例談最短路徑問題的幾類情形

【摘要】最短路徑問題不僅是初中數(shù)學學習的重難點，也是中考的高頻考點.由于其變式題型很多，因此學生在解題時常常感到吃力.除了考題中經(jīng)常出現(xiàn)的與動點有關的題型，最短路徑問題也涉及三角形、平面直角坐標系等.為了幫助學生更加透徹理解該類問題，本文對不同情形下最短路徑問題進行探討和分析.

【關鍵詞】最短路徑；初中數(shù)學；數(shù)形結合

與動點有關的最短路徑問題的解題關鍵是作定點關于動點所在直線的對稱點，從而實現(xiàn)“折轉直”.但是針對不含動點的問題，需要根據(jù)不同的情形，利用數(shù)形結合思想實現(xiàn)“折轉直”.

1與一條直線有關的情形（兩點位于直線的同側或異側）

如圖1，現(xiàn)A，B兩點在直線l的同側，請在l上求一點P，使得PA+PB的值最小.

分析該類情形是初中最短路徑問題中最基本的一種情形，掌握此類情形的解法是解決此類相關問題的基礎.如圖2，作B點關于直線 l 的對稱點B′，連接 AB′ 與 l 的交點即為所求點 P.因為PB=PB′，兩點之間直線段最短，所以此時的點P使PA+PB=AB′達到了最小值.

2與一組平行線有關的情形

如圖3，A，B兩個地方在一條河的兩岸，現(xiàn)在要在河上建一座橋CD（假設河的兩岸是一組平行直線，橋要與河垂直），問將橋搭建在什么地方才能使從A到B的路徑最短.

分析該類情形是初中數(shù)學最短路徑問題的常考考點，學生經(jīng)常對于此類情形的解法感知比較模糊，只是知其然而不知其所以然，因此該類題型需要學生重點掌握.如圖4，只需要將點B向垂直于河岸且靠近河岸的方向，平移一個河寬的距離到E，連接AE交A側河岸于點C，過點C作CD垂直于B側河岸于點D，則BE平行且等于CD，DB=CE，因此AC+CD+DB=AC+CE+EB=AE+EB.而對于A側河岸上任意一異于C的點P，都有AP+PE＞AE，所以橋的位置建在CD處時，AB兩地的路程最短.

3與三角形有關的情形

如圖5，△ABC 中每一內角都小于 120°，在 △ABC 內求一點 P，使得 PA + PB + PC 的值最小.

分析此類題型較為復雜且不常見，是不含動點的一類情形，只要利用數(shù)形結合思想，通過作輔助線即可達到“折轉直”的目的.該題中所求的點一般將其稱為“費馬點”.如圖6，分別以AB，AC為邊作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE.在PE線段上取一點G使得PG=PC，則有GE=PA.因為易知△BAE≌△DAC（SAS），從而∠AEB=∠ACD，進而有∠EPC=∠EAC=60°（兩個三角形有兩角相等，則第三角必等），GC=PC，∠PCG=60°（頂角為60°的等腰三角形CPG為等邊三角形）.再由∠PCA+∠ACG=60°=∠ECG+∠ACG，知∠PCA=∠ECG，△APC≌△EGC（SAS），所以GE=PA.

綜上可知，PA+PB+PC=GE+PB+PG=BE.

此時GE，PB，PG在一條直線上，即GE+PB+PG=BE，P點即為所求點.

4與坐標軸有關的情形

如圖7，在平面直角坐標系中，直線y=－34x－3交x軸于點A，交y軸于點 B，交直線x=a于點 C，點D與點B關于x軸對稱，連接AD 交直線x=a于點E.

（1）求直線AD 的解析式；

（2）試在x軸上找到一點P，使PE+PD的和最小，求出最小值.

分析重點分析第（2）問，這是基于平面直角坐標系的最短路徑問題，是將最短路徑與坐標系進行結合來考查學生的數(shù)形結合能力，解題思路同樣是作對稱點從而實現(xiàn)“折轉直”.該題是以坐標軸為背景，因此找到P點的具體位置更方便.解答如下：

由（1）得到，直線AD的解析式為：y=34x+3.

直線CE的解析式為x=a，

所以E點坐標為（a，34a+3），B點坐標為（0，－3）.

因為點D與點B關于x軸對稱，

所以連接BE交x軸于點P，此時PD+PE取得最小值為BE，

BE=a2+（34a+3+3）2

=2516a2+9a+36=2516（a+7225）2+57625.

BE所在直線的方程為y=3a+244ax－3，其與x軸的交點即為點P的坐標，即（4aa+8，0）.

由BE的長度表達式進一步可知，當參數(shù)a=－7225時，BE的最小值為57625=245，即PD+PE的最小值為245.

此時E點坐標為（－7225，2125），BE所在直線的解析式為y=－43x－3.

因此P點的坐標為（－94，0）.

5結語

在遇到不同情形的最短路徑問題時，需要根據(jù)不同情形進行不同解答，但是究其根本都是需要利用數(shù)形結合思想，將不同的情形進行轉化.很多學生對于從復雜圖形中正確、快速地分離出基本圖形比較吃力，因此本文幫助學生找到解決問題的突破口，同時為學生以后專題復習提供幫助.其中涉及的轉化思想，數(shù)形結合思想，一題多解和一題多變思想，將會大幅地提升學生的解題能力.借助數(shù)形結合思想，可以讓學生發(fā)現(xiàn)問題與問題之間的聯(lián)系，真正做到使“復雜問題簡單化”.

參考文獻：

[1]朱明亮.初中數(shù)學最短路徑問題探討[J].數(shù)理天地（初中版），2024（19）：18-19.

[2]郭傳雙.關于初中數(shù)學“最短路徑問題”的探究[J].中學課程資源，2022，18（05）：5-8.