運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略解初中數(shù)學(xué)平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的探究

【摘要】在初中數(shù)學(xué)幾何圖形教學(xué)實(shí)踐中，平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題相對(duì)復(fù)雜，很多學(xué)生無(wú)法正確、高效地解題.對(duì)此，“動(dòng)靜結(jié)合”策略符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠適應(yīng)新課標(biāo)要求，幫助學(xué)生有效解題.文章基于“動(dòng)靜結(jié)合”策略，圍繞初中數(shù)學(xué)幾何圖形教學(xué)內(nèi)容以平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為例，從運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略的必要性、方式兩個(gè)維度展開(kāi)分析，旨在幫助學(xué)生提升問(wèn)題分析能力與問(wèn)題解決能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；“動(dòng)靜結(jié)合”；平面幾何；動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

引 言

在解題過(guò)程中，“動(dòng)靜結(jié)合”策略指學(xué)生從運(yùn)動(dòng)和靜止兩個(gè)角度去分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，或更換動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)方式將靜止的圖形按照題意轉(zhuǎn)換求解，或?qū)⑦\(yùn)動(dòng)的點(diǎn)、線、面、體固定求解.在平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決中，科學(xué)運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略有利于提升學(xué)生問(wèn)題分析的效率與問(wèn)題解決的能力.所以，對(duì)于平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的教學(xué)實(shí)踐，教師可以利用相關(guān)的典例習(xí)題，通過(guò)多樣化的教學(xué)引導(dǎo)和幫助學(xué)生掌握“動(dòng)靜結(jié)合”策略.

一、運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略的必要性

（一）符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

初中生的認(rèn)知能力處于由感性認(rèn)知上升至理性認(rèn)知的過(guò)渡階段，在初中數(shù)學(xué)幾何圖形教學(xué)實(shí)踐中運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略解決平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，能夠幫助學(xué)生將抽象的已知條件轉(zhuǎn)換為直觀的已知條件，使學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中盡可能多地融入實(shí)際操作，在繪圖、分析、對(duì)比的過(guò)程中獲得相對(duì)清晰的解題思路，從而正確高效地解決平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.所以，相較于概念引入、公式代入等常規(guī)解題策略而言，“動(dòng)靜結(jié)合”策略更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

（二）適應(yīng)新課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）指出，認(rèn)真聽(tīng)講、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.在該理念下，關(guān)于平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題教學(xué)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生解題的方式，致力于學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐以及合作交流的學(xué)習(xí)方式解決平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，從而使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展自身的思維、能力.“動(dòng)靜結(jié)合”策略的運(yùn)用能夠滿足新課程理念下的解題教學(xué)需求，在教師的合理引導(dǎo)下，學(xué)生能夠獨(dú)立思考題目中的動(dòng)點(diǎn)，亦能動(dòng)手操作繪制數(shù)學(xué)圖形，用以還原動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而實(shí)現(xiàn)高效解題.所以，運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略解平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題符合課程改革的要求.

二、運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略的方式

（一）化靜為動(dòng)

在解題教學(xué)實(shí)踐中，“化靜為動(dòng)”主要是指教師組織學(xué)生開(kāi)展與解題相關(guān)的、動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，促使學(xué)生在參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程中獲得解題思路或答案，實(shí)現(xiàn)求解.關(guān)于學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織，諸如擺一擺、畫(huà)一畫(huà)、說(shuō)一說(shuō)等均屬于動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)活動(dòng)的范疇，所以教師可以將動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)活動(dòng)作為平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解題教學(xué)的切入點(diǎn).

1.依據(jù)題意畫(huà)一畫(huà)

“數(shù)形結(jié)合”是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想，除依據(jù)題意擺一擺之外，教師還可以在解題教學(xué)中開(kāi)展畫(huà)一畫(huà)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，增強(qiáng)數(shù)與形之間的聯(lián)系，將典例習(xí)題中所給的固定不變的圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生親自繪制的個(gè)性化圖形，為學(xué)生增設(shè)繪制平面圖形的契機(jī)，使學(xué)生在畫(huà)圖的過(guò)程中充分理解題意.如在“三角形的高、中線與角平分線”一課，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)能夠掌握三角形的高、中線、角平分線的性質(zhì)等，對(duì)于下述典例習(xí)題，教師可以依據(jù)題意指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展畫(huà)一畫(huà)活動(dòng).

