核心素養導向的高中數學建模課堂實踐探究

摘要：文章深入剖析了在核心素養培養目標指導下，高中數學建模的重要性和實際價值，通過翔實的分析和討論，揭示高中數學建模對于學生核心素養提升的重要作用，并以此為基礎，以“指數函數模型和等比數列模型”的教學實踐為例，展開對高中數學建模課堂教學方式和方法的探索.旨在能夠通過這種實踐和探索，找到更加有效的教學策略和方法，以期在達成高中數學教學目標的同時，更好地實現對學生核心素養的培養.

關鍵詞：核心素養；數學建模；課堂實踐

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）06-0008-04

收稿日期：2024-11-25

作者簡介：楊月瑩，博士，高級教師，從事數學教學研究.

基金項目：廣東省教育規劃2021年度一般課題“基于學科大概念的數學情境微模型課程開發與實施的研究”（項目編號：2021YQJK603）.

高中階段開展數學建模課堂教學遠遠超出了單純的數學知識和技巧的傳授，將為學生打開一個全新的視野.傳統的數學教學中，學生往往只是被動地接受數學知識，而缺乏將其應用于實際問題的能力.通過數學建模，學生能夠更深刻地理解數學的本質和價值，提高數學應用能力[1].數學建模問題比較復雜多樣，學生必須具備創新思維，學會與他人合作、交流和分享.數學建模問題涵蓋眾多領域，解決問題的過程就是拓寬視野和知識面的過程，增強跨學科綜合能力的過程.隨著社會對于創新人才的需求越來越迫切，數學建模作為一種跨學科、創新性的教學方式，對于培養具有創新精神的人才是非常重要的[2].鑒于此，我們開展了數學建模課堂教學實踐研究.

1核心素養目標下高中數學建模的重要價值

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對于數學建模的特點表述為“數學建模是通過對現實問題的數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識和方法構建模型來解決問題的過程”，數學建模的具體步驟是“在實際情境中站在數學視角發現問題、提出問題、分析問題、構建數學模型、解出結論、驗證結果和改進模型、解決實際問題”，數學建模的作用是“把數學當作工具來解決實際問題的基本手段，是數學應用的重要形式，也是推動數學發展的動力”.《課程標準》中，數學建模不再僅僅是數學知識的一種應用方式，更是提升學生創新思維和實踐能力的關鍵途徑，是培養學生全面數學素養的重要環節.

高中數學建模強調從實際問題出發，通過抽象、建模、求解、驗證等一系列步驟，達到解決問題的目的.這一過程不僅要求學生掌握扎實的數學基礎知識，還需要他們具備將數學知識與實際問題相結合的能力，以及運用數學方法解決實際問題的能力[3].教師通過開展數學建模的教學實踐活動，可以促使學生更好地理解和掌握數學知識，達成增強數學學習的興趣和動力的目標，鍛煉學生在面對復雜問題時獨立思考、勇于探索、敢于創新的解決問題能力.

理解和領悟《課程標準》中對于高中數學建模的理論價值和實踐意義.首先，要深刻認識到數學建模在數學教學中的重要性.數學建模不僅是一種數學應用技能，更是一種重要的思維方式和解決問題的方法[4].其次，要注重數學建模的實踐應用.數學建模的教學只有結合具體恰當的實際問題進行教學，才能讓學生更好地理解模型的理論和方法[5].而且，還要加強數學建模與其他學科的融合.數學建模不僅是數學學科內容的教學，還與其他學科密切相關，跨學科的教學方式，可以讓學生更好地理解和掌握學科綜合知識，提高他們的綜合素養[6].

2核心素養導向的高中數學建模課堂實踐

2.1設定數學建模課程目標

高中數學中，指數函數模型的教學目標是學生能夠理解指數函數的基本概念、性質和圖象，掌握其應用，并能用其解決簡單實際問題，這有助于全面理解函數概念.等比數列模型教學基于數列基本概念、性質及等差數列，目標是使學生理解等比數列特性和公式，掌握其應用，解決特定增長或衰減問題.通過學習，學生可深入理解數列與函數聯系，提升數學思維靈活性和深度.

指數函數模型與等比數列模型都是研究數量變化規律的數學模型，涉及增長或衰減.指數函數模型描述連續變化的數量，如人口增長；等比數列模型描述離散變化的數量，如銀行復利.兩者形式不同，但本質相同.指數函數模型用連續函數表達式描述，圖象為連續曲線；等比數列模型用離散數列描述，圖象為離散點.指數函數模型應用更廣，描述復雜連續變化；等比數列模型適用于描述特定增長或衰減的離散過程.

