基于數(shù)形結(jié)合思想突破解題思維

摘 要：數(shù)形結(jié)合明確了數(shù)學(xué)語言和圖形的關(guān)系，兩者之間相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一個(gè)高效的解題工具，通過數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，可促進(jìn)抽象問題具體化、直觀化，以便學(xué)生順利找到解題的“突破口”.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；解題能力

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)學(xué)科研究的兩大領(lǐng)域，且兩者之間相輔相成、互為一體.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在研究中明確指出：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)形結(jié)合思想具有十分重要的價(jià)值，將其應(yīng)用到教學(xué)中可以幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)技巧，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的距離，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單分析和梳理，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的高質(zhì)量學(xué)習(xí).鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，解題教學(xué)歷來是教學(xué)的重難點(diǎn)，尤其是進(jìn)入初中階段學(xué)習(xí)中，題目難度系數(shù)逐漸增加，對(duì)學(xué)生的抽象能力、邏輯思維能力要求相對(duì)比較高，致使學(xué)生在解題時(shí)常常出現(xiàn)手足無措的現(xiàn)象，迷失在解題中.本文結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題和教學(xué)中的具體應(yīng)用，展開了詳細(xì)的探究.

1 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的作用

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的兩大內(nèi)容.從本質(zhì)上來說，數(shù)和形代表著同一事物兩個(gè)方面的屬性，兩方面密不可分，且具備關(guān)聯(lián)性.就數(shù)學(xué)學(xué)科來說，數(shù)形結(jié)合思想就是將數(shù)學(xué)知識(shí)中的文字、數(shù)字進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為一種直觀的圖形，旨在促進(jìn)數(shù)學(xué)問題具體化、簡(jiǎn)單化，以便學(xué)生在靈活轉(zhuǎn)化中觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，最終完成數(shù)學(xué)知識(shí)的深層理解，并逐漸形成一定的數(shù)學(xué)思維.

數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種非常重要的解題工具，將其應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)解題中彰顯出十分重要的價(jià)值.首先，有助于降低學(xué)生的解題難度.針對(duì)難度系數(shù)比較大的問題，由于題目中數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，隱含條件比較多，學(xué)生常常出現(xiàn)毫無頭緒、不知道如何下手的現(xiàn)象.鑒于此，通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，可將題目中的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并在圖形的輔助下，逐漸形成明確的解題思路.其次，有助于喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題難度大是制約學(xué)生解題興趣的重要因素.鑒于此，通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，可給學(xué)生帶來不一樣的體驗(yàn)和感受，點(diǎn)燃其探究欲望，使得學(xué)生以更好的狀態(tài)參與到數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中.最后，有助于促使數(shù)學(xué)解題思維的發(fā)展.進(jìn)入初中之后，數(shù)學(xué)知識(shí)難度系數(shù)逐漸增加，數(shù)學(xué)問題也變得日益復(fù)雜，致使學(xué)生在解題時(shí)頻頻出現(xiàn)力不從心的現(xiàn)象.鑒于此，通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，可促使學(xué)生在數(shù)量和圖形的相互補(bǔ)充和轉(zhuǎn)化中，促進(jìn)數(shù)學(xué)解題思維的發(fā)展，為其正確解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).［1］

2 數(shù)形結(jié)合思想在初中解題中的具體應(yīng)用

2.1 數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的應(yīng)用

代數(shù)是初中數(shù)學(xué)中最為重要的題目類型，也是常考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在填空題、選擇題中.面對(duì)這一類型的題目，如果按照常規(guī)思路進(jìn)行解答，不僅會(huì)浪費(fèi)大量的時(shí)間，甚至還無法保障解題的正確率.融入數(shù)形結(jié)合思想，可有效簡(jiǎn)化學(xué)生的解題過程，提升其解題準(zhǔn)確率.

例1 已知不等式組x＞-1，

x＜1，

x＜k.

（1）當(dāng)k=12時(shí)，不等式組的解集是""" .

當(dāng)k=-2時(shí)，不等式組的解集是nbsp;"" .

當(dāng)k=3時(shí)，不等式組的解集是""" .

（2）根據(jù)（1）可知，不等式組解集伴隨著實(shí)數(shù)k值變化而發(fā)生改變，當(dāng)k為任意實(shí)數(shù)時(shí)，寫出不等式組的解集.

分析：這是一道常見的一元一次不等式組問題，尤其是題目中含有待定系數(shù)不等式組，在解答這一類型問題時(shí)，可借助數(shù)軸（如圖1）迅速找到問題的答案.

（1）當(dāng)k=12時(shí)，解集為-1＜x＜12；當(dāng)k=-2時(shí)，不等式組無解；當(dāng)k=3時(shí)，其解集為-1＜x＜1.

