基于高階思維的高中三角函數教學研究

摘要：新課改背景下，高中數學教學倡導培養學生數學核心素養，致力于提升高中生數學高階思維能力.高階思維視角下，教師應以符合學生思維特點的方式進行教學活動，主張提高學生數學綜合能力，落實數學素質教育目標，切實體現高中數學教學的時代性特征.

關鍵詞：高階思維；問題驅動；高中數學；三角函數

問題是數學的心臟.高階思維視角下，在高中數學課堂上，教師以“三角函數”為例進行問題驅動式教學，能夠幫助學生系統、深入地掌握數學知識，完善知識架構，夯實學科基礎，進而培養學生探究學習綜合能力.在這一學習模式下，高中生能夠跟隨教師問題質疑、大膽探究，實現向高階思維的跨越．本文結合高中數學課堂教學目標，從教育思想、教育理念、教育方法、教育模式等方面予以創新，體現數學課程教學的進階優勢，為學生呈現別樣化的問題設計、驅動活動、學習任務等，助力高中生發展數學高階思維．

1統籌問題的層次性

高階思維的培養過程是循序漸進的，不是一蹴而就的.在探索高中數學知識過程中，應體現數學知識的層次性，逐級、逐層培養學生的數學思維能力，實現由低階向高階轉化，促進學生發展數學綜合能力.基于此，在高中數學教學活動中，教師應有順序、有層次地拋出具體問題，使學生在課堂上融入問題探究情境之中，對數學知識進行分析與解答，從而培養學生的問題意識，構建質疑思想.在本課時學習中，教師以培養學生高階思維為教學目標，借助問題驅動過程幫助學生解答“三角函數”知識.［1］首先，理解“三角函數的概念”，促使學生構建由低階思維切入形成知識結構.其次，以“三角函數的概念”理解為切入點，沿著“任意角”“弧度制”的研究思路，以“單位圓的圓心為原點”，將單位圓放置在平面直角坐標系中，并進行提問“在研究函數知識點時，應怎樣建立平面直角坐標系”，學生根據具體問題，探究“建立平面直角坐標系，構建數學模型，刻畫角的終邊與單位圓的交點P的位置變化情況”，進而解讀角與函數的關系.教學過程中具體的問題設計如下.

問題1當α=π6時，點P的坐標是什么？唯一確定嗎？

問題2當α=π2時，點P的坐標是什么？唯一確定嗎？

問題3當α=2π3時，點 P的坐標是什么？唯一確定嗎？

教師運用幾何畫板進行教學演示，解析“在同一坐標系中任意畫一個角α，觀察終邊OP與單位圓交點P的坐標，思考并總結點P的坐標與角α的關系”.遵循問題1、問題2、問題3的思路，培養學生高階思維，促使學生在明確點P的坐標均與角α具有緊密聯系，由此獲得角α的函數相關知識.在問題1、問題2、問題3的學習過程中，幫助學生理解問題，促進學生發展數學建模思想，從而形成數學知識結構體系，為學生實現由低階思維向高階思維轉化提供重要路徑．

2關注問題的情境性

高中數學教學過程中，創設問題情境應有利于引導學生牢固掌握數學知識本質，分析數學知識組成結構和體系概念，進而挖掘“三角函數”相關知識點.在這一學習過程中，幫助學生掌握“三角函數”核心素養方法，明確問題探究路徑，啟發學生鍛煉語言表達能力，進而引導學生開展數學學習活動，逐步生成數學高階思維.［2］

在“任意角”教學中，教師運用情境教學法，幫助學生將“任意角”知識具象化，借助多媒體教學工具為學生呈現“跳水運動員在空中做三周半旋轉動作”“自行車車輪旋轉”“扳手擰動螺絲圈數目”等情境.接著針對三種情境提出問題“運動員跳水旋轉三圈，旋轉多少度”“自行車車輪旋轉多少度”“螺絲帽旋轉多少度”.依托上述教學情境，學生逐步建構“角度”的數學概念，了解角在超過360°時如何表示，以及0°到360°角的特點，由“初步認識角的思維”進階到“了解360°以外的角”，進而突破思維局限.教學過程中具體問題設計如下.

問題1運動員、車輪、螺絲的旋轉，從初始位置到結束位置所呈的角是什么樣子的？他們具有怎樣的特點？是否存在共性？

問題2在我們以前學過的關于“角”的知識中，是如何定義“角”的？

問題3對比已學過的“角的定義”，探索本節課中的角有哪些差異與共性？

問題1中，學生能夠發現“角”是通過旋轉而形成的，并存在旋轉大于一周的特點，即大于360°.