根據課程目標，結合學生認知水平和需求，指數函數模型教學需引入實際問題，讓學生理解應用價值；等比數列模型教學應培養邏輯思維和歸納推理能力，掌握求解方法.加強兩個模型之間的聯系和對比，使學生能夠更好地理解它們的本質區別和聯系，從而形成完整的數學知識體系.

2.2構建數學模型教學框架

高中數學建模教學不是單獨成體系的，知識點之間有層次也有關聯，需要系統化、綜合化開展教學.比如指數函數模型的應用范疇很廣泛，在等比數列模型中，再次有指數函數模型的體現，但指數函數模型是在高中數學人教A版必修一中詳細展現過，等比數列的模型出現在人教A版選擇性必修二中，這兩部分知識有很大程度的關聯，也有知識的層次遞進，在教學安排上也有一定的時間跨度.為了妥善處理指數函數模型與等比數列模型這兩部分知識的講解，并確保它們之間的關聯性和層次遞進性得以充分體現，我們要構建數學模型教學的框架體系.

首先，在教學計劃上，我們應提前規劃好這兩部分內容的教學順序和時長.由于指數函數模型是基礎，因此在教學人教A版必修一中的指數函數模型時，我們需要確保學生對其有深入的理解和掌握，這包括指數函數的定義、性質、圖象以及模型應用等方面.同時，在教授過程中，我們可以適當引入一些與等比數列相關的例子，為后續的等比數列教學埋下伏筆.

其次，在教授人教A版選擇性必修二中的等比數列模型時，我們可以從回顧指數函數模型開始，幫助學生建立起兩者之間的聯系.對比兩者的定義、性質和應用場景，使學生明確兩者之間的區別和聯系.同時，我們可以設計一些綜合性的題目，讓學生在實際解題中運用指數函數模型和等比數列模型，加深對它們的理解和掌握.

此外，為了增強學生的應用能力，我們可以組織一些數學建模活動或項目.這些活動或項目可以圍繞指數函數模型和等比數列模型展開，讓學生在實際問題中運用所學知識進行建模和求解.通過這種實踐性的學習方式，學生可以更加深入地理解數學知識在實際問題中的應用，提高數學素養和解決問題的能力.

最后，我們還需要注意教學方法的多樣性.在教學過程中，我們可以采用講授、討論、案例分析等多種教學方法，以激發學生的學習興趣和積極性.同時，我們還可以利用數據分析軟件和數據收集等現代教學手段，使教學更加生動、形象、直觀.

通過合理設置教學計劃、建立知識聯系、組織實踐活動以及采用多種教學方法等策略，我們可以有效地處理指數函數模型與等比數列模型這兩部分知識的講解，確保學生能夠在掌握基礎知識的同時，提高他們的系統性建模能力和綜合思維素養.

2.3數學建模課堂教學安排

2.3.1以指數函數模型為例，建模課堂教學基本步驟

針對高中數學人教A版必修一中的指數函數模型，首先，回顧指數函數的定義、性質及圖象特征，為建模奠定理論基礎；然后，介紹與指數函數相關的復利的起源、細菌的指數增長等，增加課堂的趣味性.以生活中的實例，如人口增長、放射性衰變、細菌繁殖等，引出指數函數模型的應用背景.新課的教學步驟：

（1）問題設定：提出一個具體的實際問題，如人教A版必修一“函數的應用”“例3人口增長模型”，預測我國某時間段的人口增長情況，讓學生明確建模目標.

（2）數據收集：指導學生收集相關數據的方法，如歷年人口統計數據，暫不考慮出生率、死亡率等.

（3）模型假設：引導學生根據問題背景和數據特點，提出合理的模型假設，如假設人口增長率是恒定的.

（4）建立模型：根據假設，利用指數函數建立數學模型.例如，設初始人口為N0，年平均增長率為r，則t年后的人口數為N（t） = N0 （1 + r）t.

（5）模型求解：利用已收集的數據，求解模型中的參數，如N0和r.

（6）模型檢驗：利用求解得到的參數，對模型進行檢驗，觀察模型是否能較好地擬合實際數據.

（7）模型預測：利用已建立的模型，對未來的人口增長情況進行預測.

教學中，可根據學生情況調整進度，分組討論建模過程及結果，相互學習.每組選代表展示成果，接受提問點評.教師總結評價，指出問題及建議.課后布置練習題和實際問題，鞏固提高.推薦相關閱讀材料或網站，供學生自學拓展.

