幾何思維進(jìn)階視域下的數(shù)學(xué)素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)與實(shí)施

【摘 要】文章基于幾何思維進(jìn)階理論，分析小學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”的難點(diǎn)，并提出針對不同思維水平的素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)策略，以幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，提升幾何思維水平，發(fā)展核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】幾何思維 素養(yǎng)作業(yè) 設(shè)計(jì)策略

如何更加科學(xué)地分析學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”的難點(diǎn)？怎么根據(jù)學(xué)生不同思維水平來設(shè)計(jì)素養(yǎng)作業(yè)，通過不同層級作業(yè)的練習(xí)與診斷，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，提升幾何思維水平，發(fā)展空間觀念？下面，文章基于幾何思維進(jìn)階的視域探討這兩個(gè)問題。

一、基于幾何思維進(jìn)階視域的學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)分析

幾何思維是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。根據(jù)范·希爾幾何思維進(jìn)階理論，學(xué)生的幾何思維發(fā)展水平可以劃分為五個(gè)層次，具體見表1。小學(xué)階段學(xué)生的幾何思維水平大致能發(fā)展至層次2。

學(xué)生在學(xué)習(xí)“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識時(shí)，遇到的主要難點(diǎn)有如下三個(gè)方面：一是空間想象能力弱，難以形成圖形表象，導(dǎo)致直觀水平（層次0）提升困難；二是對幾何概念的理解不透徹，停留于表面，難以深入理解其性質(zhì)和特征，導(dǎo)致描述水平（層次1）提升困難；三是空間推理能力較弱，難以進(jìn)行幾何性質(zhì)的推理和證明，導(dǎo)致抽象水平（層次2）提升困難。

筆者針對不同思維水平的學(xué)生，運(yùn)用幾何思維進(jìn)階理論設(shè)計(jì)可以隨堂互動(dòng)的素養(yǎng)作業(yè)，以幫助學(xué)生突破“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，促進(jìn)不同思維水平學(xué)生的幾何思維和素養(yǎng)的發(fā)展。

二、基于幾何思維進(jìn)階構(gòu)建作業(yè)設(shè)計(jì)的路徑

基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提出的“結(jié)構(gòu)化整合”理念，作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)與單元教學(xué)緊密結(jié)合，形成促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的路徑。首先，整體規(guī)劃單元教學(xué)任務(wù)，把握新課標(biāo)要求、教材內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情，為作業(yè)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。其次，以單元教學(xué)目標(biāo)為起點(diǎn)，分析學(xué)生進(jìn)階難點(diǎn)，明確作業(yè)設(shè)計(jì)方向。再次，基于核心素養(yǎng)導(dǎo)向，通過處理改編或自主創(chuàng)新等方式，設(shè)計(jì)一系列觀察、操作、推理等素養(yǎng)作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，逐步提升幾何思維水平。最后，將作業(yè)融入單元教學(xué)，實(shí)施優(yōu)化，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，形成閉環(huán)的教學(xué)過程，持續(xù)促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展。作業(yè)設(shè)計(jì)路徑如圖1。

三、基于幾何思維進(jìn)階構(gòu)建作業(yè)設(shè)計(jì)的策略

為了幫助學(xué)生逐步提升幾何思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng)，筆者根據(jù)范·希爾幾何思維進(jìn)階水平量表，并結(jié)合小學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，提出了不同幾何思維水平階段的素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)的目標(biāo)，具體見表2。

根據(jù)目標(biāo)，再設(shè)計(jì)出不同思維水平的素養(yǎng)作業(yè)。下面，結(jié)合人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，探討“圖形與幾何”領(lǐng)域素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)的策略。

（一）直觀水平：觀察感知，動(dòng)手操作

直觀水平作業(yè)設(shè)計(jì)重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生識別、分類圖形，并感知其形狀、大小、位置等基本特征，從而建立圖形表象，初步發(fā)展空間觀念。

1.多角度觀察發(fā)現(xiàn)

通過觀察實(shí)物或圖片，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度感知圖形特征，如形狀、大小、位置關(guān)系等。例如，在學(xué)習(xí)一年級上冊“認(rèn)識立體圖形”單元時(shí)，學(xué)生難以區(qū)分四種立體圖形，教師可以采用“自主創(chuàng)新”方式，將作業(yè)設(shè)計(jì)如圖2。

