運用“動靜結合”策略解初中數學平面幾何動點問題的探究

【摘要】在初中數學幾何圖形教學實踐中，平面幾何動點問題相對復雜，很多學生無法正確、高效地解題.對此，“動靜結合”策略符合學生的認知規律，能夠適應新課標要求，幫助學生有效解題.文章基于“動靜結合”策略，圍繞初中數學幾何圖形教學內容以平面幾何動點問題為例，從運用“動靜結合”策略的必要性、方式兩個維度展開分析，旨在幫助學生提升問題分析能力與問題解決能力.

【關鍵詞】初中數學；“動靜結合”；平面幾何；動點問題

引 言

在解題過程中，“動靜結合”策略指學生從運動和靜止兩個角度去分析數學問題，或更換動態的學習方式將靜止的圖形按照題意轉換求解，或將運動的點、線、面、體固定求解.在平面幾何動點問題的解決中，科學運用“動靜結合”策略有利于提升學生問題分析的效率與問題解決的能力.所以，對于平面幾何動點問題的教學實踐，教師可以利用相關的典例習題，通過多樣化的教學引導和幫助學生掌握“動靜結合”策略.

一、運用“動靜結合”策略的必要性

（一）符合學生認知規律

初中生的認知能力處于由感性認知上升至理性認知的過渡階段，在初中數學幾何圖形教學實踐中運用“動靜結合”策略解決平面幾何動點問題，能夠幫助學生將抽象的已知條件轉換為直觀的已知條件，使學生在數學問題解決的過程中盡可能多地融入實際操作，在繪圖、分析、對比的過程中獲得相對清晰的解題思路，從而正確高效地解決平面幾何動點問題.所以，相較于概念引入、公式代入等常規解題策略而言，“動靜結合”策略更符合學生的認知規律.

（二）適應新課標要求

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（簡稱“新課標”）指出，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式.在該理念下，關于平面幾何動點問題的解題教學，教師應關注學生解題的方式，致力于學生通過獨立思考、動手實踐以及合作交流的學習方式解決平面幾何動點問題，從而使學生在解決問題的過程中發展自身的思維、能力.“動靜結合”策略的運用能夠滿足新課程理念下的解題教學需求，在教師的合理引導下，學生能夠獨立思考題目中的動點，亦能動手操作繪制數學圖形，用以還原動點的運動軌跡，從而實現高效解題.所以，運用“動靜結合”策略解平面幾何動點問題符合課程改革的要求.

二、運用“動靜結合”策略的方式

（一）化靜為動

在解題教學實踐中，“化靜為動”主要是指教師組織學生開展與解題相關的、動態的學習活動，促使學生在參與學習活動的過程中獲得解題思路或答案，實現求解.關于學習活動的組織，諸如擺一擺、畫一畫、說一說等均屬于動態學習活動的范疇，所以教師可以將動態的學習活動作為平面幾何動點問題解題教學的切入點.

1.依據題意畫一畫

“數形結合”是初中階段學生學習數學知識、解決數學問題常用的思想，除依據題意擺一擺之外，教師還可以在解題教學中開展畫一畫的學習活動，增強數與形之間的聯系，將典例習題中所給的固定不變的圖形轉變為學生親自繪制的個性化圖形，為學生增設繪制平面圖形的契機，使學生在畫圖的過程中充分理解題意.如在“三角形的高、中線與角平分線”一課，學生通過學習能夠掌握三角形的高、中線、角平分線的性質等，對于下述典例習題，教師可以依據題意指導學生開展畫一畫活動.

例1 在一個△ABC中，AC的延長線上有一動點D，點D在延長線上A向C方向運動.如果將點D隨機固定在AC延長線上的某一點，并過D點作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，使DG與BG交于點G，DG與BC交于點F.那么，若∠G=30°，則∠A的度數為多少？

解題教學中，教師可以要求班級學生準備直尺、量角器等繪圖工具，并與班級學生交流，根據教師所說的內容在草紙上畫圖，如圖1所示，以考查學生平面幾何圖形繪制能力.

此環節中，教師需依據題意、兼顧學生的繪圖效率依次說出繪圖步驟，如“先在草紙上畫出一個三角形，標注ABC”“將AC延長，在延長線上固定點D”等，并在學生繪圖的過程中依據題意板書平面幾何圖形，而后鼓勵學生根據自己繪制的平面幾何圖形求出∠A的度數.在上述教學實踐中，教師組織開展的畫一畫活動將學生置于動手操作的學習情境之中，相較于學生一邊讀題一邊看圖而言，繪制平面幾何圖形的過程更有利于學生熟悉圖形，充分理解題意，所以畫一畫活動為學生高效解題奠定了良好的基礎.

2.依據題意說一說

相對于師生多頻次交互的課堂教學而言，解題教學過程中的學生做題環節是靜止的.以往的解題教學中，教師為使學生全神貫注地完成習題，并不組織開展課堂教學活動，同時主張最大限度地為學生創設一個安靜的答題環境，此種教學組織方式雖然能為學生提供良好的答題氛圍，但忽視了學生答題過程中的教師引導，教師也無法及時了解學生的解題思路.若運用“動靜結合”策略開展解題教學，教師則需轉變學生的解題行為，由默讀、默算過渡為朗讀、交流，鼓勵班級學生依據題意說一說解題的思路、解題的困惑，從而使教師在解題教學中能夠及時給予學生指導，提升學生平面幾何動點問題的分析能力.如在“矩形”一課，學生通過學習應能夠掌握矩形的性質.為鞏固學生對矩形性質的掌握，提升學生的知識運用能力，對于下述典例習題，教師可以鼓勵學生依據題意說一說.