問題2中，通過復習初中階段對“角的定義”知識，明確角是由一點引出兩條射線所組成的圖形，角度一般為0°到360°.然而，通過探索問題1中的角，可以發現這些角是由旋轉運動形成的，且角的大小都超過360°.基于此，引出高中數學中的“任意角”知識點，幫助學生探索“任意角”的數學概念.教師借助“對角的認識”差異和共性，幫助學生建構高階思維．

3把握問題的開放性

開放性問題能夠幫助學生從判斷、選擇、分析、排除的實踐學習中發展數學綜合能力，進而增強學生的問題探究意識和問題解決能力.數學問題的開放性特征既要體現出“現代與傳統”的融合性和獨立性特征，又要引導學生在探究數學問題中發展邏輯思維能力，對數學知識進行深入解讀和應用實踐，進而提高學生問題解決能力.基于此，教師應為學生呈現開放性課堂學習環境，助力學生發展數學邏輯思維能力.［3］同時，教師應為學生提供充足的試錯機會，幫助學生擺脫傳統教學的束縛，使其進行自主探究、大膽嘗試，從而構建數學直觀感知能力，培養數學學習自信，逐步提升數學問題解決能力.

例如，在“筒車模型”的學習中，教師利用課堂分析、講解活動，幫助學生推導出函數模型，進而確定盛水筒距離水面的高度與時間的數學關系.在這一問題探究過程中，教師在開放性探索學習情境中，尋找模型中的筒車半徑、角速度大小、筒車中心與水面距離等知識點，促使學生掌握變量之間的關系，提高問題解決能力.

4注重問題的思辨性

高中數學課堂教學中，以快節奏、高效率、短課時特點呈現，旨在幫助學生提高學習質量，強化數學綜合能力.基于此，教師應注重數學問題呈現的思辨性特點，促使學生在思考問題的過程中，構建嚴謹的數學邏輯和正確的解題思路，逐步提高學生數學課堂學習的效率，避免因思路不同造成的學習分歧，從而提高學生的思維判斷決策能力.在高階思維培養過程中，教師圍繞數學學科知識的特點，引導學生遵循論證、求解、總結的學習路徑，大膽推導、敢于質疑，進而發揮判斷決策能力，強化學生的思辨性能力.同時，在解析具體問題過程中，通過質疑和反思，鼓勵學生進行自主探究和合作學習活動，進而發揮學生基于高階思維的批判性能力，促進學生形成數學核心素養.

例如，在“三角恒等變換”的數學習題中，教師可以設置以下問題.

問題在△ABC中，cosB=35，sinC=513，求cosA的值.

生1：∵cosB=35，sinC=513，∴sinB=45，

cosC=1213，

∴cosA=cos［π-（B+C）］=cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC=1665.

生2：∵cosB=35，sinC=513，∴sinB=45，

cosC=1213，

∴cosA=cos［π-（B+C）］=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=-1665.

生3：∵cosB=35，sinC=513，∴sinB=45，

cosC=± 1213.

當 cosC=1213時，cosA=cos［π-（B+C）］=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=-1665.

根據三位學生的答案進行判斷，教師對他們的解題思路進行分析，幫助學生在自主思考和合作交流中得出結論：生1解題過程中，誘導公式書寫錯誤；生2解題過程中，尚未對C的余弦值進行分類討論；生3的解題思路和答案均無誤.

教師點評：三位學生的答案都不是完全正確的，請同學們再仔細觀察，思考他們的不足之處.

在教師的提示后學生再進行思考，了解生1、生2、生3的運算過程和解題條件是否存在差異，幫助學生找到問題解答的技巧和方案.同時，教師再進行以下提示.

師：請思考，三角函數的大小和正負主要決定因素是什么？

生：三角函數是關于角的函數，三角函數的大小由角決定.

學生最終得出結論：C的余弦值應結合C的角范圍進行推導.

現有條件是cosB=35，sinC=513，由已知條件得到三角形兩個內角B和C的范圍，發現cosB=35lt;22=cosπ4，sinC=513lt;12=sinπ6，結合三角函數的單調性可知π4lt;Blt;π2，0lt;Clt;π6或5π6lt;Clt;π，由三角形內角和的限制條件可得出C的范圍是0lt;Clt;π6，對于C的余弦值無需分類討論，直接取正值 cosC=1213，但需在此之前對C的范圍進行說明.

在上述推導和解答過程中，可了解數學問題的典型性和參考性特征，促使學生在“錯題分析”中，理順解題思路，培養自檢自查習慣，培養學生批判性思維．

5結語

本文重點研究了基于高階思維的高中三角函數教學，分析問題驅動式的教學有效性作用，以期實現培養高中生數學高階思維的目標，促進學生具備問題驅動式能力.通過探究“三角函數”知識點，幫助學生了解高階思維發展的特征，確定高階思維培養方向，進而提高學生問題探究能力和解決能力，為學生終身發展數學素養奠定堅實基礎．

參考文獻

［1］肖雄，劉春琳.高中三角函數概念教學的反思與重構［J］.中學數學月刊，2024（9）：25-28．

［2］倪馨.互動式學習在高中數學教學中的實施策略探究——以“三角函數”為例［J］.數學學習與研究，2024（22）：128-130．

［3］高春芳.高中數學中三角函數的解題方法探析［J］.數理天地（高中版），2024（17）：8-9．