幾何舞臺上的全等與相似

【摘要】初中幾何題的解答過程是一個嚴密的邏輯推理過程，它不僅直觀性與抽象性結合、邏輯性強，并且綜合性強，這需要學生具備知識整合能力和靈活運用知識的能力，能夠在不同知識點之間建立聯系，找到解題的突破口.而全等三角形和相似三角形在這一過程中扮演著重要角色，往往是解決幾何問題的核心工具.本文對一道中考數學幾何綜合題的解題過程進行綜合分析，體會相關幾何問題中證明全等與相似三角形的重要性以及其中的思路技巧.

【關鍵詞】初中數學；全等三角形；相似三角形

1引言

在初中幾何的學習與解題領域，全等和相似扮演著舉足輕重的角色.無論是求證線段的相等、角的大小，還是探索圖形的面積關系、解決復雜的動態幾何難題，全等與相似三角形都如同一把把神奇的鑰匙，開啟一扇扇通往正確答案的大門.深入剖析初中幾何題的特點與考點，探究全等與相似三角形在其中運用的關鍵性與重要性，不僅有助于學生在數學學習的道路上披荊斬棘，更能讓學生領略數學幾何世界中那精妙絕倫的邏輯之美與智慧之光，為進一步挖掘數學的無窮奧秘奠定堅實的基礎.下面以一道中考數學幾何圖形的相關問題為例進行探究.

2中考數學幾何綜合題解析

例題如圖1，E是菱形ABCD的邊BC上一動點（點E不與點B，C重合），AE交BD于點P，連接CP并延長交AB于點F，已知AB=35，BD=12.

（1）當BE=3時，求線段BP的長；

（2）當△PEC為直角三角形時，求BE的長；

（3）如圖2，延長AE交DC的延長線于點N，連接BN，過點E作EM∥AB交BN于點M，連接MF，試判斷四邊形AFME的形狀，并證明你的結論.

解題指導

（1）求弧長，可以利用點在圓上，連接圓心到點的距離，觀察其圓心角，從而得到弧長占圓周的比例，進一步求出弧長.求線段的長，一般會運用全等將線段進行等量轉化，但這里等量條件不足，且BP也無法轉化到已知長度的線段上，因此可以考慮用相似三角形，根據經驗，平行線產生相似三角形，根據題目所給條件聯系線段BP，BE所在三角形，即，利用相似后得到線段等比，得出所求線段長度.

解因為四邊形ABCD為菱形，AB=35，

所以AB=BC=AD=35，

AD∥BC，

所以△APD∽△EPB，

所以APEP=DPBP=ADEB=353=5，

所以DP=5BP，

因為BD=BP+DP=12，

所以BP+5BP=12，

解得BP=35－3.

分析本題求解較為簡單，使用相似三角形的相關性質就可直接求出，注意要結合題目所給條件選擇適當的三角形求相似.

（2）題目所給條件為△PEC為直角三角形，但并未明確說明哪個角為直角，因此需要分情況討論.連接AC交BD于點O，可知，點P在線段BO上運動，在菱形ABCD中，∠BCO不能等于90°，因此角∠BCP不可能為直角，故此題分兩種情況討論.

連接AC交BD于點O，因為在菱形ABCD中，AC=2OC，

OB=OD=12BD=6，AD∥BC，

∠AOB=∠BOC=90°，BC=AB=35（菱形性質），

所以在Rt△BOC中，OC=BC2－OB2=3，

所以AC=2OC=6.

分兩種情況討論：

①當∠PEC=90°時，如圖3.

因為∠AEC=∠BOC=90°，

∠ACE=∠BCO，

所以△AEC∽△BOC，

所以CECO=ACBC，即CE3=635，

解得CE=655，

所以BE=BC－CE=955.

②當∠EPC=90°時，如圖4，則∠APC=90°.

因為在Rt△APC中，O為AC的中點，

所以OP=12AC=3，

所以DP=OP+OD=9，

BP=OB－OP=3，

因為AD∥BC，

所以△EBP∽△ADP，

所以BEDA=BPDP，即BE35=39，

解得BE=5.

綜上所述，當△PEC為直角三角形時，BE的長為955或5；

分析本題關鍵在于選擇適當的三角形求相似，通過相似三角形的性質求出目標線段的長.

（3）求證四邊形是平行四邊形，已知一對邊平行，只需要證明這一組對邊長度相等，或另一組對邊平行.

證明在菱形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，

所以△ENC∽△AND，

所以CEDA=NENA，

因為ME∥AB，

所以△MNE∽△BNA，

所以EMAB=NENA，

所以CE=EM，

因為AB=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP

所以△ABP≌△CBP（SAS），

所以∠APB=∠CPB，

因為∠APF=∠CPE，

所以∠BPF=∠BPE，

因為∠FBP=∠EBP，BP=BP，

所以△BPF≌△BPE（SAS），

所以BF=BE，

所以AF=CE，

所以AF=EM，

因為AF∥EM，

所以四邊形AFME為平行四邊形.

分析此題主要在于利用菱形的性質得到兩對邊平行，找到相似三角形后通過線段的等量比發現CE=EM，再通過兩個全等得到AF=CE，畫等后就得到想要的等量了.

3結語

全等三角形和相似三角形在初中幾何題中具有極其重要的地位.它們是解決幾何問題的核心工具，無論是在構建幾何圖形的等量關系、進行幾何證明與計算，還是在處理幾何圖形的變換和動態問題方面都發揮著不可替代的作用.深入理解和熟練掌握全等三角形與相似三角形的性質、判定方法以及應用技巧，對于提高初中學生的幾何解題能力、培養邏輯思維和空間想象能力具有至關重要的意義，也是初中數學幾何教學的重點內容之一.