例2 如圖2所示，在矩形ABCD中，已知矩形的一條邊AD的長為24，另一條邊CD的長為16，點P為BC邊上一點，點R為DC邊上一點，點E為AP的中點，點F為RP的中點，當點P在BC邊上從B向C方向移動時，如果點R不動，那么，當CR=9時，求EF的值.

（二）以靜制動

動點問題最為顯著的特點就是其自身的運動場景，但此類問題也存在著動中有靜的規律，如果學生能夠把握這一規律，找準問題中的“靜”，則可以實現“以靜制動”，順利解題.在解題教學實踐中，“以靜制動”主要是指教師指導學生將動態的已知條件轉化為靜態的已知條件，使學生能夠把握以靜制動的解題技巧，從而順利達成解題目標.關于教學引導的設計，教師可以基于支架式教學理論為學生搭建多樣化的支架，幫助學生發現動點問題中的“靜”，所以可將“指導發現動中有靜”作為平面幾何動點問題解題教學的切入點.

1.搭建問題支架指導發現動中有靜

問題支架是以問題為呈現形式的一種支架，在教學中教師可以設置問題鏈啟發學生思考，促使學生理解新知，掌握技巧，養成思維.在解題教學中，待完成的典例習題屬于一種支架，完成習題可以幫助學生鞏固新知，養成某一數學思維，但單純依靠學生自主解題，并不利于學生發現動點問題中的動中有靜.所以，運用“動靜結合”策略進行動點問題的解答，教師還需在現有問題支架的基礎上再次搭建問題支架，以指導學生發現動點問題中的“靜”.例如，在“平行四邊形”單元中，（特殊）平行四邊形的動點問題是較為經典的題型，解決此類題的關鍵在于立足分類討論思想，尋找或假設動中有靜，分類討論“靜”的情況，而后利用所學的數學知識完成解題.那么，對于下述典例習題，教師則可以為學生搭建問題支架，指導學生發現動中有靜的規律，從而以靜制動地解決動點問題.

例3 如圖3所示，在一個矩形ABCD中，AB與BC的長分別為6cm與10cm.有一點P由點B向點C運動，運動的速度為每秒2cm；有一點Q由點C向點D運動，運動的速度為每秒acm.如果某一時刻，以點A、B、P為頂點所構成的三角形與以點P、C、Q為頂點所構成的三角形全等，那么這一時刻a的值應為多少？

2.搭建情境支架指導發現動中有靜

情境支架是以學習情境為呈現形式的一種支架，在教學中教師可以為學生創設學習情境，輔助學生高效獲知.對于平面幾何動點問題的解決，教師可以利用信息技術為學生呈現動點的全部運動過程，并將畫面隨機停留在動點的某一運動時刻，使學生發現動點問題中的“靜”，幫助學生充分理解題意.對于下述典例習題，教師可采取搭建情境支架的方式開展解題教學.

例4 在圖4所示的四邊形ABCD中，AD∥BC，且∠A=90°，AB=12cm，AD=36cm，BC=40cm.有一動點P，以每秒3cm的速度由點A向點D運動；有一動點Q從點C出發向點B運動，速度為每秒1cm.當兩個動點中的某一點到達終點無法再運動時另一個動點也將隨之停止運動.假設兩個動點的運動時間為t，那么當t等于9時，證明PQ∥DC.

對于上述習題，在解題教學中教師可以利用交互式電子白板依次作出動點P、Q的運動軌跡，而后將諸多運動軌跡整合制作成一個動態的動點視頻，并在學生讀題后為學生播放，由此為學生創設形象直觀的學習情境.學生觀看動點視頻能夠熟悉兩個動點的全部運動軌跡，同時也能夠明確當點Q運動至終點時點P的位置狀態，當點P運動至終點時點Q的位置狀態，發現動點問題中的“靜”.而后教師觀察動點視頻，于PQ與DC近似于平行狀態時暫停視頻，并要求學生基于兩個動點的位置狀態解題.由題意可知，AP=3t，PD=36-3t，CQ=t，BQ=40-t，當t=9時，PD=36-3t=9，CQ=t=9，∴PD=CQ.∵AD∥BC，即PD∥CQ，∴PQ∥DC.在上述教學實踐中，教師創設的情境支架不僅為學生呈現了點P與點Q的全部運動軌跡，而且通過暫停動點視頻的方式為學生呈現與題目信息相符的平面幾何圖形.相較于板書的平面幾何圖形，情境支架更具直觀性，有利于學生發現動點問題中的“靜”.

結 語

總體來看，“動靜結合”策略在解題教學中的運用方式與教師對“動靜結合”內涵的理解存在直接聯系，所以在動點問題解題教學中，教師可以分析數學解題“教”與“學”的行為，嘗試從多個角度理解“動靜結合”的內涵，從而挖掘更為多樣的、可運用于解題教學實踐的“動靜結合”策略.

【參考文獻】

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