基于邏輯推理素養(yǎng)養(yǎng)成的教學(xué)

摘 要：邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方法，它保證了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會有邏輯地思考問題，使用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ń鉀Q數(shù)學(xué)和生產(chǎn)、生活中的問題.數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)學(xué)生能力、提升素養(yǎng)的重要場所，教學(xué)目標(biāo)的確定要充分考慮核心素養(yǎng)在教學(xué)中的達成，每個章節(jié)的內(nèi)容都盡可能對學(xué)生的核心素養(yǎng)起到提升的作用.本文以“誘導(dǎo)公式（一）”的教學(xué)為例，闡述基于邏輯推理素養(yǎng)養(yǎng)成的教學(xué)過程，旨在為教師教學(xué)提供參考．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；誘導(dǎo)公式；邏輯推理

在“誘導(dǎo)公式（一）”的教學(xué)過程中，教師根據(jù)該內(nèi)容特點，設(shè)定恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境與數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生在探究公式的過程中，建立良好的知識體系，提升數(shù)學(xué)運算與邏輯推理能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 問題提出

從銳角的三角函數(shù)出發(fā)，希望得到實數(shù)范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)，依據(jù)角的終邊與單位圓交點坐標(biāo)之間的關(guān)系，得到相關(guān)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，進而得到任意角都可以轉(zhuǎn)化為0～2π，再通過對稱性將Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為第Ⅰ象限內(nèi)的銳角或0度角的三角函數(shù)值，達到化繁為簡的同時，也掌握了三角函數(shù)之間的關(guān)系，從而熟練掌握誘導(dǎo)公式．

2 課程內(nèi)容與目標(biāo)解析

2.1 本節(jié)課的內(nèi)容

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，人教版教材中把它安排在對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)之后.三角函數(shù)具有很多獨特的性質(zhì)，是一類最典型的周期函數(shù)，在現(xiàn)實生活中應(yīng)用性也非常廣泛.

本節(jié)課的主要內(nèi)容包括：借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，能畫出這些三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大（小）值；借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式.通過本節(jié)課得出的誘導(dǎo)公式，可以將實數(shù)范圍內(nèi)的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為［0，2π］內(nèi)的角的三角函數(shù)值，為后續(xù)學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)做鋪墊．

2.2 本節(jié)課的素養(yǎng)目標(biāo)

本節(jié)課是借助幾何直觀與三角函數(shù)的定義，使用演繹推理的方法推導(dǎo)公式.在師生共同推導(dǎo)公式的過程中，一方面讓學(xué)生獨立地推導(dǎo)出更多、更有趣的公式；另一方面要讓學(xué)生理解“為什么要推導(dǎo)誘導(dǎo)公式”“從銳角的三角函數(shù)值出發(fā)，還能得到哪些角的三角函數(shù)值”.這是一個從簡到繁的過程，但是公式的運用是從一般角到特殊的銳角，是一個從繁到簡的過程.

本節(jié)課在提升學(xué)生演繹推理素養(yǎng)的同時，也培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)問題的能力.^［1］教師需培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表達能力，讓學(xué)生在清晰地表述角度、終邊、坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)上，完成本節(jié)課公式的總結(jié)及推導(dǎo)過程.^［2］本節(jié)課的邏輯推理素養(yǎng)分為以下三個水平.

水平一：學(xué)生基于以往經(jīng)驗，可以求出非特殊的銳角π5的三角函數(shù)值，體會直角三角形的邊角關(guān)系.

水平二：類比銳角三角函數(shù)，探究銳角范圍之外的角的三角函數(shù)，將任意范圍角的三角函數(shù)通過公式，將其轉(zhuǎn)化為0，π2內(nèi)的角的三角函數(shù).

水平三：能夠理解構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的公理化思想，能夠理解不同角度之間三角函數(shù)之間的邏輯關(guān)系，初步建立網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)．

3 教學(xué)過程

3.1 創(chuàng)設(shè)情境引入新課

師：初中我們學(xué)過很多角的知識，其中就包括一些特殊角，那特殊角有哪些？

生：30°、45°、60°、90°、135°、180°.

師：這些角現(xiàn)在我們可以用弧度制表示為π6、π4、π3……初中我們研究過這些特殊角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在我們來思考一下如何估算非特殊角π5的三角函數(shù)值？

【設(shè)計意圖】回顧初中知識，拉近新知識與以往知識的距離，幫助學(xué)生投入新課的學(xué)習(xí)中，使用三角函數(shù)的新定義來解決銳角三角函數(shù)的估值問題.

