讓學生體驗直角三角形三邊的平方關系

摘要：運用“算兩次”的思想，采用“特殊到一般”的方法，通過兩次求直角三角形的面積讓學生領悟“研究直角三角形邊與邊的關系，需借助直角三角形與正方形的面積來進行，并要研究邊與邊的平方關系”.

關鍵詞：體驗；直角三角形；三邊；平方關系

在北師版“勾股定理”的教學中，我們常困惑于引入要研究邊的關系后，很不自然或常說不清楚、道不明為什么要研究邊的平方關系.基于課堂教學要創新的想法，運用“算兩次”引入新內容的方式，采用兩次算直角三角形面積的方法，沿著“設問引導—提出問題—探索特例—類比、聯想正方形及面積—構圖、解釋—類比、推廣—歸納、整理”的思路來設計教學，可自然、順暢地得出勾股定理.

1 設問引導

師問：你知道有哪些特殊三角形嗎？

生答（預設）：等腰三角形，等邊三角形，直角三角形.

師問：關于等腰三角形、等邊三角形，你知道它們的哪些性質？

生答（預設）：等腰三角形兩腰相等、兩底角相等，有“三線合一”的性質；等邊三角形三邊相等、三個內角都相等且等于60°，也有“三線合一”的性質.

師問：前面學習等腰三角形、等邊三角形的性質時，我們都是從認識角與角、邊與邊、邊與角，以及三角形內部存在的特殊線段等方面入手來研究的.對于直角三角形，你們能從角與角、邊與邊兩方面研究出一些結論嗎？

生答（預設）：有一個角為直角，其余兩個銳角互余.

師問：關于直角三角形，你還想知道什么呢？

生答（預設）：直角三角形的邊長存在什么關系？

問題呈現：如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，則邊a，b，c之間有什么關系？

引導思考：①你研究過類似問題嗎？②等腰三角形的性質是如何發現的？（利用軸對稱的性質，折疊.）③這個方法適用于研究直角三角形嗎？

2 探索特例

環節一 研究特殊的直角三角形

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=b=1，如圖2所示，你能寫出一個含c的等式嗎？

追問1：結合圖2，你能求出什么？

生：我能求出這個三角形的面積S_△ABC=1/2AC·BC=1/2.

追問2：你能以AB邊為底求該三角形的面積嗎？

生：不知道高.

追問3：高可以表示出來嗎？

師引或生答：這是個等腰直角三角形，如果過點C作AB的垂線，把△ABC分成兩個全等的等腰直角三角形，如圖3所示，可得AB邊上的高等于12c.

追問4：你能根據圖3給出一個關于c的等式嗎？

生：因為S_△ABC=1/2c·1/2c=1/4c²=1/2AC·BC=1/2，所以c²=2.（這里運用了“算兩次”的思想方法.）

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=b=2，如圖4所示，你能寫出一個含c的等式嗎？

生：可以類比（1）的方法得出c2=8.

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=1，b=2，如圖5所示，你能寫出一個含c的等式嗎？

設問整理，思考引導：

（Ⅰ）（1）（2）的條件有什么共同點？（都是一個等腰直角三角形.）而（3）的條件與（1）（2）有什么區別？（非等腰直角三角形.）

（Ⅱ）（1）（2）的結果有什么共同點？（斜邊的平方等于一個常數，分別為c²=2，c²=8.）

（Ⅲ）c2能表示怎樣的一個幾何圖形的什么量（越簡單越好）？

形成共識：c2能表示邊長為c的正方形的面積.

環節二 拼（作）圖、驗證

（Ⅰ）驗證（1）中以c為邊長的正方形的面積是2.

預設生答：用4個直角邊均為1的三角形拼成一個如圖6所示的正方形.

（Ⅱ）驗證⑵中以c為邊長的正方形的面積是8.

預設生答：（類比上面）用4個直角邊均為2的三角形拼成一個如圖7所示的正方形.

師引：我們也可借助網格來畫圖，說明上面的拼圖是正確的.你能在網格中呈現出剛才的想法嗎？

預設生答：如圖8所示.

追問：借助圖8，同學們有哪些方法可得出圖中正方形的面積分別是2和8？

生1：計算出其中一個小三角形的面積，然后乘4.

生2：如圖9所示.補成一個大正方形，然后剪去四個和原三角形全等的三角形.

師引：從圖8、圖9來看，正方形可看成是由四個相同的直角三角形采用不同方法拼接而成的，因此正方形的面積與直角三角形的邊長密切關聯.

師反問：在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=1，b=2，要寫出一個含c的等式，能不能也仿照這個方法來進行呢？

若能，請畫出圖示意.（注意留思考時間并給出方形網格.）

生1：如圖10①所示，與圖8、圖9相比，區別在于中間多出了一個邊長為1的小正方形面積，即c²=4×1/2×1×2+1²=5.

生2：如圖10②所示，可得c²=（2+1）²-4×1/2×1×2=5.

環節三 類比、鞏固

師問：（4）在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=2，b=3，你能求出c²嗎？你有哪些方法可以求出正方形的面積是13？

生答（預設）：可以利用剛學的兩種方法來求，如圖11所示.

如圖11，可得c²=4×1/2×2×3+1²=13，或c²=（2+3）²-4×1/2×2×3=13.

師引（階段性總結）：從圖8～11來看，每個圖中的正方形都可看成是由四個全等的直角三角形以斜邊長或兩直角邊邊長之和為長有序拼出的正方形（這個概括是抽象的結果，也是類比解決一般化問題的憑借與基礎）.

環節四 歸納、推廣

現將上面四個問題列表（表1）如下，思考a，b，c之間有什么聯系？

形成共識：a²+b²=c².

3 類比，一般化

師問：在Rt△ABC中，∠C=90°，如圖12所示.你能說明a2+b2=c2的正確性嗎？

說明與師引：對于直角三角形的直角邊長，若不是整數，要用網格來探究邊長的關系，顯然就不易了.同學們想一想，能不能也用四個全等的直角三角形通過拼圖與計算的方法來驗證呢？

注意：這個驗證，可能有一定的難度，要留一定的思考空間與時間，并課前準備好四個全等的直角三角形，以備演示與理解用.

生1答（預設）：如圖13①所示，可得

c²=4×1/2×ab+（a-b）²=a²+b².

生2答（預設）：如圖13②所示，可得

c²=（a+b）²-4×1/2×ab=a²+b².

4 整理，形成結論

（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即在Rt△ABC中，∠C=90°，則a²+b²=c².

（2）在探索勾股定理過程中，要學習的經驗、方法如下：

從特殊、簡單問題入手分析，是解決問題的好方法；遇到不會的問題，要常聯想自己會什么；類比已有經驗或方法常用來尋找解決問題的突破口.

本課在回憶已有知識的基礎上，提出應研究的問題，采用由特殊到一般的思想，精心設計出系列“問題串”，將學生置于再發現的“場景”之中來啟思與探究；完成階段性任務后，重在引導學生形成共識或進行階段性總結——解決問題的本質內容，并逐漸類比、驗證（計算與推理）與推廣來實現教學任務.