通過形數(shù)變換揭示概念本質(zhì)，培育學(xué)生理性思維

【摘 要】“用數(shù)對確定位置”是小學(xué)數(shù)學(xué)“位置與運(yùn)動”中的重點(diǎn)內(nèi)容之一。在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生會把方格紙上的點(diǎn)用數(shù)對表示，但要真正理解有序數(shù)對和實(shí)際情境之間的對應(yīng)關(guān)系，形成空間觀念是有難度的。在教學(xué)中，教師應(yīng)注重揭示概念本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成：從直觀到抽象，認(rèn)識方格圖；以點(diǎn)的變化，理解概念；從面的變化，掌握概念；從體的變化，應(yīng)用概念。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)對 數(shù)形結(jié)合 概念教學(xué)

“用數(shù)對確定位置”是人教版數(shù)學(xué)五年級上冊第二單元的教學(xué)內(nèi)容。筆者根據(jù)前測和訪談發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生都能用類似“第幾組第幾個(gè)”的方式描述二維空間中物體的位置。因此，對學(xué)生來說，把“第幾組第幾個(gè)”統(tǒng)一方向和角度后改成“第幾列第幾行”不難理解，把“第幾列第幾行”用數(shù)對符號化表示也不難理解，但要理解并靈活運(yùn)用實(shí)際情境、方格紙上的點(diǎn)、有序數(shù)對三者之間的對應(yīng)關(guān)系是有難度的。為此，筆者嘗試通過形與數(shù)的不斷變換，讓學(xué)生在探索中理解“用數(shù)對確定位置”的本質(zhì)。

一、從直觀到抽象，認(rèn)識方格圖

課始，筆者有意選擇教室里的座位作為情境，利用前測，產(chǎn)生矛盾，解決問題，“第幾列第幾行”應(yīng)運(yùn)而生，進(jìn)而把它改寫成數(shù)對也是順理成章的。

但實(shí)物圖中的位置和方格圖中的位置對五年級學(xué)生來說有比較大的區(qū)別，實(shí)物圖中有物，“一塊地方”代表一個(gè)位置，比較形象；方格圖中無物，一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)位置，比較抽象。如果能借助同一件事把實(shí)物圖和方格圖關(guān)聯(lián)起來，將有助于學(xué)生理解實(shí)際情境、方格紙上點(diǎn)與有序數(shù)對之間的對應(yīng)關(guān)系，為增強(qiáng)空間觀念添磚加瓦。

（一）從座位圖到圖示，再抽象到方格圖

小倪的位置在第6列第2行，把第6列第2行看成垂直的兩條直線，她的位置就在這兩條直線相交的地方，這個(gè)相交點(diǎn)用圓表示出來。以此類推，每個(gè)人的位置都可以用圓表示出來。教師隱去照片，又將又密又亂的圖呈現(xiàn)在學(xué)生面前。看到這樣的圖，思維活躍的學(xué)生立刻想到要把它規(guī)整一下。此時(shí)，教師借助課件動態(tài)演示，將這些圓繼續(xù)變化，逐漸縮成一個(gè)點(diǎn)。

這一系列的變化，讓學(xué)生眼前一亮，他們驚嘆“還可以這樣”。教師繼續(xù)追問“現(xiàn)在你還能找到自己的位置嗎？”教師用“列、行”兩條直線把這個(gè)點(diǎn)凸顯出來（圖1），然后讓學(xué)生利用剛才的方法想象自己的位置在哪兩條直線相交的地方，把學(xué)生的想象直觀地表示出來，生成簡單的方格圖。

（二）完善方格圖

方格圖是平面直角坐標(biāo)系的直觀化，對提升小學(xué)生空間觀念有重要作用。本節(jié)課是學(xué)生第一次接觸完整的方格圖，因此，讓學(xué)生經(jīng)歷方格圖的完善過程是非常有必要的。

師：（出示坐標(biāo)圖）這張圖從1開始，而數(shù)學(xué)中往往把誰作為起始？

生1：0。

師：所以這個(gè)方格圖還可以繼續(xù)完善。看，向左、向下長了。

師：這是第幾列？

生2：第1列。

生3：第0列。

師：有兩種答案了，到底是第1列，還是第0列？請說明理由。

生3：看下面的數(shù)字就可以了，下面數(shù)字是0，所以是第0列。

（師繼續(xù)要求學(xué)生找第0行、第1列、第1行）

師：這個(gè)圖叫“坐標(biāo)系”，在初中時(shí)將會學(xué)習(xí)。在坐標(biāo)系中，有橫軸和縱軸，橫軸上的數(shù)從左往右逐漸變大，縱軸上的數(shù)是從下往上逐漸變大。