例題 已知α=π5，你能否根據(jù)三角函數(shù)的定義，估算sinα的值.

在平面直角坐標(biāo)系中，通過量角器繪制出角π5，它的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)的值即為sinπ5，也可以求出cosπ5，tanπ5的值.

【設(shè)計意圖】旨在復(fù)習(xí)回顧三角函數(shù)的定義，并用三角函數(shù)的定義來解決問題.由三角函數(shù)的定義，可將“求角的三角函數(shù)值”問題轉(zhuǎn)化為“平面直角坐標(biāo)系中，單位圓與角的終邊交點坐標(biāo)”問題.要研究兩個“相關(guān)角”的三角函數(shù)值的關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為研究角的終邊與單位圓交點坐標(biāo)問題，進而轉(zhuǎn)化為圖形問題．

師：角的范圍從［0，2π］拓展到了全體實數(shù)，根據(jù)銳角π5的三角函數(shù)值，你還能得到哪些角的三角函數(shù)值？

生：π5+2π，π5+4π，π5-2π……

師：為什么你能得到這些角的三角函數(shù)值？

生：因為這些角和角π5的終邊相同，與單位圓交點坐標(biāo)相同.終邊相同的角的三角函數(shù)值是相同的.

師：因此，我們可以得到sinπ5+2kπ=sinπ5=y.那當(dāng)π5為任意角α?xí)r，這個公式還成立嗎？余弦值和正切值也有這樣的結(jié)論嗎？

在平面研究一個角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求角的終邊與單位圓的交點P，因此把角α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為研究點P的坐標(biāo).經(jīng)過師生共同探究得到下面的誘導(dǎo)公式（一）.

sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα，其中k∈Z．

3.2 引領(lǐng)探究

師：終邊相同的角的三角函數(shù)值相同，那些終邊不相同的角，如α+π和α的三角函數(shù)值有關(guān)系嗎？

生：α+π的終邊與α的終邊互為反向延長線，α+π的終邊與單位圓的交點P1，我們記P1的坐標(biāo)為（-x，-y），那么sin（α+π）=-yr=-y=-sinα，cos（α+π）=-xr=-x=-cosα，tan（α+π）=-y-x=yx=tan α.

師：這組公式有什么作用？

生：可以算任意角加上2kπ或加π之后的三角函數(shù)值，通過該公式可以將第三象限角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為第一象限角的三角函數(shù)值.

師：可以達到化簡角的目的，化簡成銳角或我們熟悉的角，再研究起來比較方便．

3.3 類比探究

師：角α轉(zhuǎn)化到α+π，它們的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.我們以前還學(xué)過什么對稱形式？

生：關(guān)于直線對稱.

師：非常好，現(xiàn)在動筆在學(xué)案上畫角α的終邊關(guān)于y軸、關(guān)于x軸對稱后得到角的終邊，以及終邊所對應(yīng)的角的三角函數(shù)值與角α有什么關(guān)系？

教師請兩位學(xué)生在黑板上作圖、標(biāo)注，并巡視其他學(xué)生作圖情況.

師：原來的α終邊關(guān)于x軸對稱后的角可以記為β=-α，仿照第一個圖象，大家推導(dǎo)一下使用α來表示-α的三角函數(shù)值.

請一位學(xué)生在黑板上書寫推導(dǎo)過程，教師巡視.

師：將-α的三角函數(shù)值推導(dǎo)出來之后，大家觀察一下，它與α的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

生：sin（-α）=sinβ=-y=-sinα，cos（-α）=cosβ=x=cosα，tan（-α）=-yx=-yx=-tanα.

師：同理，我們來看α的終邊關(guān)于y軸對稱會得到哪個角？它的三角函數(shù)如何表示？

生：得到射線可以作角π-α的終邊，終邊與單位圓的交點P2與P（x，y）關(guān)于y軸對稱，所以P2的坐標(biāo)為（-x，y），由三角函數(shù)的定義可得以下公式.

sin（π-α）=y=sinα，cos（π-α）=-x=-cosα，tan（π-α）=y-x=-yx=-tanα.

