層層遞進設計問題 學會思考學會學習

摘要：教學過程中教師的誘導是為了幫助學生優化思考過程，促進學生深度學習.但在實際教學中，教師習慣于按照自己的解題經驗和思考習慣將毫無破綻的思路灌輸給學生，而沒有教給學生真正有用的分析問題和解決問題的方法，更沒有有效地將學生的學習引向更深層次.文章結合具體的例子通過層層設計問題，誘導學生深入思考，積累數學學習經驗，以達到逐步學會學習的目的.

關鍵詞：問題設計；思前想后；迂回變向；追根溯源；破除定勢；學會學習

《義務教育課程方案（2022年版）》明確提出：引導學生樂學善學，勤于思考，保持好奇心與求知欲，形成良好的學習習慣，初步掌握適應現代化社會所需要的知識與技能，具有學會學習的能力[1].

學會思考、學會學習，是提升學生學習能力和核心素養的關鍵.

課堂上教師的引導作用主要體現在在思維關鍵處層層遞進設計誘導問題，引導學生主動思考，促進深度學習.誘導的問題凝聚著教師對教材、知識、問題的深層次思考、挖掘，以及方法的提煉總結.但在課堂的實際誘導中，教師習慣主觀地把自己的解題經驗和思考習慣灌輸給學生，沒有教給學生真正有用的分析問題和解決問題的方法，也沒有將學生的學習引向更深層次.結果是，學生遇到稍有變化的問題仍是一籌莫展，毫無頭緒.

在課堂教學中如何設計問題，才能不停留在簡單的解題而是幫助學生學會思考、學會學習呢？

1 “思前想后”設計問題

數學多問問題的設置往往由易到難，由特殊到一般，前面的問題為后面的問題提供方法或結論上的啟示.但學生在實際解決問題的過程中往往不善于前后聯系，割裂每一問之間的聯系或提示，即使解決了問題也是事倍功半，既耽誤了時間，又沒有在解題中提升能力也沒能獲得解題經驗.

例1 已知線段AB=10 cm，如圖1，C是線段AB上一點，M，N分別是AC，BC的中點.

（1）BC=4 cm，求線段MN的長；

（2）BC=6 cm，則線段MN的長是cm；

（3）C為線段AB上任一點，你能求出MN的長度嗎？

（4）如圖2，C為線段AB延長線上一點，M，N分別是AC，BC的中點，求線段MN的長.

學情分析：第（1）（2）問由于線段BC的長度是已知的，學生有直觀的感受，能求出圖中每一條線段的長度.第（3）問，受第（1）（2）問的影響，很多學生采用取特殊值的方法，假設BC=4 cm和BC=6 cm兩種情況求MN的長度.但當老師提出“C是線段AB上任一點，不取特殊值如何一般化處理”時，很多學生都覺得沒有具體的長度，不知道如何計算，尤其是第（4）問更是難以動筆了.

問題1：例1中的第（1）（2）問，你是如何計算的？

問題2：除了采用“MN=CM＋CN”這一等量關系外，還有沒有其他等量關系也能解決問題？請你寫出來，并探索根據這一等量關系計算的方法.

設計意圖：讓學生明白，無論是用MN=CM＋CN，還是MN=AB－（AM＋BN），亦或是MN=AN－AM等，都可以根據自己選擇的數量關系去探索所需要的線段的長度.

問題3：從第（1）（2）問可以看出MN的長度是一個定值，不受線段BC長度的影響.第（3）問中，既然C是線段上任一點，表明線段BC的長度是可以變化的，你能想出什么辦法來表示線段BC的長度呢？（設BC=x cm.）

設計意圖：引導學生理解并掌握“字母代數”的思想.

問題4：第（4）問中你準備如何表示MN？請寫出來.這些用和或差來表示MN的線段，你能表示它們的長度嗎？

問題5：第（4）問中，如果用x表示BN的長度，如何用含“x”的式子表示圖中其他線段？

問題6：如果設BN=x cm，BM=y cm，那么x和y有怎樣的數量關系？如何求出MN的長度？

問題7：第（3）問中，你覺得求MN長度最簡潔的是哪一種方法？（學生：MN=CM＋CN.）說說你的理由.

