對初中數學尺規作圖的一點思考

【摘要】尺規作圖是初中平面幾何數學的重要組成部分，尺規作圖的思想也有助于我們更好地理解幾何概念。通過尺規作圖，我們可以更加清晰地認識到幾何形狀的本質特征，以及它們之間的相互關系。尺規作圖也是發展數學核心素養的良好載體。

【關鍵詞】尺規作圖；發散思維；學習潛能

教育部2022年發布的《義務教育課程方案》中提出：要變革育人方式，強化學科實踐，注重做中學、用中學、創中學，突出學科思想方法和探究方式學習，引導學生參與學科探究活動，經歷發現問題、探究問題、解決問題、建構知識、運用知識、創造價值的過程，體會學科思想方法。初中數學中尺規作圖的內容就是通過“做”引發學生學習、發現和探究的興趣，以手腦并用的方式，帶領學生在有理有據、有始有終、手腦聯動的主動學習過程中成長，是“做中學”在數學課程中的一個具體體現。同時尺規作圖與數學核心素養主要表現中的創新意識、推理意識、幾何直觀也是密切相關的。那么“尺規作圖”到底是什么？它有什么教育意義？尺規作圖在教學中應該追求什么？教學中應如何開展尺規作圖的教學呢？

一、尺規作圖的由來

尺規作圖是起源于古希臘的一個古老的研究課題，指用沒有刻度的直尺和圓規，在有限次數的前提下，解決不同的平面幾何作圖問題。尺規作圖將工具限定為無刻度直尺和兩腳可開合的圓規，能相互結合發揮效能，主要體現在：1.過兩個已知點作一條直線；2.確定兩條已知直線的交點；3.已知圓心和半徑作圓；4.確定已知直線和已知圓（弧）的交點；5.確定二條已知圓（弧）的交點。上述5條也稱為作圖公法。

二、尺規作圖的原理與核心思想

尺規作圖要求準確的測量和仔細的推理，需要掌握一些基本的作圖技巧和幾何定理。但尺規作圖并不僅僅是簡單的機械操作，更重要的是思考和探索的過程。尺規作圖的核心思想就是將任意形狀的圖形劃分為一系列基本的幾何形狀，如線段、圓、角等，然后通過一些基本的操作，如加、減、乘、除乃至平方等，來組合這些基本形狀，最終得到所需的圖形。尺規作圖的基本操作有兩個：作圓和作線。現舉例說明尺規作圖的思考過程。

假設我們想要作出一個等邊三角形，已知條件是三邊相等，我們可以使用圓規來作出這個圖形。首先，畫一條線段AB，以A為圓心，AB為半徑，畫一個圓。接下來，以B為圓心，AB為半徑，再畫一個圓，兩圓相交于點C和點D，連接點C和D，就得到了等邊三角形ABC和ABD。這個方法的原理是利用了圓的性質：圓上任意一點到圓心的距離都相等。以A為圓心，AB為半徑的圓上的任意一點到A的距離都等于AB，同樣，以B為圓心，AB為半徑的圓上的任意一點到B的距離都等于AB。因此，當我們找到這兩個圓的交點C和D時，就可以確定它們到A和B的距離都等于AB，這就形成了兩個等邊三角形。

那么，尺規作圖是不是能做出所有的幾何圖形呢？答案：不是。因為尺規作圖只允許使用無刻度直尺和圓規這兩種工具，而不允許使用刻度尺和角度尺等其他工具，這意味著我們無法直接測量角度和長度，需要通過其他手段來推導出它們的值。但它依然具有很高的數學價值與意義，尤其在基礎教育階段。

三、尺規作圖的意義

首先，尺規作圖培養了學生思維的精確性和嚴謹性。在使用直尺和圓規進行作圖時，每一步都需要準確無誤，稍有偏差就可能導致整個圖形的不準確。比如作一條線段的垂直平分線，需要精確地確定圓心和半徑，以保證作出的直線確實是垂直平分線。這種精確性的要求可以幫助學生在學習過程中養成認真細致、一絲不茍的習慣。其次，尺規作圖有助于學生理解幾何概念和定理。通過實際動手作圖，可以更直觀地感受如角平分線的性質、垂直平分線的性質等幾何知識。例如，在作角平分線時，我們可以清晰地看到角平分線上的點到角兩邊的距離相等這個定理的具體體現。再次，尺規作圖激發了學生的創造力和探索精神。有時候，面對一個復雜的作圖問題，需要不斷嘗試不同的方法和步驟，尋找最優解。這個過程中，可能會發現一些新的規律和技巧，拓寬學生的思維視野。