3.4 總結(jié)升華

師：這四組公式中，三角函數(shù)名沒變，角的數(shù)值發(fā)生了改變.回頭再看剛開始的問題，為什么把β化成α+2kπ這樣的形式呢？有什么作用嗎？

生：我們想化成和它終邊相同的角，可以把一個復(fù)雜的角115π化為銳角15π，把復(fù)雜的角化為簡單角.通過“+2kπ”可以將任意一個β轉(zhuǎn)化到一個［0，2π）范圍內(nèi)的角.

師：這位同學(xué)說得非常好，那第二組公式有什么作用？

生：可以將第三象限角的三角函數(shù)化為第一象限角的三角函數(shù).

師：第三組、第四組公式有什么作用？

生：可以將第四象限角化為第一象限角，將第二象限角化為第一象限角.

師生誘導(dǎo)公式小結(jié)：

通過誘導(dǎo)公式，我們可以將實數(shù)范圍內(nèi)任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角或0度角的三角函數(shù)，使三角函數(shù)求值問題的解決更簡單、更直觀．

3.5 課堂例題

例1 求下列三角函數(shù)值.

（1）sin-π3；（2）cos-7π6；（3）tan62π3.

例2 化簡：sin（α-2π）tan（π+α）cos（-α）sin（-α+π）．

通過例題的練習(xí)，幫助學(xué)生應(yīng)用、熟悉、掌握誘導(dǎo)公式的形式和使用．

3.6 課堂小結(jié)

通過上面四組誘導(dǎo)公式的轉(zhuǎn)換，我們可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)銳角或0度角的三角函數(shù)，達到了化簡的目的，這也是我們解決很多數(shù)學(xué)問題的一個重要思想方法.在公式推導(dǎo)的過程中，要重視三角函數(shù)的定義以及對稱圖形的應(yīng)用．

4 教學(xué)反思

本節(jié)課是人教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》中“誘導(dǎo)公式”的第一節(jié)課，重點是研究終邊具有對稱性的兩個角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，同時總結(jié)出研究思路，體會角度變化的過程中三角函數(shù)值的周期性，在落實誘導(dǎo)公式前四組公式教學(xué)的同時，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).^［3］筆者認為基于邏輯推理素養(yǎng)養(yǎng)成的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計應(yīng)該關(guān)注以下兩個關(guān)鍵行為．

4.1 重視設(shè)計問題情境引發(fā)學(xué)生思考

課堂要以學(xué)生知識與生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，遵循他們認知特點.學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義，通過作圖、測量來估算銳角π5的正弦值、余弦值和正切值.教師要調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，將問題進一步延伸，即根據(jù)銳角π5的三角函數(shù)值能得到哪些更大范圍的角的三角函數(shù)值.特殊情況研究清楚之后，將sinπ5+2kπ=sinπ5推廣到任意角，得到sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，

tan（α+2kπ）=tanα，其中k∈Z.

這正是邏輯推理中的由特殊到一般的情況，屬于歸納、類比.通過該公式可以將度數(shù)較大的角115π化為較小的銳角15π來研究，化繁為簡．

4.2 重視核心問題的提出與解決

課堂教學(xué)要循序漸進，要為學(xué)生探究活動“搭好臺階”.教師提出的問題就是思維的臺階.^［4］教學(xué)中，學(xué)生的思維方向是多樣的、發(fā)散的，而且個別學(xué)生的思維可能沒有好的方向，也并不知道該如何將一個實數(shù)范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)進行化簡，所以教師要在課堂中，通過問題的形式幫助學(xué)生指引一個方向.核心問題的設(shè)計要注意以學(xué)生已有認知為基礎(chǔ)，不能脫離學(xué)生學(xué)情；核心問題的提出要有梯度、有層次，循序漸進到有挑戰(zhàn)，努力讓學(xué)生參與問題的提出或解決．^［5］

參考文獻

［1］章建躍.數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（22）：11-16．

［2］章建躍.數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展（續(xù)）［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（25）：10-14．

［3］李昌官.邏輯推理素養(yǎng)及其培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（1）：10-13+18．

［4］張淑梅，何雅涵，保繼光.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的統(tǒng)計分析［J］.課程·教材·教法，2017（10）：50-55．

［5］張曉東，王銘陽.新高考試題中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)立意分析及啟示——以2020-2023年教育部考試院命制的8套數(shù)學(xué)試題為例［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2023（6）：52-59．