項目引領凸顯函數本質

【摘要】本文通過對2022年嘉興20題（以下統稱J20）和溫州第23題（以下統稱W23）的探究，總結這一類函數問題項目化試題解決的基本思路，對這類項目化試題進行研究，有助于學生系統地建構知識體系、進行深度學習和有效思考，提升學生的數學核心素養.

【關鍵詞】函數思想；初中數學；解題方法

1" 引言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，“積累數學活動經驗，體會數學的科學價值，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識和實踐能力”.項目化學習是強化學科實踐、推進綜合學習的重要方法，也為學生核心素養的提升提供了新途徑.如何讓學生對項目化問題掌握一定的解題思路，尤其對于初三中考復習，是一個值得深入討論的問題.現將這節復習課備課思考、教學過程和反思提升整理成文，與同行分享如下：

2" 備課思考

問題" 教學目標如何制訂，對于學生的困惑，如何進行突破？

思考" 對于這類試題，學生最大的困惑是什么？教師組認為學生主要有兩個困惑：（1）對項目化問題的理解；（2）如何將所學知識與現實問題的解決進行有效的整合.因此這節課的目標定為：經歷函數建模過程，理解實際問題的實質，整合所學的知識解決問題，從而體驗函數思想的本質.對于教師組困惑，學生的認為突破點在于以下兩個方面：首先是對于例題中的關鍵字眼的理解，如“候潮進出”“相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m”等在函數圖象中表示為什么.其次，注意在教學時通過教師的引導讓學生在相互討論中逐漸建構函數的知識網絡，真正達到復習的目的.

問題" 教學思路如何確定？

J20的函數圖象并不是初中學生熟知的，需要學生經歷實際問題的抽象、建模、函數概念和形式的回顧、函數圖象的簡單應用等過程；而W23卻是學生熟知的拋物線的圖象，學生可以利用課堂中所學的拋物線圖象的性質解決問題.因此，教師在教

學中可以把J20作為引例，得出這類函數問題項目化的基本步驟，把教學的重心放在W23上，通過問題的解決對整個函數知識框架進行合理地建構.

3" 教學過程

3.1" 情境導入，引出課題

由“書藏古今，港通天下”引入.（引例：J20改編）

著重介紹" 寧波舟山港核心港區主航道水深在22.5米以上，30萬噸級巨輪可自由進出港，40萬噸級以上的超級巨輪可候潮進出.

圖1

問題1" “候潮進出”的含義？

問題2" 要判斷12月25日的哪個時間段適合超級巨輪進出港口，應獲得哪些信息？

教學說明" 通過對問題的改編，設置實際問題解決的背景，提出問題，引發學生思考如何有效地解決實際問題.通過材料，學生容易得到解題所需要的兩個核心信息：（1）12月25日港口的潮水高度隨時間的變化情況；（2）超級巨輪進出港口的安全水位.

此時，教師需引導學生通過數學的眼光去看待實際問題：潮水高度隨時間的變化情況，其實就是研究兩個變量潮水高度y（cm）和時間x（h）之間的關系，在此過程中，引導學生復習函數的定義.已知安全水位，求什么時間段適合進出港口，即已知潮水高度y的取值范圍，求時間x的取值范圍.

總結" 像這樣，從實際問題出發立項，先分析所需信息，再確立子任務，從中抽象出數學模型（函數），將實際問題轉化為數學問題，通過解決數學問題，從而實際問題得解.

3.2" 深入探究，解決問題

任務1" 了解潮水高度隨時間的變化情況.

問題1" 根據函數圖象能夠得出哪些信息？

教學說明" 通過問題的分析，學生可以嘗試通過收集數據、列表、建系、描點來畫出函數圖象，從而也復習了函數的三種表達方式：解析法、圖象法、列表法.通過分析函數圖象的性質，如增減性、最值等來獲得兩個變量之間的關系.注意，在教學的過程中，要引導學生由數學問題回歸到實際問題，例如，函數圖象在某個時間段從左往右上升，說明y隨著x的增大而增大，回歸到實際問題，即表示該時間段在漲潮.同時，數據的收集又應該統計的相關知識.

任務2" 當潮水的高度超過260cm時，超級巨輪能夠安全進出港口.

問題1" x=4時，能安全進出港口嗎？

問題2" 畫出超過260cm時對應的函數圖象，最終解決實際問題.

教學說明" 問題1是為問題2的解決作鋪墊，幫助學生尋找相對應的函數圖象.通過對引例的分析，得到函數型項目化問題的解題步驟：實際問題（立項）→分析所需信息→確立子任務→抽象出數學模型→數學問題→最后回歸到實際問題.

3.3 "探究遷移，加強內化

例" W23（改編）.