主題：“立體圖形”認(rèn)認(rèn)認(rèn)

1.“分一分”游戲：提供不同大小、形狀、位置關(guān)系的長方體、正方體、圓柱和球的圖片，讓學(xué)生辨別圖形并根據(jù)特征進(jìn)行分類。

2.“猜一猜”游戲：將長方體、正方體、圓柱和球四種立體圖形分別放入不同的魔法箱中，只露出部分特征，讓學(xué)生根據(jù)露出的部分猜測圖形，并說出理由，再通過摸一摸驗(yàn)證猜測的結(jié)果是否正確。學(xué)生通過觸摸和觀察，初步感知不同立體圖形的特征。

3.“找一找”游戲：從生活中尋找長方體、正方體、圓柱和球四種立體圖形，有條件可拍照記錄，通過尋找生活中的實(shí)例，進(jìn)一步理解不同立體圖形的特征。

作業(yè)實(shí)施效果：提供四種圖形，學(xué)生通過觀察和操作，建立立體圖形的表象，感知其特征。學(xué)生通過表達(dá)圖形特征，進(jìn)行簡單的空間想象和推理。

2.多形式動(dòng)手操作

通過折紙、拼圖、畫圖等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，感受圖形的變化和特征。例如，在學(xué)習(xí)一年級下冊“認(rèn)識平面圖形”單元時(shí)，學(xué)生難以將抽象的立體圖形概念與實(shí)物聯(lián)系起來，教師可以采用“自主創(chuàng)新”的方式，將作業(yè)設(shè)計(jì)如圖3。

主題：“立體圖形”變變變

1.“建筑師”游戲：嘗試用積木搭建成不同的組合圖形，通過搭建，體會(huì)立體圖形的組合和變化，發(fā)展空間想象能力。

2.“魔法師”游戲：印一印、玩一玩，將立體圖形的面印在橡皮泥上，先想象不同積木的底面印出的圖形，再操作驗(yàn)證，并畫出立體圖形的面在橡皮泥上的印痕，直觀感知立體圖形的特征，感受“面在體上”。

3.“設(shè)計(jì)師”游戲：準(zhǔn)備一些平面圖形卡片，如正方形、長方形、三角形等，嘗試將平面圖形進(jìn)行折疊、剪切、拼貼等操作，創(chuàng)造出新的圖形。

作業(yè)實(shí)施效果：學(xué)生通過搭一搭、印一印、折一折等操作活動(dòng)，加深對圖形的理解，體會(huì)圖形的組合和變化。

（二）描述水平：想象轉(zhuǎn)換，對比關(guān)聯(lián)

描述水平作業(yè)設(shè)計(jì)通過動(dòng)態(tài)想象、關(guān)聯(lián)對比等方式，幫助學(xué)生深入理解圖形特征和關(guān)系，提升描述能力，發(fā)展幾何直觀，為抽象水平的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

1.多維度想象轉(zhuǎn)換

此策略旨在引導(dǎo)學(xué)生將立體圖形與平面圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并想象圖形的運(yùn)動(dòng)，從而發(fā)展空間觀念。

（1）動(dòng)態(tài)與靜態(tài)轉(zhuǎn)換?？蓢@靜態(tài)圖形的動(dòng)態(tài)想象和動(dòng)態(tài)圖形的靜態(tài)分析進(jìn)行設(shè)計(jì)。如在教學(xué)五年級下冊“圖形的旋轉(zhuǎn)”時(shí)，教師可采用“自主創(chuàng)新”的方式，以“挑戰(zhàn)你的眼力”為主題，將作業(yè)設(shè)計(jì)如圖4、圖5、圖6。

觀察想象：出示圖4，想象左邊的圖是由右邊哪幅圖旋轉(zhuǎn)得到的？出示圖5，猜想后跟隨動(dòng)態(tài)幾何畫板演示二次想象驗(yàn)證。

動(dòng)態(tài)想象：出示圖6，想象不斷旋轉(zhuǎn)左邊的三角形、正方形，會(huì)得到怎樣的圖案？跟隨幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，不斷想象旋轉(zhuǎn)后的位置與形狀。