（2）需要結(jié)合問題（1）中不等式組的解集展開分類討論.

當(dāng)k≥1時(shí)，x＞-1、x＜1，x＜k存在公共部分，即不等式組解集為-1＜x＜1.

當(dāng)k≤-1時(shí)x＞-1、x＜1，x＜k不存在公共部分，即不等式組無解.

當(dāng)-1＜k＜1時(shí)，x＞-1、x＜1，x＜k存在公共部分，且公共部分集中在-1到k之間，因此不等式組解集為-1＜x＜k.

例2 當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，求二次函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值.

分析：這是一道典型的二次函數(shù)最值問題.多數(shù)學(xué)生在解答這一問題時(shí)，受到慣性思維的影響，常常會(huì)選擇代數(shù)求解法，直接將x=2，x=-2代入函數(shù)中求解，最終得出最大值為5，最小值為-3.但這一答案顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)閷W(xué)生忽略了二次函數(shù)對(duì)稱軸直線x=1恰恰位于自變量取值范圍之內(nèi).在解答這一類型問題時(shí)，即可融入數(shù)形結(jié)合思想，先將該函數(shù)圖象畫出來（如圖2），之后即可根據(jù)圖象得出正確的答案.

因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x-3的對(duì)稱軸為直線x=-b2a=1，

所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=x2-2x-3存在最小值，即ymin=-4.

再將x=2，x=-2分別代入函數(shù)，求得y=-3，y=5，

所以函數(shù)的最大值為5，最小值為-4.

2.2 利用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問題

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)視域下，教師應(yīng)更加關(guān)注學(xué)生的實(shí)際問題解決能力.與常規(guī)的題目相比，實(shí)際問題難度系數(shù)更高，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、思維能力、知識(shí)遷移和應(yīng)用都提出了更高的要求.部分學(xué)生在解答數(shù)學(xué)實(shí)際問題時(shí)，常常面臨諸多障礙，此時(shí)即可融入數(shù)形結(jié)合思想，高效完成題目的解答.

例3 湖州素有“魚米之鄉(xiāng)”之稱.某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了充分發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢(shì)，一次性收購了20 000 kg的淡水魚，計(jì)劃養(yǎng)一段時(shí)間之后再出售.已知每天放養(yǎng)的費(fèi)用相同，放養(yǎng)10天的總成本為30.4萬元，放養(yǎng)20天的總成本為30.8萬元（總成本=放養(yǎng)總費(fèi)用＋收購成本）.

（1）假設(shè)每天放養(yǎng)的費(fèi)用為a萬元，收購的成本為b萬元，求a、b的值.

（2）假設(shè)這批淡水魚放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為m kg，銷售單價(jià)為y元/kg，已知m、t的函數(shù)關(guān)系為m=20 000（0≤t≤50），

100t＋15 000（50＜t≤100），y和t的函數(shù)關(guān)系式如圖3所示.

①分別求出當(dāng)0≤t≤50、50＜t≤100時(shí)，y和t的函數(shù)關(guān)系式.

②假設(shè)將這批淡水魚放養(yǎng)t天后一次性出售，所獲得的利潤(rùn)為W，當(dāng)t為何值時(shí)，利潤(rùn)W有最大值（利潤(rùn)=銷售總額-成本）.

分析：這是一道常見的一次函數(shù)應(yīng)用題，極具實(shí)踐性.學(xué)生在解答這一問題時(shí)，不僅要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，還應(yīng)具備知識(shí)遷移和應(yīng)用能力，能夠從題目中抽象出一次函數(shù)模型，進(jìn)而運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解答.

（1）在求解a、b值時(shí)，只需要結(jié)合題目?jī)?nèi)容，構(gòu)建一個(gè)二元一次方程組，即10a＋b=30.4，

20a＋b=30.8，解方程組得a=0.04，

b=30.

（2）在解答這一問題時(shí)，需要根據(jù)題目意思、函數(shù)圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過圖象分析，并借助待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)利潤(rùn)=銷售總額-成本，求出利潤(rùn)W的最大值.

①當(dāng)0≤t≤50時(shí)，假設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=k1t＋n1，將函數(shù)圖象上（0，15）、（50，25）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，組建方程組15=n1，

25=50k1＋n1，解方程組得k1=15，

n1=15，因此函數(shù)關(guān)系式為y=15t＋15.

當(dāng)50＜t≤100時(shí)，假設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=k2t＋n2，將函數(shù)圖象上點(diǎn)（50，25）、（100，20）代入函數(shù)解析式中，組建方程組25=50k2＋n2，

20=100k2＋n2，解方程組得k2=-110，

n2=30，因此函數(shù)關(guān)系式為y=-110t＋30.

