基于APOS理論的高中數學概念課教學設計與反思

摘要：APOS理論是由杜賓斯基提出，這種學習理論是以建構主義為出發點，真實地將學習和理解高中數學概念的過程反映出來，它的核心是指導學生從生活實例、探索、活動中學習數學知識，分析數學問題.文章結合“數系的擴充和復數的概念”這個課例，由APOS理論四個階段延伸出六步驟教學環節，幫助學生理解復數概念，從而讓學生在大腦中抽象出自己的概念圖式.

關鍵詞：概念教學； APOS理論；復數概念；教學設計

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）06-0060-04

收稿日期：2024-11-25

作者簡介：李小梅，本科，一級教師，從事高中數學教學研究.

在高中課堂教學中，我們發現學生對于數學概念的學習不是很理想，在解題時會出現各種錯誤，原因就在于對相應的數學概念沒有及時理解.因此，有效的概念教學，除了能提高學生的解題質量外，還能教會學生學習類似概念知識的方法.但在教學中，許多教師都是匆匆講完定義就開始做題，從而導致一些高中數學概念課成為一節習題課，這種模式常常導致學生對概念一知半解，運用不靈活[1].而杜賓斯基提出的APOS四階段理論就很適用于概念教學，該理論對學生的概念理解有所幫助.

1APOS理論簡述

APOS學習理論從建構主義出發，將數學概念的學習分為如下四個階段：“Action”（操作）、“Process”（過程）、“Object”（對象）、“Schema”（圖式）[2].它主要是幫助學生從探索出發理解概念，進而用不同的問題情境加深學生對概念的理解.

1.1操作（Action）階段——創設情境引入概念

操作階段就是利用數學情境讓學生體驗知識的發生發展過程，從而體會到概念與概念間的聯系.

1.2過程（Process）階段——規律探索提煉概念本質

教師在課堂教學中要學會發揮學生的主體性，用一系列的操作作為學生思考的過程，充分引入情境教學，讓學生能夠自己對概念進行概括.

1.3對象（Object）階段——分析概念的內涵與外延，辨析概念

概念作為學生要學習的對象，有了前面過程的思考，教師需要引導學生給概念對象下定義及符號表示，讓學生更加具體地揭示概念的關系.

1.4圖式（Scheme）階段——知識升華，形成概念結構

圖式階段要求學生通過前面概念的學習，以及對例題與變式的思考，將知識進行升華，從而形成自身的概念結構.

2六步教學環節流程及說明

基于上述APOS的四個階段，以下得出概念教學的六步教學環節，具體流程如圖1.

基于APOS理論的概念教學設計六步教學環節包括：引→提→探→懂→精→用，下面是對這六步的含義進行說明.

“引”是指情境的引入，教學中，要根據不同概念內容及特點創設出合理且符合學生認知規律的情境，讓學生對即將學習的新概念產生求知欲.

“提”就是根據情境產生的疑問讓學生主動提出問題，從而對相應問題進行思考，特別是對問題中涉及的高中數學課里的未知概念和未知知識點，教師應引導學生對問題提出解決方法.

“探”是指對問題、對活動的探究.“探”主要在于讓學生弄清概念是什么，注重的是為什么概念是這樣的過程.所以，教師在概念的教學設計中要設置一些合理的符合學生認知規律的探究活動，讓學生理解本節課所學的概念是什么，表述的方式是怎樣的.

“懂”即理解，能完整地表達出所學的新概念，能將高中課程里的概念數學化、符號化，從而理解概念的本質.教師要將概念里包含的要素以及特點強調清楚，為利用概念解決問題作好鋪墊.

“精”指精細概念，對概念進行辨析，辨別出不同概念間的異同點，使概念達到精致化，從而具體化.

“用”指的就是概念的運用以及知識遷移.利用新學的概念解決新的數學問題時，教師可以先讓學生獨立思考，然后再稍作引導，這樣學生才能將新舊概念相互聯系，進而明白如何運用新的概念.

3“數系的擴充和復數的概念”教學設計

為了把發現創造的機會還給學生，把成功的體驗讓給學生，教材采用APOS理論引導教學，讓學生體驗探索概念形成的樂趣.復數的引入是中學階段數系的最后一次擴充，《普通高中數學課程課標（2017年版）》[3]提到，可以創設一些問題情境，讓學生逐步了解數系的擴充過程，體會當實際需求與現有數學知識產生矛盾時，如何從現有的運算規則、方程理論得到啟發，進而體現數系擴充的價值，所以本節內容通過創設情境，讓學生參與活動去構建概念就尤為重要.