作業(yè)實(shí)施效果：學(xué)生首先觀察靜態(tài)的圖形，接著想象它們繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的樣子，這是一個(gè)從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)換過程。然后再觀察旋轉(zhuǎn)的三角形和正方形，并想象它們旋轉(zhuǎn)后的位置和形狀，這是將動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的圖形分析。學(xué)生通過靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、動(dòng)態(tài)到靜態(tài)的轉(zhuǎn)換，理解圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，發(fā)展空間想象能力。

（2）二維與三維轉(zhuǎn)換。通過操作和想象，將二維圖形與三維圖形關(guān)聯(lián)，提升空間想象力。如在教學(xué)五年級下冊“長方體和正方體的認(rèn)識”時(shí)，教師可采用“自主創(chuàng)新”的方式，以“二維三維穿梭之旅”為主題，將作業(yè)設(shè)計(jì)如圖7、圖8。

猜猜我是誰：已知長方體的長、寬、高，想象下面兩幅圖分別可能是什么？

A.一本數(shù)學(xué)書

B.一張A4白紙

C.一個(gè)教室" " "

D.一輛公共汽車

圖形拼拼樂：如圖8，要圍成圖7中的a圖長方體的形狀，應(yīng)怎么配面？說明理由。

立體還原記：首先提供不同形狀的長方體和正方體展開圖，嘗試將其還原成立體圖形；然后根據(jù)長方體和正方體的特征，設(shè)計(jì)并制作展開圖；最后比較它們的異同，總結(jié)出長方體和正方體展開圖的規(guī)律。

作業(yè)實(shí)施效果：首先，凸顯二維圖形的三維想象?！安虏挛沂钦l”針對學(xué)生難以從二維圖形中想象出三維圖形的特征的難點(diǎn)，提供長、寬、高數(shù)據(jù)，讓學(xué)生猜一猜可能是什么物體?！皥D形拼拼樂”再讓學(xué)生通過觀察長方體六個(gè)面的圖，想象長方體六個(gè)面的形狀。其次，凸顯三維物體的二維表征。“立體還原記”引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手操作深入理解長方體和正方體的特征，并能用展開圖進(jìn)行表征。學(xué)生通過二維到三維、三維到二維的轉(zhuǎn)換，理解長方體和正方體的特征，并建立空間觀念。

2.多方面對比關(guān)聯(lián)

此策略旨在通過對比不同圖形的特征、關(guān)系，以及圖形運(yùn)動(dòng)前后的變化，幫助學(xué)生深入理解圖形的本質(zhì)，并進(jìn)行推理和判斷。

（1）對比與分析。通過對比分析，發(fā)現(xiàn)圖形之間的差異和聯(lián)系，凸顯本質(zhì)，建立正確的圖形表象，并能夠進(jìn)行推理和判斷。

（2）關(guān)聯(lián)與整合。在對比分析的基礎(chǔ)上，整體把握圖形之間的關(guān)系，將零散的知識點(diǎn)串聯(lián)起來，形成完整的幾何知識體系。

下面，以四年級上冊“平行四邊形和梯形”一課為例，基于核心知識，將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行串聯(lián)，以題組形式展開作業(yè)設(shè)計(jì)。采用“處理改編”的方式，以“點(diǎn)D藏在哪兒”為主題，作業(yè)設(shè)計(jì)如圖9。

【改編前作業(yè)設(shè)計(jì)】收集資源：來源于四年級上冊課本“練習(xí)十一”。

分析：圖9中第7題主要考查圖形表象建立，第13題主要考查概念本質(zhì)及關(guān)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在辨認(rèn)不全、圖形關(guān)系不清的難點(diǎn)。通過改編處理，借助點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，凸顯平行四邊形和梯形的本質(zhì)屬性，并梳理各圖形的關(guān)系，提高空間想象能力。

【改編后作業(yè)設(shè)計(jì)】 主題：點(diǎn)D藏在哪兒？

第一層次：分析比較。

在格子圖上各畫一個(gè)與眾不同的平行四邊形與梯形。說一說你畫的圖形哪里與眾不同？

第二層次：關(guān)聯(lián)整合。

畫一畫：尋找一個(gè)D點(diǎn)和A、B、C點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)梯形或平行四邊形。