問題8：既如此，那在第（4）問中，MN與CM，CN之間又有怎樣的關系呢？

設計意圖：引導學生建立第（3）問和第（4）問之間的關系.當點C在線段AB上時，線段MN是線段CM，CN的長度之和，當點C在線段AB的延長線上時，圖形、點的位置發生了變化，但依然是這三條線段的關系，不過此時MN的長度是線段CM，CN的長度之差.這啟示我們解答多問問題時要善于抓住知識前后的聯系，層層遞進，逐步深入思考并優化思路.

2 “迂回變向”設計問題

有一些問題從正面求解比較困難或無法入手，教師可以誘導學生采用“以退為進”的方法，迂回式地間接求解，往往可以事半功倍.

例2 已知拋物線y=x2－mx－3與直線y=2x－5m在－2≤x≤2時有且只有一個公共點，求m的取值范圍.

學情分析：數學離不開圖形的輔助，借助圖形更容易直觀地觀察兩個函數圖象交點的情況.但兩個函數中都含有參數m，所以對學生而言，無法取值描點，直接畫圖是難點.

問題1：例2是拋物線與直線在某一區間的交點問題，我們一般是怎樣求拋物線與直線的交點的？（引導學生聯立兩個函數表達式，得方程x2－mx－3=2x－5m.）

問題2：我們不妨先思考一個簡單問題——怎樣解方程2x2－5=x2＋4？

追問：2x2－5=x2＋4與2x2－x2=5+4這兩個方程的解相同嗎？

問題3：方程x2－mx－3=2x－5m的兩邊其實就是兩個以x為自變量的函數，追問中方程的恒等變形對我們有什么啟示？是否可以把這個方程變為某一邊所對應的函數能完整地畫出圖象來？

設計意圖：引導學生將x2-mx-3=2x-5m變為x2-2x-3=mx-5m，于是得到

兩個新函數，即y=x2－2x－3和y=mx－5m，并畫出y=x2－2x－3在－2≤x≤2時的圖象，而直線y=mx－5m過定點（5，0）.

問題4：如圖3，拋物線y=x2－2x－3在－2≤x≤2時的圖象即在A（－2，5）和B（2，－3）之間的一部分，而直線y=mx－5m可以繞定點P（5，0）旋轉.請大家思考，在直線y=mx－5m繞定點P旋轉的過程中，有哪些情況可以使得該直線與拋物線有且只有一個交點？

（情況1：直線與拋物線有唯一公共點，變形后根據b2－4ac=0求解.情況2：當直線繞點P順時針旋轉，從直線PB到直線PA（不含直線PB）的過程中，直線與拋物線都只有一個公共點.）

設計意圖：誘導學生在直接畫圖象很困難的情況下，思考可以通過什么方式對問題進行“再手術”，改變問題的結構但不改變問題的結論，讓學生感受迂回求解的數學美.

3 “追根溯源”設計問題

誘導“追根溯源”就是通過預設層層追蹤的系列問題，引導學生步步探究，把思維引向深入，向縱深拓展，去追尋問題的本源或本質[2]，弄清知識的來龍去脈，探索學習內容的內在聯系，在問題的入口處找到解決辦法.

例3 如圖4，以AB為直徑作半⊙O，將半圓沿弦CD折疊，折疊后的弧恰好與直徑AB相切于點E，若AE=2，BE=6，求弦CD的長.

學情分析：折疊前后的弧恰好在圓心不同的兩個等圓中，但學生一般想不到去構造折疊后的弧所在的圓，也就是沒有去追蹤折疊后的弧的本源，導致缺乏解題方向.

問題1：大家在思考過程中覺得最困惑的是什么條件？（折疊后的弧與直徑相切于點E不知怎么處理.）

問題2：既然是相切，那么就要聯想到切線的性質，由此你覺得我們第一步要確定什么要素？（折疊后的弧所在圓的圓心.）

問題3：你能確定折疊后的弧所在的圓的圓心嗎？請你作出這個圓心，并把圓補充完整.

問題4：如圖5，你對⊙O和⊙O1有怎樣的認識？它們之間是什么關系？為什么？

設計意圖：引導學生根據等弧的概念判定折疊前后的弧所在的圓是等圓，從而得到四邊形O1COD是菱形（如圖5）.

