核心素養(yǎng)視域下數(shù)學運算在教學設計中的實踐與探究

【摘要】《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中提出了核心素養(yǎng)的概念，指出學生應具備適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力，因此在數(shù)學學科教學中構建并培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)成為重點問題.本文以“點到直線的距離”教學設計為例，堅持以學生為主體，充分挖掘學生思維的深度與廣度，旨在讓學生在掌握知識的同時，有效提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【關鍵詞】核心素養(yǎng)；高中數(shù)學；運算能力

1" 課標分析

“點到直線的距離”是新課標人教B版選擇性必修一第二章第2節(jié)第4小節(jié)的內(nèi)容，是用代數(shù)方法解決幾何問題的基本公式.公式推導的過程既培養(yǎng)了學生數(shù)學運算素養(yǎng)，也培養(yǎng)了學生由特殊到一般、轉化化歸的數(shù)學思想.

2" 學情分析

學生已經(jīng)學習了兩點間距離公式以及兩條直線的位置關系，初步了解了用代數(shù)方法解決幾何問題以及由特殊到一般的數(shù)學方法.因此，在教師的引導下，學生可以通過自主探索、合作討論等方式完成公式的推導，同時提升自身的數(shù)學素養(yǎng).

3" 教學目標

（1）學生掌握點到直線的距離公式，明確公式推導過程所蘊含的數(shù)學思想，掌握點到直線的距離公式的變形和簡單應用.

（2）通過點到直線的距離公式的推導，需要學生明確運算目的，選擇最優(yōu)運算路徑，提高運算效率.

4" 教學設計

4.1" 創(chuàng)設情境

探究1" 你能想辦法求出P（－1，2）到直線l1：2x+y-5=0的距離嗎？

方法1" 設P1為直線l1上的點，PP⊥l1 ，根據(jù)兩條直線位置關系設出所在的直線方程，兩方程聯(lián)立，求出交點P1坐標，利用兩點間距離公式求出點到直線的距離.

方法2" 設P1（x1，y1）為直線l1上的點，PP1⊥l1，寫出向量PP1的坐標以及直線l1的法向量v→，因此PP1與v→共線，利用向量共線求出P1所在的另一直線方程l2，兩方程聯(lián)立，求出交點P1的坐標，利用兩點間距離公式求出PP1的長.

設計意圖" 給出實例，由學生探討點到直線距離公式的不同解法，方法1思維方式較簡單，計算量較大；方法2與向量相結合，體現(xiàn)了用代數(shù)法解決幾何問題的優(yōu)勢.

4.2" 提出問題

探究2" 以上方法能得出一般結論嗎？在平面直角坐標系中，如何求點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離？

A=0，B≠0，d=y0+CB=By0+CB；

B=0，A≠0，d=xo+CA=Ax0+CA.

如何推導點P到直線l的距離d.

設計意圖" 學生能夠想到用探究1的方法解決探究2的問題，在此過程中運用了分類討論的數(shù)學思想，讓學生體會由簡單到復雜、由特殊到一般的數(shù)學方法.

4.3" 引導探究

由探究1的方法1，學生能夠想到用定義法推導點到直線距離公式.

解法1" 定義法推導點到直線距離.

過點P且垂直

于直線l的直

線PQ方程為

即A（y－yo）=B（x－xo） ①，

l：Ax+By+C=0 ②，

聯(lián)立①②得交點Q坐標為

B2x0-ABy0-ACA2+B2，A2y0-ABx0-BCA2+B2

則PQ2=－BAyo+B2x0－AC（A2+B2）－xo2+

A2yo－ABxo－BCA2+B2－yo2

=（Ax0+By0+C）2（A2+B2）（A2+B2）2

=（Ax0+By0+C）2A2+B2，

PQ=Axo+Byo+CA2+B2.

關鍵在于準確求得點Q坐標，運算量較大.在計算中發(fā)現(xiàn)相似性，準確提取公因式，可以簡化運算，將幾何問題轉化為代數(shù)問題.

解法1" 運算量較大，能否選擇不同的路徑解決問題？

在解決幾何中的長度問題時，經(jīng)常采取構造直角三角形法.

解法2" 解直角三角形法推導點到直線距離公式.

