立足半角模型 巧用旋轉解析探索

【摘要】初中數學幾何問題是歷年中考中的常考題型，客觀題、主觀題均有涉及.其中全等三角形模型眾多，題型復雜多樣，解題方法也各式各樣.本文以正方形與三角形中的半角模型為例，探究解題技巧.旨在幫助學生更好地理解模型特征，掌握相關的解題思路，進一步提高學生的數學思維能力.

【關鍵詞】初中數學；半角模型；解題方法

半角模型特點：（共頂點、等鄰邊、見半角、作旋轉、證全等）

（1）一個大角包含它的一個半角（常考90°含45°、120°含60°）；

（2）兩個角共頂點；

（3）大角的兩條邊長度相等.

1" 正方形中的半角模型

例1" 如圖1所示，正方形ABCD中，點E，F分別為邊BC，CD上的點，連接AE，AF，EF，與對角線BD分別交于點G，H，連接EH.若∠EAF=45°，則下列判斷錯誤的是（" ）

（A）BE+DF=EF.

（B）BG2+HD2=GH2.

（C）E，F為BC，CD的中點.

（D）AH⊥EH.

圖1

解" 將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABM，此時AD與AB重合，

由旋轉可知，AB=AD，

AM=AF，BM=DF，

∠BAM=∠DAF，

∠ABM=∠ADF=90°，

所以∠ABM+∠ABC=180°，

因此點M，B，E，C在同一條直線上，

因為∠EAF=45°，

所以∠DAF+∠BAE=45°，

又∠BAM=∠DAF，

所以∠BAM+∠BAE=45°，

所以∠MAE=∠EAF，

在△AME和△AFE中，

AE=AE∠MAE=∠EAFAM=AF，

所以△AME≌△AFESAS，

所以ME=EF，

又BM=DF，BM+BE=EF，

所以BE+DF=EF，選項A正確.

將△ADH繞點A順時針旋轉90°得到△ABN，連接GN，此時A，N，M在同一條直線上，

由旋轉可知，AN=AH，BN=DH，∠BAN=∠DAH，∠ABN=∠ADH，

在△ANG和△AHG中，

AN=AH∠NAG=∠GAHAG=AG，

所以△ANG≌△AHGSAS，

所以GN=GH.

在正方形ABCD中，∠ABG=∠ADH=45°，

所以∠NBG=∠ABN+∠ABG=45°+45°=90°，

所以BG2+BN2=NG2，

即BG2+HD2=GH2，選項B正確.

因為∠EAF=∠DBC=45°，

所以A，B，H，E四點共圓，

因此∠AHE=180°-∠ABE=90°，

即AH⊥EH，選項D正確.

分析" 本題為一道四邊形的綜合考查題，也是一道經典的半角模型例題，難度較大，考查了全等三角形的性質和判定，正方形的性質，旋轉性質，勾股定理等知識的綜合應用.其中難點在于想到將△ADF繞點A順時針旋轉90°，進而利用SAS證明△AME≌△AFE，再根據全等三角形性質可知選項A正確；選項B與選項A解題思路相同，先將△ADH繞點A順時針旋轉90°，再利用SAS證明△ANG≌△AHG.判斷D選項需用到四點共圓，這點學生也較難想到.最后采用排除法即可得到答案.與以往解答不同的是，本題是通過旋轉三角形進而證明三角形全等來幫助解題.

2" 三角形中的半角模型

例2" 如圖2，△ABC是等邊三角形，△BCD是等腰三角形，且∠BDC=120°，M是AB上一點，N是AC上一點，且∠MDN=60°，連接MN.求證：MN=BM+CN.

圖2

證明" 將△BDM繞點D順時針旋轉120°得到△CDE，此時BD與CD重合，

因為△ABC是等邊三角形，

所以∠ABC=∠ACB=60°，

又△BCD是等腰三角形，且∠BDC=120°，

所以∠CBD=∠BCD=30°，

所以∠ABD=∠ACD=90°，

所以∠DCE=90°，

所以A，C，E三點共線，

因為∠BDC=∠BDM+∠MDN+∠CDN=120°，

∠MDN=60°，

所以∠BDM+∠CDN=60°，

由旋轉可知，△BDM≌△CDE，

所以DM=DE，

∠BDM=∠CDE，

所以∠CDE+∠CDN=60°，

在△MDN和△EDN中，

DN=DN∠MDN=∠NDEDM=DE，

所以△MDN≌△EDNSAS，

所以MN=EN，

又EN=CE+CN=BM+CN，

所以MN=BM+CN.

分析" 此題相較于例1難度降低，考查的是半角模型中常見的輔助線構造方法.同樣通過旋轉三角形，將△BDM繞點D順時針旋轉120°得到△CDE，使得BD與CD重合，從而得到△MDN≌△EDN，再利用全等三角形性質即可證明.其中旋轉三角形法也可描述為構造等線段法，即延長AC至點E，使得CE=BM，連接DE，△BDM≌△CDE，△MDN≌△EDN同樣成立.

3" 結語

綜上所述，半角模型常見的輔助線構造方法有兩種，其一為旋轉三角形，其二為構造等線段.兩者本質相同，均是通過作出輔助線，證出三角形全等，進而得到所求答案.需要注意的是利用旋轉三角形證明全等時要先證明出點共線；利用等線段法需要先證明出三角形全等.通過以上兩道例題，希望學生對半角模型題目有更深入的認識，熟悉此類題型的解題方法，進而提高解題效率.