3.1活動階段（創設情境，發現問題）

第一步：“引”.

情境：如何將10分成兩部分，使它們的乘積等于40？這是意大利數學家卡爾達諾曾提出的一個著名問題.

師生活動：上述問題用數學符號表示就相當于研究二次方程x2-10x+40=0是否有兩個解.

追問：根據初中學習的一元二次方程知識，我們該如何探究上述方程的解呢？

師生活動：采用配方法變形得到（x-5）2=-15，

這說明方程在實數范圍內無解.

追問：方程（x-5）2=-15是否有解的問題可不可以變換成一般的情形呢？

師生活動：教師引導學生將方程（x-5）2=

-15一般化，也就是解決方程x2=-a（agt;0）是否有解的問題，再進一步可以轉化為x2=-1是否有解.

設計意圖從數學家卡爾達諾的著名問題入手，創設數學文化情境，引發學生的認知沖突，從而產生對數系新領域的探索

欲望，進而激發學生的求知欲，順利引入新課.

3.2過程階段（提出問題，探究本質）

第二步：“提”.

提出問題：我們知道方程x2=-1在實數范圍內是沒有解的，此時在實數范圍內數已經不夠用，這種情形從小學到現在我們已經經歷過多次，這就是我們不斷學習的數的擴充問題.再次回顧以前解決“數不夠用”問題的方法，具體過程如圖2.

我們發現，引入新元素能讓數集不斷擴大，方程得到求解，受此啟發，提出想法，我們可以嘗試引入新元素，使得x2=-1有解.

師生活動：引入新數“i”，它取自imaginary（想象的，假想的）一詞的詞頭，是由數學家歐拉提出的，并規定i2=-1.

設計意圖回顧數系擴充的歷史發展過程，讓數系的擴充更加完善，也為“i”的引入提供借鑒方法，揭示類比學習的思想.讓學生主動提出探究數集擴充的必要性.

第三步：“探”.

追問：實數集里加入新的元素“i”后構造出一個新的集合A，我們將兩個實數a，b與“i”進行任意的加法、乘法運算，得到的新數有什么形式呢？

師生活動：可以發現新數有如下的形式：ai，a+bi，ab+ai，上述這些新數具有相同的特征，也就是實數+實數×i，通過比較發現，原來的所有實數以及i也能用這種形式呈現：實數+0×i，0+1×i.

教師總結：通過探究發現，新的數集里面的數都可以寫成固定的形式，也就是a+bi的形式，這里要求a∈R，b∈R.

設計意圖弗賴登塔爾的再創造教育理論指出：學生通過課堂中的體驗與探究，重新將要學的東西發現或創造出來.數系經過擴充后仍然要保持原來的運算性質，根據這一特征，讓學生感受數學形式和符號化的過程，從而培養學生的數學抽象、數學建模的核心素養.

3.3對象階段（分析問題，精細概念）

第四步：“懂”.

給出概念：形如a+bi（a∈R，b∈R）的數叫做復數，用字母z表示，其中a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部，所有復數所成的集合叫做復數集，記為C，即C=a+bi|a∈R，b∈R .

提問：兩個復數相等的充要條件是什么？

師生活動：兩個復數可以設為a+bi和c+di，若a+bi=c+di，則a=c，b=d.

追問：復數何時為實數？a+bi=0需要滿足什么條件？

師生活動：學生思考后回答，教師適當作補充.當b=0時，復數為實數；當a=b=0時，a+bi=0.

追問：在實數集中，兩個數可以比較大小，那兩個復數可以比較大小嗎？

師生活動：復數中i的大小很難界定，所以可以把復數看成有序實數對，因此兩個復數不能比較大小.

設計意圖類比實數集，再對復數概念的一些問題進行探究，給出兩個復數相等的含義以及復數不能比較大小，幫助學生理解辨析.

第五步：“精”.

提問：舉出如下幾個復數-2+13i，2+i，1，-i，i，0，這些復數的實部、虛部分別是什么？

師生活動：這幾個復數中有一些比較特殊，究其原因，得到復數的幾種分類：

復數z實數（b=0）虛數（b≠0）純虛數（a=0）非純虛數（a≠0）

追問：有了上述分類后，大家能發現復數集R與實數集R之間有怎樣的關系？

師生活動：每個實數都可以看成是b=0的復數，從而實數集R是復數集R的子集，從而得到如圖3所示的venn圖：

設計意圖對復數進行分類能強化復數的概念，教師引導學生比較復數集與實數集的異同，精細概念，能加深對復數概念的深層次理解.