圖1

l：Ax+By+C=0， ，如圖1，過點P作PN⊥x軸交直線l于點N，設N（xo，y），

則Axo+By+C=0，

所以y=－Axo+CB，Nx0，－Axo+CB，

PN

=y0+Axo+CB=Axo+Byo+C|B|，

直線l的傾斜角為α，所以tanα=-AB，cosα=BA2+B2，

PQ=PNcosα=Axo+Byo+CA2+B2.

設計意圖" 解法1是常規(guī)方法，運算量較大，學生在有限的時間內(nèi)很難算出正確的結果.解法2運算量較小，關鍵在于尋找直線的斜率、傾斜角與三角函數(shù)的關系.

4.4" 類比聯(lián)想

既然可以作x軸，能否作y軸？

如圖2，過點P作PM⊥PN交直線l于點M，可得

PN=y0+Axo+CB=Axo+Byo+CB，

同理PM=x0+Byo+CA

=Axo+Byo+CA，

MN·PQ=PN·PM，｜PQ｜的值進而求出 ，由此想到等面積法推導點到直線的距離公式.

解法3" 等面積法推導點到直線距離公式.

圖2

如圖2，過點P分別作x軸、y軸的平行線，交直線l于點M、N，

Nxo，－Axo+CB，M-By0+CA，y0

因為 MN·PQ=PN·PM，

所以x0+Byo+CA2+yo+Axo+CB2·

PQ=Axo+Byo+CB·Axo+Byo+CA，

PQ=Axo+Byo+CA2+B2.

設計意圖" 由解法2啟發(fā)引導學生，學生很容易想到由等面積法推導點到直線距離公式，由淺入深，拓展學生的思維.

4.5" 拓展延伸

在探究1中采用了方法2求出了具體的點到直線的距離，能否用向量法推導一般的點到直線距離公式？

解法4" 利用“設而不求”技巧推導點到直線距離公式

設Q（x，y），PQ=（x－x0，y－yo），而且v=（A，B）是直線l的一個法向量，因此PQ與v共線，

所以 A（y－yo）=B（x－xo），

即A（y－yo）－B（x－xo）=0③.

Ax+By+C=0即A（x－xo）+B（y－yo）+C=－Axo－Byo.

即A（x－xo）+B（y－yo）

=－Axo+Byo+C④.

由③、④得（A2+B2）［（x－xo）2+（y－yo）2］=Axo+Byo+C2，

故PQ=Axo+Byo+CA2+B2.

設計意圖" 體會應用向量法解決幾何問題的優(yōu)勢，同時引導學生思考：當計算較為煩瑣時，可以應用“設而不求”的技巧來推導公式.引導學生發(fā)現(xiàn)整體代換的解決方案，選擇恰當?shù)姆椒ㄌ岣哌\算效率與準確性，使數(shù)學運算素養(yǎng)得到鍛煉與提升.

4.6" 應用鞏固

例1" 已知△ABC的三個頂點 ，求△ABC的BC邊上的高.

設計意圖" 求三角形一邊上的高，即求點到直線的距離，將直觀的圖形與代數(shù)連接起來，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的有機統(tǒng)一.

例2" 求平行線 l1：3x－4y+3=0與l2：6x－8y－5=0之間的距離.

設計意圖" 由兩平行線間距離進一步體會點到直線距離公式的應用，體會將未知化為已知的轉化化歸思想.借助例2引出兩條平行線之間距離的公式.

4.7" 課堂小結

（1）通過引導學生進行歸納總結，明確本節(jié)課所學的知識點，以及這些知識點背后所蘊含的數(shù)學思想.

（2）通過運用多種方法來推導點到直線的距離公式，讓學生體會數(shù)學運算的重要性，并認識到在平時的學習中需要不斷提升與鍛煉數(shù)學運算能力.

5" 結語

點到直線的距離公式的多種推導方法，體現(xiàn)了數(shù)學運算的三個水平：直接運算中的繁雜，轉化運算中的求簡，創(chuàng)新運算中的至簡.這樣的推導過程不僅展現(xiàn)了數(shù)學運算的深度和廣度，也為教師探尋運算教學的切入點提供了方向，進而達到努力提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)的目標.