì)集中性思維練習(xí)題、逆向思維練習(xí)題、發(fā)散性思維練習(xí)題以及綜合性練習(xí)題.

（一）設(shè)計(jì)集中性思維練習(xí)題

集中性思維發(fā)展是創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維形成的前提，可以為學(xué)生提供豐富充足的感性經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí).例如，在小學(xué)數(shù)學(xué)加、減法計(jì)算教學(xué)結(jié)束之后，教師可以為學(xué)生出示以下數(shù)學(xué)題：“6.66+3=”“0.66+0.3=”“6.66+0.03=”，鼓勵(lì)學(xué)生自主計(jì)算.在學(xué)生得出正確答案之后，教師可以繼續(xù)提出問(wèn)題：“這幾道數(shù)學(xué)題中的數(shù)字非常相似，為什么得出的結(jié)果各不相同？”結(jié)合問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算算理的規(guī)律進(jìn)行自主梳理、自主分析，即3位于個(gè)位，可以當(dāng)作3個(gè)1；0.3位于十分位，可以當(dāng)作3個(gè)0.1；0.03位于百分位，可以當(dāng)作3個(gè)0.01.通過(guò)集中性思維問(wèn)題，教師循序漸進(jìn)地指導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)計(jì)算的過(guò)程中一邊思考、一邊做題，可以幫助學(xué)生深刻理解算理與算法，提升學(xué)生的整體運(yùn)算能力.

（二）設(shè)計(jì)逆向思維練習(xí)題

逆向思維是組織開(kāi)展逆轉(zhuǎn)推理、反向推理思考的思維模式，可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與活躍度逐步提升.教師在數(shù)學(xué)計(jì)算算理、算法融合的教學(xué)中，可以規(guī)劃設(shè)計(jì)逆向思維練習(xí)題，讓學(xué)生對(duì)算理、算法的知識(shí)產(chǎn)生全新的認(rèn)識(shí)與感知，獲取良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，加深學(xué)生對(duì)算理、算法的掌握與了解.例如，教師可以設(shè)計(jì)練習(xí)題：“花花在計(jì)算小數(shù)減法時(shí)，由于數(shù)的末位對(duì)齊出錯(cuò)，算出的結(jié)果不正確，結(jié)果為13.39，減數(shù)為14.56，被減數(shù)為一個(gè)一位小數(shù)，請(qǐng)問(wèn)：被減數(shù)是多少？正確的結(jié)果是什么？”學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要在自主思考和推理的基礎(chǔ)上采取小組合作模式交流討論，提出各種不同的觀點(diǎn)和想法，如“未對(duì)齊小數(shù)的末位，相當(dāng)于將一個(gè)一位小數(shù)改編為兩位小數(shù)，位于十分位上的小數(shù)并未與十分位對(duì)齊，而是對(duì)齊百分位，與百分位相減，個(gè)位數(shù)對(duì)齊十分位數(shù)，兩者相減”.學(xué)生可以依據(jù)被減數(shù)與減數(shù)之間的差，計(jì)算得出錯(cuò)誤的結(jié)果，即14.56-13.39=1.17，再推理得出原本的減數(shù).在交流互動(dòng)、反向推理的過(guò)程中，學(xué)生可以與新知識(shí)對(duì)話，加深對(duì)算理、算法的掌握與了解.

（三）設(shè)計(jì)發(fā)散性思維練習(xí)題

教師可以利用發(fā)散性思維練習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，逐步提升學(xué)生思維的活躍性、創(chuàng)造性以及變通性，避免學(xué)生陷入定向、常規(guī)的數(shù)學(xué)思維模式中，進(jìn)而保障數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效.例如，教師可以出示以下例題：“x=0.00…0125（有1995個(gè)0），y=0.00…08（有1999個(gè)0），請(qǐng)問(wèn)x+y=？”這類問(wèn)題較為復(fù)雜，需要學(xué)生對(duì)小數(shù)加、減法的算理有深刻、全面的理解與認(rèn)識(shí)；需要學(xué)生深入思考題意，判斷“題目中1995個(gè)0與1999個(gè)0這一條件的功能作用”“y中的8應(yīng)該對(duì)齊x中的哪個(gè)數(shù)”“如何能夠相加相同計(jì)數(shù)單位中的數(shù)”.通過(guò)透徹理解、推理分析具體問(wèn)題，教師可以為學(xué)生的算理思維發(fā)展提供一定的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生逐步發(fā)散思維，將算理知識(shí)自主、有效地遷移到小數(shù)數(shù)位對(duì)齊的數(shù)學(xué)計(jì)算題中，有效提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

（四）設(shè)計(jì)綜合性練習(xí)題

除了設(shè)計(jì)發(fā)散性思維練習(xí)題、逆向思維練習(xí)題外，教師還可以在算理、算法教學(xué)的組織之后，設(shè)計(jì)一系列綜合性練習(xí)題.一是填空題：“（1）6個(gè)0.2+60個(gè)0.02=（ ）；（2）自主計(jì)算0.5+2.91+1.56+1.01時(shí)，運(yùn)用加法（ ）以及（ ）律可以促進(jìn)計(jì)算效率的提升；（3）比3.56多0.89的小數(shù)是（ ），比4.69少1.23的小數(shù)是（ ）”.二是列式計(jì)算題：“（1）4.56與2.35的差加上它們的和，結(jié)果是多少？（2）46.78加上2.34后，再連續(xù)減兩個(gè)12.5，結(jié)果是多少？”.三是應(yīng)用題：“學(xué)校附近的超市，一袋牛奶2.25元，一瓶礦泉水比一袋牛奶便宜1.05元，一瓶礦泉水多少元錢？買一瓶礦泉水與兩袋牛奶需要花費(fèi)多少元錢？”“A，B兩個(gè)超市售賣一車蘋果，其中A超市每天售賣23.5箱，B超市每天售賣34.2箱，兩天完成任務(wù)，一共有多少箱蘋果？”.上述三類題目主要考查學(xué)生對(duì)小數(shù)加、減法算理、算法概念的掌握與應(yīng)用.在學(xué)生完成習(xí)題之后，教師可以巧妙、靈活地使用多媒體為學(xué)生詳細(xì)展示習(xí)題答案，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)比答案，審查、檢測(cè)自己的錯(cuò)誤之處.在這一基礎(chǔ)上，教師可以統(tǒng)計(jì)學(xué)生出錯(cuò)較多的題目，進(jìn)行針對(duì)性的講解，逐步幫助學(xué)生攻克小數(shù)加、減法的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，進(jìn)一步提升學(xué)生對(duì)算理與算法的實(shí)踐運(yùn)用能力、遷移運(yùn)用能力.

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，算理與算法教學(xué)是提升學(xué)生運(yùn)算能力及效率的關(guān)鍵舉措，也是數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)和部分，因此，教師需要明確掌握算理與算法之間的關(guān)系，利用有針對(duì)性的教學(xué)舉措和教學(xué)方法，讓兩者可以深度、有效融合，讓學(xué)生能夠逐步從淺層計(jì)算知識(shí)學(xué)習(xí)與探究向深度、深層次算理學(xué)習(xí)過(guò)渡，幫助學(xué)生加深對(duì)抽象算理知識(shí)的理解，使學(xué)生內(nèi)化吸收數(shù)學(xué)算法知識(shí)，從而提升學(xué)生的整體運(yùn)算能力.

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