3.4圖式階段（知識遷移，數學應用）

第六步：“用”.

例1m為何實數時，復數z=（2+i）m2-3（i+1）m-2（1-i）是： （1）實數；（2）虛數；（3）純虛數．

師生活動：找到這種類型題的方法規律，由學生歸納，教師給予引導．

例2求滿足下列條件的實數x，y的值：（x+y）+（y-1）i=（2x+3y）+（2y+1）i.

師生活動：左右兩邊的復數均有實部和虛部，當其形式化為a+bi后，利用復數相等的充要條件列出方程（組）求解．

跟蹤訓練：若關于x的方程3x2-a2x-1=（10-x-2x2）i有實根，求實數a的值．

師生活動：設方程的實根為x=m，則原方程可變為3m2-a2m-1=（10-m-2m2）i.從而轉化成復數和0相等，進而將式子化簡成復數a+bi的形式，即3m2-a2m

-1-（10-m-2m2）i=0，最后利用兩復數相等的充要條件列出式子3m2-a2m

-1=0，10-m-2m2=0，解得a=11或--715.

設計意圖例1、例2以及跟蹤訓練是為了鞏固學生對復數分類標準及相等含義的理解，從而將復數的概念及時內化，起到學以致用的效果，進而滲透轉化與化歸的思想.

4反思與探討

“于活動中思考，從思考中理解，在理解中建構”，這是APOS理論讓筆者感觸最深的.在上面的教學設計里，筆者圍繞“活動”“過程”“對象”“概型”這四個階段，設計不同的問題情境與練習，利用問題、探究以及題型的變式讓學生對復數概念有了本質的理解.

4.1創設情境不是數學概念教學的最終目的

在高中數學概念的形成過程中，往往需要尋找它與生活的聯系，這就要求教師能夠采用多樣的問題情境來讓學生感受概念，但只有問題情境是不夠的，還需要學生的配合與思考.本節課的“活動環節”創設了數學文化背景，提出了現有數系不能解決的問題，讓學生進行探究，參與復數概念的構建，從而感受概念之間的聯系.

4.2過程階段與對象階段在概念建立中的價值

“過程階段”及“對象階段”是APOS理論的重中之重，對于“過程階段”“對象階段”可以理解如下：（1）高中數學概念往往具有抽象性，所以抽絲剝繭地將這抽象的內容轉化成熟識的數學問題就需要一段過程；（2）對于不同問題、不同概念，最終思考的結果如何呈現，這都是“過程階段”需要呈現的內容.過程階段與對象階段可以是往復序進、循環上升的.本節課在教學方程的解的過程中，把問題拋給學生，先思考再引導，讓學生初步對復數的定義、分類、相等等相關概念有所理解，這體現了APOS理論的最大特征，即讓問題經歷思維的內化、壓縮，從而對數學概念有清晰的認識與理解.

4.3圖式階段在概念教學中是呈螺旋式上升的

圖式階段的學習是建立在學生已經對概念有深刻理解的基礎上進行的，教師可以利用計算、證明等不同的練習讓學生加以鞏固，圖式階段是對前面三個階段的一個總體把握.在學生已有的復數概念認知基礎上，本節課設計了利用復數有關概念解決問題的教學環節，進一步讓學生對于概念的辨析與理解有所啟發，進而能夠熟練地將概念作為一個解決問題的工具，構建出學生自己的概念模式.

5結束語

如果把教學看成一門藝術，那么概念課教學則是藝術中的明珠[4].我們在進行概念教學時，如若能將APOS理論貫徹其中，相信學生對于概念的學習與理解也會更加深刻.

參考文獻：

［1］ 蔡海濤，林運來.核心素養下高中數學概念課教學策略[J].數學通報，2019，58（09）：20-25，66.

[2] 林梅，余泉.基于APOS理論的“四階段八步”概念教學設計：以“對數函數”為例［J］.數學教學研究，2023，42（02）：15-19，54.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[4] 徐德同.關于概念教學的幾點思考[J].數學通報，2015，54（03）：23-26，29.

［責任編輯：李慧嬌］