想一想：這個(gè)D點(diǎn)還可能在哪里？你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生作品預(yù)設(shè)：點(diǎn)D位置主要有如下三類。（圖10）

變一變：移動(dòng)A、B、C、D點(diǎn)的位置，依次變成四邊形、平行四邊形、長方形、正方形、梯形，怎么移？

分一分：如果用一個(gè)大圓圈表示四邊形家族，四邊形、梯形、平行四邊形、長方形、正方形的家在哪兒？

作業(yè)實(shí)施效果：化靜為動(dòng)，緊扣本質(zhì)，整體把握，在運(yùn)動(dòng)與關(guān)聯(lián)中深化概念理解。先通過對比不同四邊形的特征，幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)，再感知概念間的包含關(guān)系和并列關(guān)系。

（三）抽象水平：符號表征，問題驅(qū)動(dòng)

抽象水平作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)突出推理過程，提供多樣化圖形，鼓勵(lì)探究性學(xué)習(xí)，結(jié)合實(shí)際情境，注重邏輯思維。

1.多元化符號表征

引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用符號、圖形、公式等多種形式表達(dá)圖形的特征和關(guān)系，并逐步提升抽象程度，經(jīng)歷從具體圖形的特征描述到符號化的表達(dá)和推理的過程。如在教學(xué)三年級上冊“長方形和正方形的周長”一課時(shí)，教師采用“自主創(chuàng)新”的方式，以“折紙中的數(shù)學(xué)問題”為主題，設(shè)計(jì)作業(yè)如下：

（1）想一想：在圖11卡紙中，折出一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的邊長是 （" " "）厘米。

（2）算一算：剩下小長方形的周長是（" " "）厘米。

（可以先在圖11中畫一畫）

（3）畫一畫：將這張卡紙分成周長相等的兩部分。你有幾種分法？在圖12中畫出來。

作業(yè)實(shí)施效果：通過折紙活動(dòng)，學(xué)生推理出最大的正方形邊長，并用周長公式計(jì)算剩余圖形周長，將具體圖形特征抽象為符號表達(dá)，最后將周長相等的分割方法用圖形表示出來，發(fā)展邏輯推理能力。

2.多層次問題驅(qū)動(dòng)

設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)層次運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行邏輯推理，并逐步提升推理的復(fù)雜程度。如在教學(xué)三年級上冊“長方形和正方形的周長”一課時(shí)，教師采用“自主創(chuàng)新”的方式，以“樂行果園中的數(shù)學(xué)問題”為主題，設(shè)計(jì)作業(yè)如下：

（1）學(xué)校用柵欄將果園圍成了各種形狀（圖13）?！疤易庸麍@”一共需要柵欄16米（不靠墻），圍成的周長可用算式“（6+2）×2＝16（米）”表示。你覺得下面哪種圍的方法是合適的？（" " "）

（2）學(xué)校有一個(gè)長方形“枇杷果園”（一面靠墻），長6米，寬2米。如果靠墻的邊不圍柵欄，那么最少需要多少米的柵欄？（畫一畫，算一算）

（3）用24米長的柵欄圍一塊長方形“李子果園”，每條邊都是整米數(shù)。

①如果一條長邊靠墻，你有幾種不同的圍法？在下表中寫一寫。

②如果兩條邊靠墻，你有幾種不同的圍法？（可以先畫圖，再用列表法記錄）

作業(yè)實(shí)施效果：在解決果園問題過程中，學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為符號化表達(dá)，根據(jù)不同情境，從不同層次運(yùn)用周長知識進(jìn)行推理和計(jì)算，如判斷圍欄方案、計(jì)算最少柵欄長度、探索不同圍法，逐步提升推理的復(fù)雜程度。

綜上所述，本文探討了如何利用素養(yǎng)作業(yè)，幫助學(xué)生克服圖形與幾何學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，從而提升空間觀念、幾何直觀和推理意識等核心素養(yǎng)。教師通過觀察、操作、想象、推理等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生感知圖形特征、理解圖形關(guān)系、推理圖形性質(zhì)，最終實(shí)現(xiàn)幾何思維水平的螺旋式上升。

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