類比思想在高中數學教學中的實踐

【摘要】隨著教育改革的深入，廣大教育者越來越認識到數學思想對于培養學生數學思維，提升學生數學應用能力意義重大.而類比思想作為高中數學最常用的思想之一，對于培養學生推理能力，強化數學知識聯系的作用不容忽視.文章以“等比數列”（第一課時）的流程設計、教學實施為例，詮釋了類比思想在高中數學教學中的實踐應用，以及在強化數學知識之間聯系的重要作用，并就實際教學進行了總結反思，提出了自己的獨特見解.

【關鍵詞】類比思想；知識聯系；核心素養；等比數列

【基金項目】國家社會科學基金“十四五”規劃2022年度教育學一般課題“新時代普通高中科技創新后備人才培養模式研究”（BHA220271）.

引 言

物理學家開普勒說過：“我珍愛類比勝于一切，……，它能揭示自然界的密碼”.可見，類比在科學發現與探究中具有重要的意義和作用.所謂類比就是由兩個對象的某些相同或相似的性質，推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理方式.類比是由特殊到特殊的推理，是常用的一種合情推理，也是一種重要的數學思想方法.

下面筆者以人教版選擇性必修二“等比數列”（第一課時）的教學設計和實施為例予以說明.

一、教材內容解析

“等比數列”的主要內容包括等比數列的概念和通項公式、等比數列的前n項和公式及其應用.本節課作為第一課時，主要講授內容是等比數列的概念和通項公式.本節內容具有承上啟下的作用，“承上”體現在承接了等差數列的相關知識和方法，“啟下”體現在為等比數列的性質探究、前n項和公式的推導提供了理論基礎.等比數列與等差數列在內容上具有類似性，正因為如此，教材對等比數列內容的編排，采用了與等差數列完全類似的研究路徑和研究方法.利用數列知識的共有特性，利用等比數列與等差數列內容和思想方法上的相似性，引導學生對數學規律的自主探究，提高學生的觀察、分析、猜想、歸納、類比的綜合思維能力，發展學生的邏輯推理和數學運算等數學學科核心素養.所以，本節的內容為學生提供了良好的類比學習的機會.

基于以上分析，得到了本節課的教學重點：理解等比數列的概念；探究歸納等比數列的通項公式，并能初步應用.

二、目標解析

內容上：通過數學史料和生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義；能在具體的問題情境中發現數列的等比關系，并解決相應的問題；體會等比數列與指數函數的關系.

教法上：引導學生通過具體事例，抽象出等比數列的概念、理解等比數列的性質和應用.

學法上：啟發引導學生運用觀察、對比等手段，通過聯想、歸納得到等比數列的概念和通項公式，并能在這一過程中有效辨析，不斷反思，建立合理的概念結構，發展學生數學抽象和數學建模素養.在這一基礎上，通過例題和當堂練習，進一步加深理解等比數列的概念和通項公式，發展學生邏輯推理素養.

三、學情分析

在學習本節課內容之前，學生已經系統地學習了等差數列的基礎知識，具備了進一步研究新的特殊數列的基本思路和方法；對于數列中的歸納類比、函數與方程等思想方法，在等差數列的學習中，學生已有了深刻的體會.因此，為了調動學生的探求欲望，激發學生的學習興趣，我們可以從生活中的實例引入，結合數學文化的有效滲透，讓學生感受到數學源于生活，充滿趣味性.在與等差數列的類比中，通過教師由淺入深的問題設置，引導學生自主探究、合作交流、共享提升，完成等比數列的學習.

基于以上分析，得到了本節課的教學難點：等比數列概念的形成與理解.

四、教學過程設計

首先從現實生活、數學史、傳統文化中選擇4個能反映等比數列本質特征的典型例子入手，引導學生通過運算發現取值規律，從而獲得定義，然后通過問題串的形式創建系列化學習活動，引導學生運用類比探究、總結等比數列的概念生成和通項公式的推導過程，接著類比等差中項的概念，獲得等比中項的定義，最后借助希沃白板深化對概念的理解和公式的應用，幫助學生理解核心概念和其中蘊含的類比、轉化、函數與方程等數學思想方法.

（一）思路類比，回顧導新

問題1：請同學們回顧等差數列的學習過程，思考等差數列的研究路徑.

預設并引導：觀察共性→得到概念→表示方法→探究性質→初步應用.

【設計意圖】等比數列的內容與等差數列是類似的，教材對等比數列內容的編排，采用了與等差數列完全類似的研究路徑和研究方法.復習等差數列的學習過程，引導學生分析特殊數列的研究方式，為接下來發現研究等比數列作出鋪墊.

（二）概念類比，探究新知

請看下面幾個問題中的數列：

3.在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20分鐘就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產生的后代個數依次是2，4，8，16，32，64，…

4.某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復利，他5年內每年末得到的本利和分別是a（1+r），a（1+r）2，a（1+r）3，a（1+r）4，a（1+r）5.