通過尺規作圖，學生可以更加清晰地認識到幾何形狀的本質特征以及它們之間的相互關系。尺規作圖也是發展數學核心素養的良好載體，即從數學的角度看問題以及有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確地表達的意識與能力。尺規作圖可以實現思維實驗與動手實驗的融合，也可以實現幾何直觀與邏輯推理的統一，讓學生充分經歷尺規作圖的問題解決過程，培養和發展學生的數學核心素養。義務教育階段要求學生能用尺規完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線。它們是作圖的基礎，但由于教材編排和新知邏輯順序的原因，5個尺規作圖零散分布在不同年級的不同章節，因此在教學過程中要關注它們之間的關聯性，注重每一個作圖的規范性和應用性。以下面兩道中考試題為例：

1.（2022海南）如圖1，在△ABC中，AB=AC，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交BA于點M，交BC于點N，分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內部相交于點P，畫射線BP交AC于點D，若AD=BD，則∠A的度數是（ ）

A.36° B. 54°

C.72° D.108°

題目1考查基本作圖，通過閱讀畫圖的過程以及圖例的展示，學生從中分析思考：本題可以歸納為基本作圖“作一個角等于已知角”，進而結合題干信息解決問題。難度不大，但有一定的靈活性。本題實際上是逆向思維的一種體現。

2.（2019陜西）如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高。請用尺規作圖法，求作△ABC的外接圓。（保留作圖痕跡，不寫做法）

題目2涉及到等腰三角形“三線合一”的性質、三角形的外接圓、外心等相關知識，有一定的綜合性。借助于預期草圖，一步步分析圓心所需滿足的條件，將復雜問題逐漸梳理清晰，有助于學生思考構圖思路。基本解法思路可以回歸到基本作圖“作一條線段的垂直平分線”，或者回歸到基本作圖“作一個角等于已知角”。題目2問題簡潔卻有思維含量，直指初中階段核心知識點，同時可以一題多解，對于培養學生邏輯推理、幾何直觀、發散性思維能力等都很有價值。

通過對兩道尺規作圖問題的分析發現：解決尺規作圖類問題，可以很好地激發學生的學習潛能，培養學生逆向思維、發散思維的能力，是發展學生數學核心素養的載體。這也十分符合《義務教育課程方案》中的要求。

四、尺規作圖的教學

下面以華東師大版七年級上冊線段的長短比較為例論述尺規作圖如何開展教學。

記得你和同學是怎樣比較個子高矮的嗎？可能大家通常會有兩種比較辦法，一是讓兩人分別說出自己的身高，對比一下；二是讓兩人面對面地站在同一塊平地上，腳底齊平，觀察兩人的頭頂，直接比較出高矮。那么，我們如何比較兩條線段的長短呢？（以問題為驅動）

你一定會發現，兩條線段也可以通過類似的方法比較長短。第一種方法是用刻度尺量一下，就可以知道它們的長短；第二種方法是移動兩條線段，讓它們的起點重合，觀察另外兩個端點的位置比較長短。（在問題的驅動下引導思考解決方法）

提問：如何用尺規畫出一條線段，使其長度等于已知線段的長度？（提出具體的數學問題，并使用尺規作圖解決問題）

教材設置為在問題的驅動下引導學生思考兩條線段長度的比較方法，并思考得出兩種方法，然后在用尺規作圖的情況下進行比較。這樣的教學過程清晰、有層次、有邏輯，很符合初中學生的身心特點和學習能力。在學生探索過程中培養他們的想象力、探索欲和勇氣；在表達中培養他們的邏輯；在多種理解的交互下讓孩子們對圖形本質特征有更深刻的理解。

【參考文獻】

[1]張彩云，代欽.傅種孫幾何作圖思想探析—紀念傅種孫先生誕辰120周年[J].數學通報，2019（01）.

[2]《數學辭海》委員會.數學辭海·第1卷[M].太原：山西教育出版社，2002.