例1 在一個(gè)△ABC中，AC的延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)D，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上A向C方向運(yùn)動(dòng).如果將點(diǎn)D隨機(jī)固定在AC延長(zhǎng)線上的某一點(diǎn)，并過(guò)D點(diǎn)作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，使DG與BG交于點(diǎn)G，DG與BC交于點(diǎn)F.那么，若∠G=30°，則∠A的度數(shù)為多少？

解題教學(xué)中，教師可以要求班級(jí)學(xué)生準(zhǔn)備直尺、量角器等繪圖工具，并與班級(jí)學(xué)生交流，根據(jù)教師所說(shuō)的內(nèi)容在草紙上畫(huà)圖，如圖1所示，以考查學(xué)生平面幾何圖形繪制能力.

此環(huán)節(jié)中，教師需依據(jù)題意、兼顧學(xué)生的繪圖效率依次說(shuō)出繪圖步驟，如“先在草紙上畫(huà)出一個(gè)三角形，標(biāo)注ABC”“將AC延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上固定點(diǎn)D”等，并在學(xué)生繪圖的過(guò)程中依據(jù)題意板書(shū)平面幾何圖形，而后鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)自己繪制的平面幾何圖形求出∠A的度數(shù).在上述教學(xué)實(shí)踐中，教師組織開(kāi)展的畫(huà)一畫(huà)活動(dòng)將學(xué)生置于動(dòng)手操作的學(xué)習(xí)情境之中，相較于學(xué)生一邊讀題一邊看圖而言，繪制平面幾何圖形的過(guò)程更有利于學(xué)生熟悉圖形，充分理解題意，所以畫(huà)一畫(huà)活動(dòng)為學(xué)生高效解題奠定了良好的基礎(chǔ).

2.依據(jù)題意說(shuō)一說(shuō)

相對(duì)于師生多頻次交互的課堂教學(xué)而言，解題教學(xué)過(guò)程中的學(xué)生做題環(huán)節(jié)是靜止的.以往的解題教學(xué)中，教師為使學(xué)生全神貫注地完成習(xí)題，并不組織開(kāi)展課堂教學(xué)活動(dòng)，同時(shí)主張最大限度地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)安靜的答題環(huán)境，此種教學(xué)組織方式雖然能為學(xué)生提供良好的答題氛圍，但忽視了學(xué)生答題過(guò)程中的教師引導(dǎo)，教師也無(wú)法及時(shí)了解學(xué)生的解題思路.若運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略開(kāi)展解題教學(xué)，教師則需轉(zhuǎn)變學(xué)生的解題行為，由默讀、默算過(guò)渡為朗讀、交流，鼓勵(lì)班級(jí)學(xué)生依據(jù)題意說(shuō)一說(shuō)解題的思路、解題的困惑，從而使教師在解題教學(xué)中能夠及時(shí)給予學(xué)生指導(dǎo)，提升學(xué)生平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的分析能力.如在“矩形”一課，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)應(yīng)能夠掌握矩形的性質(zhì).為鞏固學(xué)生對(duì)矩形性質(zhì)的掌握，提升學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力，對(duì)于下述典例習(xí)題，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生依據(jù)題意說(shuō)一說(shuō).

例2 如圖2所示，在矩形ABCD中，已知矩形的一條邊AD的長(zhǎng)為24，另一條邊CD的長(zhǎng)為16，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)R為DC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)F為RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上從B向C方向移動(dòng)時(shí)，如果點(diǎn)R不動(dòng)，那么，當(dāng)CR=9時(shí)，求EF的值.

（二）以靜制動(dòng)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最為顯著的特點(diǎn)就是其自身的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景，但此類問(wèn)題也存在著動(dòng)中有靜的規(guī)律，如果學(xué)生能夠把握這一規(guī)律，找準(zhǔn)問(wèn)題中的“靜”，則可以實(shí)現(xiàn)“以靜制動(dòng)”，順利解題.在解題教學(xué)實(shí)踐中，“以靜制動(dòng)”主要是指教師指導(dǎo)學(xué)生將動(dòng)態(tài)的已知條件轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的已知條件，使學(xué)生能夠把握以靜制動(dòng)的解題技巧，從而順利達(dá)成解題目標(biāo).關(guān)于教學(xué)引導(dǎo)的設(shè)計(jì)，教師可以基于支架式教學(xué)理論為學(xué)生搭建多樣化的支架，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的“靜”，所以可將“指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)動(dòng)中有靜”作為平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解題教學(xué)的切入點(diǎn).