問題2：類比等差數列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發現以上數列的取值規律？你發現了什么規律？

【設計意圖】培養學生發現問題和提出問題的能力，強化類比思想，引導學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的語言表達現實世界.

問題3：類比等差數列的概念，你能抽象出等比數列的概念嗎？

追問：你能否給出等比數列定義的符號表示？

【設計意圖】類比等差數列的概念，提煉出等比數列的定義、數學表達式以及特點，抽象出等比數列的概念，體會數學知識之間的聯系，培養學生的語言表達能力和歸納總結能力，滲透特殊與一般的思想，發展學生數學抽象、邏輯推理素養.

【設計意圖】通過辨析，讓學生明白想要判斷一個數列是等比數列，一定要證明出對于任意項后一項與前一項之比為同一常數，反之，只要舉出反例即可.設置這樣的涵蓋各種情況的問題的目的是讓學生自主探究，辨析概念，進一步加強對概念的理解與認識，建立等比數列相關的模型，發展學生的數學抽象素養.

問題4：在等差數列中，我們學習了等差中項的概念，類似的，在等比數列中有什么相應的概念？如何定義呢？

【設計意圖】強化類比思想，深化知識的聯系，引導學生會用聯系的辯證的眼光分析問題、解決問題，更好的理解等差中項和等比中項.

（三）方法類比，推導公式

問題5：你能根據等比數列的定義推導它的通項公式嗎？

預設1：

預設2：累加法（等差數列）→累乘法（等比數列）.

【設計意圖】類比等差數列的研究方法，讓學生經歷觀察、分析、猜想、驗證、證明等比數列的通項公式的研究思路，分別使用三種方法：不完全歸納法、累乘法、迭代法推導出等比數列的通項公式，培養學生歸納、類比、演繹的推理運算素養.

問題6：類比等差數列與一次函數的關系，等比數列可以與哪種函數建立類似的聯系？

預設：從數和形的角度予以引導、闡釋.

【設計意圖】讓學生理解等差數列與一次函數的關系，理解等比數列與指數函數的關系，既有助于完善學生的知識結構，又有助于深化知識聯系，加深理解.

（四）公式類比，應用提升

【設計意圖】通過例題講評，深化學生使用定義和通項公式解決問題的意識，讓學生深刻理解概念是解決問題的有力工具.同時，可以類比等差數列的性質進行學習和探討.

（五）課堂小結，反思升華

引導學生從知識和思想方法兩方面進行小結.知識層面，學習了等比數列的概念、通項公式以及延伸的相關知識；方法層面，運用類比的方法研究概念和推導公式，體會其中的函數與方程、轉化與化歸等數學思想.

布置作業：

基礎性作業：習題4-3第1題；

拓展研究：試討論等比數列的單調性.

五、教學反思

1.突出類比思想———充分把握等比數列與等差數列的內在聯系

由于等比數列與等差數列在概念、性質、通項公式和前n和公式等方面具有相類性，這就為運用類比思想方法主導教學過程奠定了堅實的基礎.在施教中，筆者依據教材對等比數列內容的安排，采用了與等差數列完全類似的研究路徑和研究方法展開教學.始終把握兩種數列的內在聯系，循序漸進，環環相扣，一氣呵成，使概念生成和公式推導來得十分自然.教學過程彰顯了運用類比思想促進概念內化和公式推導，有效構建知識網絡.

2.強化學生主體———著力提高學生自主探究合作交流能力

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出，在充分發揮教師主導作用的同時突出學生的主體地位，要使教師的講授、啟發、指導與學生的自主探究及合作交流有機地融為一體，真正使探究活動成為課堂教學的常態.施教中，筆者時刻注重引導、調動學生的主觀能動性，讓學生在相互討論和啟發中活動，在活動中學習，在學習中思考，在思考中發展，從而使學生在課堂上始終保持濃厚興趣.在從等差數列類比得到等比數列知識的過程中自然流暢，水到渠成.

3.運用問題鏈接———在尊重教材的基礎上發揮變式教學功能

教材是實現課程目標、實施教學的主要載體，數學教學提倡立足教材但不拘泥于教材，要變“教教材”為“用教材”.為遵循這一教學理念，筆者在設計本節課的教學方案時，以教材為藍本，對學習內容進行了有機整合，以問題鏈的形式設計流程，展開教學.通過挖掘教材中有助于發展學生核心素養的載體，刻意滲透類比、歸納、化歸等數學思想方法.這樣做將學習內容問題化，過渡自然，鏈接合理，環環相扣，層層遞進，產生了良好教學效果.

結 語

數學家波利亞說：“類比是一個偉大的引路人.”所以，在今后的教學中，廣大一線數學教師要重視對類比思想的滲透，強化知識之間的聯系.對類比思想進行科學合理的運用，促進課堂教學有效開展，讓學生在數學學習中感悟類比等數學思想和方法的重要作用，提高發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，發展學生的數學核心素養.

【參考文獻】

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