高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的解題策略研究

【摘要】最值問(wèn)題屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一類比較常見(jiàn)的題目類型，在歷年高考中頻頻出現(xiàn)，學(xué)生不僅需要掌握一定的解題技巧，還應(yīng)具備較強(qiáng)的思維能力．在高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生掌握一些求解最值的常用方法，促使他們不再害怕此類試題．本文針對(duì)如何解決高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題進(jìn)行研究，并分享一系列解題實(shí)例．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；最值問(wèn)題；解題策略

最值問(wèn)題，即為一類與最長(zhǎng)最短、最多最少、最大最小等相關(guān)的問(wèn)題，涉及的學(xué)科廣泛，屬于理科解題中的基本題型之一．在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師可圍繞最值問(wèn)題安排專題訓(xùn)練，教授學(xué)生一些有用的解題方法，使其根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分析和求解，找到清晰、簡(jiǎn)潔的解題思路，最終助推他們輕松求得最值．

1" 解決函數(shù)方面最值問(wèn)題的策略

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中最基礎(chǔ)的一部分，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到求函數(shù)最大值或最小值的問(wèn)題，處理這類題目常用的方法有單調(diào)性法、判別式法與配方法等，在解題中需靈活運(yùn)用，這就要求學(xué)

生能夠熟練選用求解工具，結(jié)合函數(shù)解析式將相關(guān)知識(shí)聯(lián)系在一起，找出最優(yōu)質(zhì)的解題思路，最為關(guān)鍵的一點(diǎn)是認(rèn)真分析題目?jī)?nèi)容，提取出有價(jià)值的信息．

例1" 已知函數(shù)f（x）=－3x3+ax2－4，在x=2處有極值，假如m∈［－1，1］，n∈［－1，1］，求f（m）與f′（n）的最小值之和.

詳解" 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=－3x3+ax2－4在

x=2處有極值，

所以能夠求得a=3，

那么f′（x）=－3x2+6x，

令f′（x）=0，

由此得到x=0或者x=2，

然后進(jìn)行分類討論，

當(dāng)xlt;0時(shí)，f′（x）lt;0；

當(dāng)0lt;xlt;2時(shí)，f′（x）gt;0；

當(dāng)xgt;2時(shí)，f′（x）lt;0；

故當(dāng)m∈［－1，1］時(shí)，f（m）有最小值，為f（0）

=－4，

又因?yàn)閒′（n）=－3n2+6n，在區(qū)間［－1，1］內(nèi)

單調(diào)遞增，

那么f′（n）的最小值為f′（－1）=－9，

綜合可得f（m）和f′（n）的最小值是f（m）+

f′（n）=－4+（－9）=－13．

2" 解決三角函數(shù)最值問(wèn)題的策略

三角函數(shù)也是貫穿于初、高中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，求解三角函數(shù)的最值問(wèn)題同樣是高考中的一個(gè)熱門(mén)考點(diǎn)，主要考查學(xué)生的綜合能力，但是學(xué)生遇到這類問(wèn)題時(shí)，往往很難快速找到突破口．在高中數(shù)學(xué)三角形函數(shù)最值問(wèn)題中，雖然從表面來(lái)看較為復(fù)雜，其實(shí)學(xué)生只需熟悉三角函數(shù)的概念、性質(zhì)及表達(dá)公式，就能夠適當(dāng)簡(jiǎn)化關(guān)系式，從而快速求解．

例2" 已知三角函數(shù)f（x）=sinωx+acosωx，且ωgt;0，該三角函數(shù)的最小正周期T為π，且

直線x=π12是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸為，求函數(shù)f（x）的最大值.

詳解" 因?yàn)閒（x）=sinωx+acosωx，并引入輔助角θ，可以得到f（x）=1＋a2sin（ωx+θ），

令tanθ=a，

又因?yàn)樵撊呛瘮?shù)的最小正周期為π，

則T=2πω，

據(jù)此求得ω=2，

即原函數(shù)式變形為f（x）=1＋a2sin（2x+θ），

由于直線x=π12為函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸，

那么2×π12+θ=π2+kπ，

且k∈Z，θ=π3+kπ，

由此得到a=tan（π3+kπ）=tanπ3=3，

則原函數(shù)式變形成f（x）=1＋32sin（2x+θ）=2sin（2x+θ）

所以函數(shù)f（x）的最大值是f（x）max=2．

3" 解決數(shù)列方面最值問(wèn)題的策略

高中數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題題型復(fù)雜多變，解題方法更是多種多樣，面對(duì)這一局面，只有選擇正確的解題方法，才能夠準(zhǔn)確、快速地求得答案．其中數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)課堂中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，同樣涉及有最值問(wèn)題，教師在解題訓(xùn)練中，應(yīng)當(dāng)著重講授求解數(shù)列最值問(wèn)題的方法及應(yīng)用技巧，不斷拓展學(xué)生的解題思維，使其在以后遇到同類題目時(shí)可以迅速處理．

例3" 已知數(shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列，且公比q不為1，而數(shù)列bn是一個(gè)滿足a2、abn、a2n的等比數(shù)列，cn=1b2nb2n+2，假如數(shù)列cn的前n項(xiàng)和同Tn≥λ對(duì)任意的n∈N*恒成立，求λ的最大值.

詳解" 因?yàn)閿?shù)列bn是一個(gè)滿足a2、abn、a2n的等比數(shù)列，

所以能夠得到abn2=a2a2n，

又?jǐn)?shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列，且公比q不為1，

那么可以得到a12q2bn－2=a12×q2n，

整理以后能夠得到bn=n+1，

則cn=1b2nb2n+2=1（2n+1）（2n+3）

=12（12n+1－12n+3），

由此確定數(shù)列cn的前n項(xiàng)和是

Tn=12（13－15+15－17+…+12n+1－12n+3）=12（13－12n+3），

通過(guò)對(duì)上述式子的觀察與分析可以判斷出Tn呈單調(diào)遞增的趨勢(shì)，

當(dāng)n=1時(shí)，Tn取得最小值是115，

所以λ的最大值是115．

4" 解決幾何方面最值問(wèn)題的策略

數(shù)學(xué)主要由代數(shù)與幾何兩大部分構(gòu)成，不僅代數(shù)類的題目中有最值問(wèn)題，幾何試題中同樣有這類題目，這也是高考中的必考題型之一，主要考查學(xué)生的邏輯思維能力與計(jì)算能力．高中數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生解答幾何類的最值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真觀察圖形，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的融入，幫助學(xué)生找準(zhǔn)方向，讓他們輕松、高效地解答出來(lái)．

例4" 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，現(xiàn)有一定點(diǎn)A（3，2），在這條拋物線上找一點(diǎn)P，使PA與PF之和的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

詳解" 因?yàn)閽佄锞€的解析式是y2=4x，

故2p=4，p2=1，

則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線為x=－1，

根據(jù)拋物線的性質(zhì)——拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，

所以可以設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為PE，

那么PA與PF之和就等于PE與PF之和，

當(dāng)點(diǎn)E、P、A位于同一條直線上時(shí)距離才最短，即為有最小值，

由此求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，

將相關(guān)數(shù)值代入到拋物線方程后得到22=4x，

則x=1，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，2）．

參考文獻(xiàn)：

［1］苗祥磊，王德朋.關(guān)于解決高中數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的分析［J］.數(shù)理化解題研究，2023（28）：19-21.

［2］宮里華.高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題策略探究［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（15）：4-5.

［3］陳麗燕.高中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的解題分析［J］.試題與研究，2023（02）：19-21.