1.搭建問(wèn)題支架指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)動(dòng)中有靜

問(wèn)題支架是以問(wèn)題為呈現(xiàn)形式的一種支架，在教學(xué)中教師可以設(shè)置問(wèn)題鏈啟發(fā)學(xué)生思考，促使學(xué)生理解新知，掌握技巧，養(yǎng)成思維.在解題教學(xué)中，待完成的典例習(xí)題屬于一種支架，完成習(xí)題可以幫助學(xué)生鞏固新知，養(yǎng)成某一數(shù)學(xué)思維，但單純依靠學(xué)生自主解題，并不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的動(dòng)中有靜.所以，運(yùn)用“動(dòng)靜結(jié)合”策略進(jìn)行動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解答，教師還需在現(xiàn)有問(wèn)題支架的基礎(chǔ)上再次搭建問(wèn)題支架，以指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的“靜”.例如，在“平行四邊形”單元中，（特殊）平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是較為經(jīng)典的題型，解決此類題的關(guān)鍵在于立足分類討論思想，尋找或假設(shè)動(dòng)中有靜，分類討論“靜”的情況，而后利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)完成解題.那么，對(duì)于下述典例習(xí)題，教師則可以為學(xué)生搭建問(wèn)題支架，指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)中有靜的規(guī)律，從而以靜制動(dòng)地解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

例3 如圖3所示，在一個(gè)矩形ABCD中，AB與BC的長(zhǎng)分別為6cm與10cm.有一點(diǎn)P由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2cm；有一點(diǎn)Q由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒acm.如果某一時(shí)刻，以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形與以點(diǎn)P、C、Q為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等，那么這一時(shí)刻a的值應(yīng)為多少？

2.搭建情境支架指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)動(dòng)中有靜

情境支架是以學(xué)習(xí)情境為呈現(xiàn)形式的一種支架，在教學(xué)中教師可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，輔助學(xué)生高效獲知.對(duì)于平面幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決，教師可以利用信息技術(shù)為學(xué)生呈現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的全部運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并將畫(huà)面隨機(jī)停留在動(dòng)點(diǎn)的某一運(yùn)動(dòng)時(shí)刻，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的“靜”，幫助學(xué)生充分理解題意.對(duì)于下述典例習(xí)題，教師可采取搭建情境支架的方式開(kāi)展解題教學(xué).

例4 在圖4所示的四邊形ABCD中，AD∥BC，且∠A=90°，AB=12cm，AD=36cm，BC=40cm.有一動(dòng)點(diǎn)P，以每秒3cm的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；有一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm.當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)中的某一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)無(wú)法再運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也將隨之停止運(yùn)動(dòng).假設(shè)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，那么當(dāng)t等于9時(shí)，證明PQ∥DC.

對(duì)于上述習(xí)題，在解題教學(xué)中教師可以利用交互式電子白板依次作出動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，而后將諸多運(yùn)動(dòng)軌跡整合制作成一個(gè)動(dòng)態(tài)的動(dòng)點(diǎn)視頻，并在學(xué)生讀題后為學(xué)生播放，由此為學(xué)生創(chuàng)設(shè)形象直觀的學(xué)習(xí)情境.學(xué)生觀看動(dòng)點(diǎn)視頻能夠熟悉兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的全部運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)也能夠明確當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)點(diǎn)P的位置狀態(tài)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q的位置狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的“靜”.而后教師觀察動(dòng)點(diǎn)視頻，于PQ與DC近似于平行狀態(tài)時(shí)暫停視頻，并要求學(xué)生基于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的位置狀態(tài)解題.由題意可知，AP=3t，PD=36-3t，CQ=t，BQ=40-t，當(dāng)t=9時(shí)，PD=36-3t=9，CQ=t=9，∴PD=CQ.∵AD∥BC，即PD∥CQ，∴PQ∥DC.在上述教學(xué)實(shí)踐中，教師創(chuàng)設(shè)的情境支架不僅為學(xué)生呈現(xiàn)了點(diǎn)P與點(diǎn)Q的全部運(yùn)動(dòng)軌跡，而且通過(guò)暫停動(dòng)點(diǎn)視頻的方式為學(xué)生呈現(xiàn)與題目信息相符的平面幾何圖形.相較于板書(shū)的平面幾何圖形，情境支架更具直觀性，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的“靜”.

結(jié) 語(yǔ)

總體來(lái)看，“動(dòng)靜結(jié)合”策略在解題教學(xué)中的運(yùn)用方式與教師對(duì)“動(dòng)靜結(jié)合”內(nèi)涵的理解存在直接聯(lián)系，所以在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解題教學(xué)中，教師可以分析數(shù)學(xué)解題“教”與“學(xué)”的行為，嘗試從多個(gè)角度理解“動(dòng)靜結(jié)合”的內(nèi)涵，從而挖掘更為多樣的、可運(yùn)用于解題教學(xué)實(shí)踐的“動(dòng)靜結(jié)合”策略.

【參考文獻(xiàn)】

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