勾勒出有原點(diǎn)的方格圖將幫助學(xué)生初步建立直角坐標(biāo)系的原始輪廓，在原來的基礎(chǔ)上生長出第0列第0行。通過交流、比較、說理等，學(xué)生明白為什么是“第0列”；在看一看、想一想、說一說的過程中，學(xué)生不僅理解0列0行是怎么來的，也掌握了判斷第幾列第幾行的方法，為后面用數(shù)對表示格點(diǎn)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、從點(diǎn)的變化，理解概念

本次教學(xué)中，方格圖是從座位圖中一點(diǎn)一點(diǎn)地抽象來的，能夠更好地幫助學(xué)生把實(shí)際情境、方格中的點(diǎn)、數(shù)對三者一一對應(yīng)起來。教學(xué)中，教師通過點(diǎn)的三次變化，使數(shù)與形之間不斷變換，幫助學(xué)生理解概念。

（一）一一對應(yīng)，理解數(shù)對的特征

教師出示（5，3），在方格圖中找到對應(yīng)的點(diǎn)，并請符合條件的學(xué)生起立，提問：“你發(fā)現(xiàn)了什么？”

生1：一個(gè)位置只有一個(gè)同學(xué)。

生2：相交的地方只有一個(gè)點(diǎn)，也就是代表只有一個(gè)同學(xué)。

學(xué)生通過觀察比較、獨(dú)立思考、分析交流，明白一個(gè)數(shù)對只能代表一個(gè)同學(xué)的位置，一個(gè)同學(xué)的位置也只能用一個(gè)數(shù)對來表示。一個(gè)數(shù)對、一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)同學(xué)的位置三者是一一對應(yīng)的。啟發(fā)式的教學(xué)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（二）舉一反三，理解數(shù)對與數(shù)的區(qū)別

教師在方格圖中出示兩個(gè)點(diǎn)，讓學(xué)生用數(shù)對表示（4，1）、（1，4），讓符合條件的學(xué)生起立，并提問：“你們發(fā)現(xiàn)了什么？”

生1：數(shù)對中的兩個(gè)數(shù)前后交換了位置。

生2：相同的兩個(gè)數(shù)，它們前后位置不一樣，對應(yīng)的位置也不一樣。

有了實(shí)際情境這個(gè)直觀做支撐，學(xué)生立即發(fā)現(xiàn)數(shù)對中的兩個(gè)數(shù)不能交換位置，若交換則表示的位置就不同了。這樣的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生非常容易理解數(shù)對中的兩個(gè)數(shù)是有順序的。將抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的情境，符合小學(xué)生“具體運(yùn)算階段”的思維特點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生在同化和順應(yīng)中完成知識的建構(gòu)。

（三）創(chuàng)造性地解決問題

游戲1：教師報(bào)一組處在同一列的數(shù)對，讓符合條件的學(xué)生起立，并提問：“你們有什么發(fā)現(xiàn)？”

生1：他們都在同一列。

師：為什么會在同一列？

生2：因?yàn)榱猩系臄?shù)都是3。

教師利用課件在方格圖中呈現(xiàn)這些數(shù)對，讓學(xué)生再次直觀感受列上的數(shù)相同，數(shù)對就在同一列。

師：你們能不能像老師這樣，報(bào)一組數(shù)對，讓一行的同學(xué)起立？

（學(xué)生回答）

游戲2：板書（□，3），請符合條件的學(xué)生起立，其他學(xué)生點(diǎn)評。

師：你們能否報(bào)一個(gè)數(shù)對，讓一列的同學(xué)起立？

（學(xué)生回答）

游戲3：板書（☆，☆），相同的圖形表示相同的數(shù)，哪些同學(xué)可以起立？

請相應(yīng)同學(xué)起立，課件同步呈現(xiàn)結(jié)果。

師：這些數(shù)對有什么特點(diǎn)？

生：剛好是一條斜線。

師：如果我們教室里的人足夠多，下一個(gè)數(shù)對是誰？這條線還能延長嗎？

通過三次游戲，不斷打破學(xué)生的元認(rèn)知，學(xué)生對數(shù)對的認(rèn)識從一個(gè)到多個(gè)，從孤立到聯(lián)系。點(diǎn)的多角度、多層次變化，讓學(xué)生能直觀感受并描述數(shù)對的特征，闡述數(shù)對和實(shí)際情境、方格中的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系。學(xué)生自然而然地領(lǐng)會到：數(shù)的理解可以借助形的直觀支撐，增強(qiáng)幾何直觀。