2.3.2等比數列模型研究

當我們深入探討人教A版選擇性必修二中的等比數列模型時，不難發現它與指數函數模型某些方面有著密切的聯系，但在定義、性質和應用方面又都有著各自獨特之處.等比數列是由一個非零的常數（即公比）所確定的，從第二項起，每一項與它的前一項的比值都等于這個常數的一列數.而指數函數則是一種以指數為自變量的函數關系.從性質上來看，等比數列的公比決定了數列的增長或衰減速度，當公比大于1時，數列呈現出增長的趨勢；當公比小于1但大于0時，數列則呈現出衰減的趨勢.等比數列的通項公式和求和公式也體現了其獨特的性質.而指數函數則具有連續性、單調性，圖象呈現出一種連續且平滑的曲線形態.

因此構建等比數列模型，常常被用來描述一些具有等比關系的實際問題，如銀行存款的復利計算、細菌數量的增長等.人教A版選擇性必修二中的等比數列模型在解決實際問題時的分析和求解逐層深入.

在人教A版選擇性必修二“等比數列概念”的例4：用10 000元購買某個理財產品一年.

（1）若以月利率0.400%的復利計息，12個月能獲得多少利息（精確到1元）？

（2）若以季度復利計息，存4個季度，則當每季度利率為多少時，按季結算的利息不少于按月結算的利息（精確到10-5）？

為了解答這個問題，學生需要明確在理財產品的復利計算中，無論是按月還是按季，每一期的本金加利息都會作為下一期的本金，從而形成一個等比數列.我們需要將實際問題數學化的過程，比如設每月的利率為r，這里r=0.400% = 0.004.初始本金為P=10 000元，并且將復利公式表示為A=P（1+r）n，其中A是n個月后的本息和，P是本金，r是月利率，n是月數.同理，獲得每季度的復利公式為

A′=P（1+q）4，數學化的過程是學生建模過程中的第一關卡，也是非常重要的第一個步驟.

這個問題涉及了金融學中的復利概念.復利作為一種計算利息的方法，與單利不同，復利使得投資者可以在更長的時間內獲得更高的收益，考慮到了利息的累積效應.建模過程需要對利率和利息之間的關系有深入的理解，并能夠利用等比數列的原理進行計算.通過解決這個問題，學生可以更好地理解數學建模知識在金融學中的實際運用.

再如，人教A版選擇性必修二“等比數列的前n項和公式”的例10：正方形ABCD的邊長為5 cm，取正方形ABCD各邊的中點E，F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續下去.（1）求從正方形ABCD開始，連續10個正方形的面積之和；（2）如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？這道題目巧妙地結合了等比數列的求和公式與極限的概念.每次取中點并構造新的正方形，新正方形的邊長都是前一個正方形邊長的一半，這意味著，每次新構造的正方形的面積都是前一個正方形面積的1/4.這是一個典型的等比數列問題，其中首項為S1 =25 cm，公比為q=1/4.

需要求連續10個正方形的面積之和，這實際上是求等比數列的前10項和，利用等比數列的求和公式即可求解.如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少，這實際上是在求等比數列的無窮項和，即極限.由于公比q=1/4＜1，等比數列的無窮項和存在，這是極限思想的體現.在處理這類問題時，首先要識別出問題的本質是一個等比數列求和問題，當涉及無窮項和時，需要利用極限的概念和性質來求解.這種思維方法不僅在數學中有廣泛的應用，在物理、工程等其他領域也有重要的應用.

3結束語

深入探討核心素養培養目標，發現在高中數學教學中引入數學建模元素，對學生全面發展有重要作用.剖析高中數學建模，認識到其能提升學生數學知識和思維能力，培養創新意識、實踐能力和團隊合作精神，對提升核心素養至關重要.通過“指數函數模型”和“等比數列模型”的教學實踐，教師能夠精細全面地理解高中數學建模的教學策略和方法，通過實踐探索，發掘驗證更有效的教學策略，推動學生核心素養全面發展，培養其解決問題的能力，提升思維品質和創新精神.

這兩個模型不僅僅是數學領域的重要概念，它們更是現實世界復雜問題的一種簡化表達.現實生活的案例更加豐富和復雜，我們應不斷地探索、實踐完善和優化高中數學建模的課堂教學策略和方法，鼓勵學生從不同角度思考問題，為學生未來的進一步深造打下堅實的基礎.

參考文獻：

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[5] 孫峰.新課標下高中數學課堂教學中數學建模素養滲透方法與策略[J].樂山師范學院學報，2022，37（12）：114-118.

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［責任編輯：李慧嬌］