表1

如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案？

素材1

圖a是一座石拱橋，圖b表示該石拱橋輪廓為拋物線型.某一時刻，測得此河段兩岸的寬度為20米，石拱橋可懸掛燈籠的最高點距離水面4米.據調查，該河段的最高水位比此時的水位高1.1米.

圖a

圖b

素材2

某地為迎接春節，計劃在拱形橋的橋拱上懸掛3只相連的紅燈籠，每只燈籠長度30厘米（連接處長度忽略不計），如圖c所示.為確保安全，最下面一只燈籠的底部距離水面不得少于1米；為了實用，每相鄰兩串燈籠間的間距設定為1米；為了美觀，要求在符合要求的位置均懸掛燈籠，并且最終懸掛的燈籠與橋整體要呈軸對稱分布狀態.

圖c

問題解決

任務1

確定橋拱形狀

在圖b中建立合適的平面直角坐標系xOy，并求出該拋物線的函數解析式.

任務2

探求懸掛范圍

為保證居民安全，請根據你所建立的平面直角坐標系，確定燈籠串懸掛位置縱坐標的最小值以及橫坐標的取值范圍.

任務3

擬定設計方案

請根據你建立的平面直角坐標系，給出一種滿足所有懸掛條件的燈籠串的數量，并計算出最右邊一串燈籠懸掛位置的橫坐標.

確立項目" 拱橋景觀燈的設計方案.

解決任務1" 確定拱橋形狀.

教學說明" 素材已說明拱橋形狀為一條拋物線，要求二次函數解析式，先要建立平面直角坐標系.（1）以最高點為頂點；（2）以最左邊為頂點；（3）以最右邊為頂點.在得到幾種建系方式的函數解析式后，幫助學生總結：拋物線的形狀由二次函數的二次項系數a來決定，幾種建系方式之間的聯系可看成圖象的平移.

解決任務2" 畫一畫燈籠可懸掛范圍.

教學說明" 幫助學生養成讀題習慣，學會抓住關鍵信息：這里的水面并不是指任務1中的水面，而是指最高水位.引導學生發現題目中的圖3已經給我們做出了說明，教授學生自主讀題的方式.得到平面直角坐標系中的懸掛范圍后，讓學生進行反思：實際生活中，如何描述懸掛的范圍？如可描述為：距離最高點水平距離各6米.再次由數學問題回歸到實際問題，同時也讓學生對點和點之間的相對不變性有所感知.

解決任務3" 擬定具體的設計方案.

教學說明" 由學生分小組討論，再由學生展示.問題解決后，再總結歸納三種建系方式之間的聯系，深度理解函數.

4" 課后反思與提升

4.1" 項目化試題研究復習有助于學生系統地建構知識體系

復習課的目的在于讓學生經歷問題的確立，問題的分解，問題的解決，讓整個知識脈絡在學生的腦海里始終流淌著，從而打通學生的“任督二脈”.這正如史寧中教授所述，項目化模型思想的本質是站在現實立場上，用數學的語言講述現實世界的故事，用現實的效果評價模型的功效，這樣的應用實現了數學與現實世界的融合，也使得數學的應用越來越廣泛.所以通過本節課的學習，學生更愿意去系統地建構自己的函數知識網絡構架，從而發覺函數在現實生活的應用.

4.2" 項目化試題研究復習有助于學生進行深度學習

項目式學習通過創設真實的問題情境，讓學生在具有挑戰性的問題解決過程中，提升解決問題的能力，培養數學的高階思維，提高學生的學習內驅力.本節課通過兩個函數型項目化試題的解決讓學生深入地理解函數問題的實質：通過現實數據的采集、整理，建立函數模型，通過模型解決、預測相關問題，讓學生真正理解函數的本質特征，從而有效地對函數問題進行深度學習.

4.3" 項目化試題研究復習有助于學生核心素養的提升

項目式試題的復習研究以開放的視角培養學生的創新意識，讓學生在參與實踐活動的過程中，充分體會到數學與現實生活的緊密聯系.在本節課堂教學具體實施中，在實現“關注教師教到關注學生學”轉變的基礎上，進一步“關注了學生數學知識獲得和數學思維的形成過程”.在這個意義上，教師充分把握數學知識體系與相應核心素養的整體性，保持知識最初概念提出到最后實際應用的一致性，在關注學生數學知識進階的同時關注學生核心素養進階.

參考文獻：

［1］鄭毓信.“數學與思維”之深思［J］.數學教育學報，2015，24（01）：1-5.

［2］洪燕君．基于義務教育數學課程標準的核心素養的理解與實施——訪談史寧中教授［J］．數學教育學報，2023，32（03）：64-67．