三、從面的變化，掌握概念

前面的教學(xué)一直是兩個(gè)“形”和點(diǎn)的變化。要想學(xué)生真正掌握概念，教師需要把數(shù)對置于新的情境，放到一個(gè)“形”和面中。因此，教師設(shè)計(jì)了“面隨方格系列變化”的環(huán)節(jié)。

（一）完整的方格

出示圖2，讓學(xué)生用數(shù)對表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。

此環(huán)節(jié)檢測學(xué)生能否用數(shù)對表示平面圖形的點(diǎn)，從實(shí)際教學(xué)來看，有少量學(xué)生還是會先寫行再寫列。通過糾錯(cuò)、析錯(cuò)，所有學(xué)生都能掌握基礎(chǔ)知識。

（二）缺少列數(shù)和行數(shù)

師：三角形很調(diào)皮，來到了沒有列數(shù)和行數(shù)的方格中。只告知點(diǎn)A在（3，4），那點(diǎn)B和點(diǎn)C用數(shù)對怎么表示（圖3）？

生1：我的想法是這樣的。A點(diǎn)在第3列第4行，我就把A所在的第3列標(biāo)出來，3后面4，再后面是5、6、7。同樣，把第4行也標(biāo)出來，其后面是5、6、7。B就是（7，4），A就是（6，7）。

在這樣全新的情境中，學(xué)生需要解讀已知數(shù)對的含義，通過合理推理方能解決問題。在這一環(huán)節(jié)，教師不僅引領(lǐng)學(xué)生描述數(shù)對的內(nèi)涵，還培養(yǎng)學(xué)生用已知推出未知的分析能力，讓學(xué)生同時(shí)感悟到：對形的分析可以借助于對數(shù)的理解。

（三）缺少格子

師：三角形再次調(diào)皮了，又來到了缺少格子的方格中，只知道點(diǎn)B在（9，3），那點(diǎn)A和點(diǎn)C的位置怎么表示（圖4）？

有了前面解決問題的經(jīng)驗(yàn)和方法，學(xué)生在這個(gè)新困難面前容易產(chǎn)生正遷移，他們有機(jī)會用剛學(xué)會的新本領(lǐng)嘗試解決新的問題。學(xué)生在不斷解決問題的過程中，掌握概念，感悟數(shù)學(xué)思想方法，獲得基本活動經(jīng)驗(yàn)，提升思維品質(zhì)，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

四、從體的變化，應(yīng)用概念

數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活。為了讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，同時(shí)激起他們的探究欲望，課前，教師特地安排學(xué)生觀看“活字印刷術(shù)”相關(guān)視頻，并設(shè)置懸念——“演員表演得那么整齊，除了辛勤的付出，還用到了數(shù)學(xué)中的知識，想知道嗎？”在課尾，讓學(xué)生用所學(xué)知識對這個(gè)問題做出解釋。

師：現(xiàn)在，你們知道是什么使得表演這么整齊嗎？

生1：數(shù)對。

師：如果你是指揮家，你會怎么指揮呢？

生2：想讓哪些人站起來，就提前報(bào)這些人所在位置的數(shù)對。

生3：每個(gè)動作哪些演員需要做，用數(shù)對和他們交流。

師：數(shù)對在生活中還有非常廣泛的應(yīng)用，課后請同學(xué)們做個(gè)有心人，去觀察、搜集生活中的數(shù)對。

雖然學(xué)生的回答有點(diǎn)稚嫩，表述也不夠嚴(yán)謹(jǐn)、完整，但他們已經(jīng)初步感知到數(shù)對對大型演出的作用。這樣的設(shè)計(jì)，既讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的趣味、價(jià)值和意義，培養(yǎng)了應(yīng)用意識。

縱觀上述教學(xué)片段，教師從生活到數(shù)學(xué)再到生活，從點(diǎn)到面再到體，雙線并行，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生在形、數(shù)的不斷變換中感悟數(shù)對形的抽象和數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，形成“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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