問題5：根據條件，你能求出哪些線段的長度？

問題6：現在你能求出弦CD的長度嗎？為什么要連接O1E（如圖5）？

設計意圖：引導學生理解弧在折疊前后只是位置發生了變化，但它們是相等的兩條弧，所以把弧的問題追溯到兩個等圓中，最后利用垂徑定理和勾股定理解決問題.兩段折弧的本質就是兩個等圓的位置關系，所以連接圓心和公共弦，以及圓的對稱性的運用是解決折弧問題的必由之路.

4 “破除定勢”設計問題

思維定勢是我們在長期的思維過程中形成的一種思維條件反射，是一種固定的思維方式.在條件不變的情況下，定勢有助于我們迅速找到解題方向，從而快速解決問題；但一旦情境或條件發生了變化，定勢就會擾亂我們的思考方向，如果不及時調整思路則會阻礙我們解決問題.

例4 如圖6，E是正方形ABCD的邊BC上一點，F在BC的延長線上，CG平分∠DCF，且EG⊥AE.

求證：EG=AE.

學情分析：受思維定勢影響，學生習慣于構造“一線三垂直”模型，即作GH⊥BF于點H（如圖7），想通過證明△EGH≌△AEB得到EG=AE.但通過不斷的嘗試，發現好像沒有邊相等的條件，于是學生停留在想辦法去尋找邊相等的困境中而不能自拔.

問題1：要證明EG=AE，可以考慮證明EG，AE所在的三角形全等，現在想把EG所在的三角形構造成△ABE的形狀遇到了困難，能否換個角度，把AE所在的三角形構造成△CEG的形狀呢？

問題2：結合∠CEG=∠EAB，以及∠ECG=135°，如何在△ABE中構造一個既有135°角，又能獲得邊相等的條件？

設計意圖：如圖8，誘導學生在邊AB上截取BM=BE，從而得到EC=AM，∠AME=135°.

問題3：條件中有多個45°角和直角，而連接正方形的對角線也能產生45°角，大家連接對角線試試，看有什么新的發現？

問題4：為什么連接AC而不連接BD？

問題5：連接AC后，AE在△AEC中，EG放在哪個三角形中呢？怎樣構造與△AEC全等的三角形？（如圖9，作EN⊥BC交GC的延長線于點N，證明△GEN≌△AEC.）

問題6：連接AC后，你還有怎樣的構造方法？（如圖10，作EP⊥BC交AC于點P，證明△GEC≌△AEP.）

設計意圖：連接AC后，“由小變大”構造△GEN≌△AEC；“由大變小”構造△GEC≌△AEP.

問題7：由于AE在Rt△ABE中，能否通過構造新的全等改變AE的位置后，再尋找它們之間的數量關系？如圖11，延長AB，GC交于點Q，連接EQ，則EQ=AE，怎樣證明EG=EQ？（∠CEG=∠BAE=∠BQE，所以45°－∠CEG=45°－∠BQE，即∠EGC=∠EQC，所以EG=EQ.）

問題8：如圖12，延長AB至點R，使BR=BE，連接ER，CR，則CR=AE.如何證明EG=CR？（通過EG∥CR，ER∥CG證明四邊形ERCG是平行四邊形.）

設計意圖：通過改變位置關系而探尋數量關系；通過思維的暴露破除定勢的影響，培養多元思維能力.

“問題提出應引發學生認知沖突，激發學生學習動機，促進學生積極探究，讓學生經歷數學觀察、數學思考、數學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程”[3].學生認知與能力的增長永遠開始于問題，終止于解決問題，學生在由淺入深、由易到難、由表及里的一連串問題中，逐步學習、有序探索，進而發現問題、分析問題、解決問題[4].由于學生的分析、理解、感悟，有時往往存在“知其然而不知其所以然”的狀況，并且不太善于實現方法、知識、能力的遷移.在這種情況下，教學中獨具匠心且恰到好處的問題設計能幫助學生打開思維之門，促進學生積極思考、主動學習，有利于學習的觸類旁通，有利于困惑中的頓悟而明方向，更有利于引領學生開啟知識大門，掌握方法，獲得解決問題的數學經驗，逐步學會思考、學會學習.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育課程方案（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]楊華.變“講”為誘，變“授”為導[J].中國數學教育，2012（21）：14-17.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[4]郁元順.借力問題串，精準對接學生的生長點[J].中學數學，2023（6）：5-6.