②根據(jù)題意得知，當(dāng)0≤t≤50時(shí)，W=3 600 t，當(dāng)t=50時(shí)，Wmax=3 600×50=180 000（元）.

當(dāng)50＜t≤100時(shí)，W=-10（t-55）2＋180 250，根據(jù)二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，即可得出當(dāng)t=55時(shí)，Wmax=180 250（元）.

例4 在黃色口袋中裝有三個(gè)球，分別標(biāo)著數(shù)字0、2、5；在黑色口袋中裝有三個(gè)球，分別標(biāo)著數(shù)字0、1、4.這六個(gè)球除了標(biāo)注的數(shù)字不同，其他都相同.從兩個(gè)箱子中分別摸出一個(gè)球，計(jì)算出摸出兩個(gè)球數(shù)字之和為6的概率.

分析：這是一道常見的概率應(yīng)用題，難度系數(shù)比較低，但由于概率問題本身就極具邏輯性，致使部分學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)了各種各樣的問題.鑒于此，可采用數(shù)形結(jié)合的思想，運(yùn)用樹形圖（如圖4）的方式將其呈現(xiàn)出來，進(jìn)而快速得到答案.本題所求概率P=29.

2.3 利用數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題

幾何是數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確了“圖形與幾何”的教學(xué)重要性.就初中幾何問題來說，涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多，對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、思維能力要求比較高，歷來是學(xué)生最難啃的骨頭.鑒于此，可融入數(shù)形結(jié)合思想，高效完成題目解答.

例5 如圖5所示，一艘漁船由西向東航行，在點(diǎn)A處觀測(cè)到海島C位于北偏東60°的方向.漁船前進(jìn)20海里之后到達(dá)點(diǎn)B，此時(shí)海島C位于北偏東30°的方向，則海島C到航線AB的距離CD=""" 海里.

分析：本題目主要考查了直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).在本題中，學(xué)生必須基于數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)題目和圖形進(jìn)行全方位分析，從中抽象出直角三角形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，最終完成題目的解答.

根據(jù)題意得出∠CAD=30°，∠CBD=60°.

因?yàn)椤螩BD=∠CAD＋∠ACB，所以∠CAD=∠ACB=30°.

根據(jù)等角對(duì)等邊性質(zhì)，得出AB=BC=20海里.

在Rt△CBD中，∠CBD=60°，sin∠DBC=CDBC=32，

因此CD=20×32=103海里.

3 基于數(shù)形結(jié)合思想解題教學(xué)啟示

鑒于數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價(jià)值，教師應(yīng)該從思想上給予足夠的重視，并將其融入日常教學(xué)中.首先，應(yīng)明確不同年級(jí)不同要求.數(shù)形結(jié)合作為一種常見的數(shù)學(xué)思想，在不同的年級(jí)存在不同的要求.教師在開展教學(xué)時(shí)，應(yīng)立足初中生的年齡特點(diǎn)、認(rèn)知水平，針對(duì)不同年級(jí)學(xué)生提出不同的數(shù)形結(jié)合要求.其次，加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念中強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵，一旦數(shù)學(xué)概念不清，學(xué)生在學(xué)習(xí)中就無法了解哪些是數(shù)，哪些是形，無法將數(shù)和形聯(lián)系起來，嚴(yán)重制約了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)效果.教師在開展課堂教學(xué)時(shí)，應(yīng)全面加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)概念探究中，逐漸形成一定的數(shù)形結(jié)合意識(shí).再次，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)形聯(lián)系.鑒于數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系，教師在日常教學(xué)時(shí)，應(yīng)立足這一點(diǎn)，堅(jiān)持“以生為本”的原則，引導(dǎo)學(xué)生在思考和探究中，體會(huì)數(shù)和形兩者的內(nèi)在聯(lián)系.最后，加強(qiáng)學(xué)生作圖訓(xùn)練.在數(shù)形結(jié)合思想下，教師在日常教學(xué)時(shí)，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生的作圖訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力，使得學(xué)生在規(guī)范作圖中逐漸形成強(qiáng)烈的數(shù)形結(jié)合意識(shí).［2］

4 結(jié)語

數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種數(shù)學(xué)解題工具，直接反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).為了強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，唯有徹底摒除傳統(tǒng)的解題教學(xué)模式，將其靈活融入代數(shù)問題、實(shí)際問題、幾何問題中，使得學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想的輔助下，迅速找到解題的“突破口”，形成明確的解題思路.

參考文獻(xiàn)

［1］林明霞.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2023（5）：23-25.

［2］張嘉銘.數(shù)形結(jié)合下初中數(shù)學(xué)典型題解題策略探究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（25）：158-160.