基于GeoGebra軟件的高中數學可視化教學實踐研究*

摘" 要：GeoGebra軟件在數學教學中應用十分廣泛，其功能豐富，包括代數運算、數據處理、幾何作圖等。在多元表征視角下應用GeoGebra軟件進行教學，可以幫助學生在圖形表征中形象直觀理解數學，在操作表征中活動體驗促進內化，在情境表征中動態演示發現規律，在符號表征中流程再造認識本質。將GeoGebra軟件引入高中數學課堂教學，做到課程、教材、教學統一，融入數學概念、方法、思想，有效提升學生的數學學科核心素養。

關鍵詞：高中數學；GeoGebra；多元表征；可視化教學；核心素養

文章編號：1671-489X（2025）05-00-04

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2025.05.0

0" 引言

新課改以來，數學教學將“掌握數學本質，開發思維，改進教學”作為一個重要理念，從數學問題的本質出發，通過適當的教學設計促進學生對知識的理解掌握。然而在目前的數學教學中，學生學習大多只是停留在表面，而不是進行深層次的本質研究和真正的動手操作。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調，重視信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合[1]。隨著互聯網覆蓋范圍的擴大，信息技術在教育領域的應用愈發深入，傳統的教學模式逐漸被顛覆，信息技術不僅提供了大量的教學資源，也為師生、生生之間的溝通與交流創造了良好的條件。

1" GeoGebra軟件的功能

GeoGebra軟件是數學教學中廣泛應用的工具之一，其功能十分豐富，包括代數運算、數據處理、幾何作圖等，可以將原本抽象的數學知識直觀、準確地呈現出來，加深學生對數學知識的理解，促進學生數學思維的形成。該軟件的代數與幾何功能尤為突出。就代數功能而言，左側為代數區，主要負責顯示各個圖元的信息，包括坐標、方程等；右側為作圖區，一旦圖形發生改變，左側代數區中的信息也會隨之發生相應的變化[2]。就幾何功能而言，在繪圖區可以根據實際需求繪制函數曲線、圓錐曲線、立體幾何圖形等[2]。

2" GeoGebra軟件的優勢

2.1" 動態演繹與靜態作圖相結合

數學中的動態立體幾何問題滲透著運動變化的觀點，對學生有著很高的空間想象要求。GeoGebra軟件通過直觀、準確、合適的表征形式將原本抽象、籠統的問題呈現出來，將動態演繹與靜態作圖相結合，有利于學生直觀地認識和理解圖形形象。

2.2" 適度性和整體性相結合

解析幾何的核心思想是數形結合，如果能將數和形這兩個維度的屬性同時顯示出來，可以提升學生的抽象思維能力。GeoGebra軟件做到了圖形與代數方程的同步變化，在適度性和整體性原則下創設發現數學本質的情境。

2.3" 實驗歸納和演繹推理相結合

數列遞推和函數迭代是數學中的兩個重要方法，借助GeoGebra軟件進行實驗歸納和演繹推理，從函數迭代的角度思考數列斂散性的本源，從而生成求解數列問題的新思路，幫助學生理解數學知識、發現方法，從而推動學生思維發展。

3" GeoGebra軟件應用于高中數學教學的必要性

思維在數學學習中至關重要，如果學生僅僅滿足于記住某個結論而沒有進一步地理解和思考，則無法獲得數學學習的積極體驗。特別是數學固有的抽象性和嚴格的數量關系、幾何關系、運動與變化中的數學規律等，這是普適性的技術所無法表現的，借助能深入學科內部、充分體現數學特點的專業軟件，學生對數學的認識和理解會更上一層樓。

技術與數學學科需要從整合走向融合，實現使用技術學習和研究數學。應用GeoGebra軟件可以呈現數學概念的背景，幫助學生抽象與歸納；可以直觀地演繹空間形式的變化過程；可以與課堂教學相融合，在數學建模中實現函數擬合、模型構建和分析推斷；可以進行數據分析。將GeoGebra軟件與高中數學課堂教學進行融合，與課程、教材、教學相統一，融入數學概念、方法、思想，提升學生的數學學科核心素養[3]。將GeoGebra軟件運用于數學教與學中，系統地考慮信息技術與數學課程融合的問題，加強信息技術的運用，實現信息技術與數學教學的深度融合。

4" 多元表征視角下基于GeoGebra軟件的可視化教學策略

理解是學好數學的關鍵，從某種角度來看，理解實際上就是將內部表征化的知識有效地銜接在一起的過程。因此，表征和可視化是理解數學的核心。借助可視化工具，完成外在表征到內在表征的轉變，從而加深對知識的理解與認識，發展高階思維，最終落實數學核心素養。所謂可視化教學，簡單來說，就是借助圖形的作用將數學知識呈現出來，幫助學生加深對數學知識的理解。多元表征視角下基于GeoGebra軟件的可視化教學如圖1所示。

4.1" 圖形表征，形象直觀理解數學

圖形表征就是幾何化數學對象，通過構造圖形轉化條件，將抽象問題直觀化。GeoGebra軟件通過構建多元聯系表征學習情境，以直觀的圖形表征形式呈現數學知識，進而降低學生理解數學知識的難度。

案例1：正方體截面的探究（圖2）。在立體幾何教學中，作幾何體的截面尤為重要，也具有比較大的難度，對于學生的空間想象力、動手能力有著比較高的要求。在準確判斷截面形狀時，平面與幾何體的各個面相交的位置、形狀十分關鍵。通過解答這一問題，學生的空間想象力得到增強，深入理解了直線和平面的有關性質，有效地形成空間概念。通過GeoGebra軟件可快速作出各種截面形狀，通過動態演示快速發現圖形規律特征。

4.2" 操作表征，活動體驗中促進內化

數學學習具有動態性特征，若僅僅沿用已經固化的教學模式教授數學知識，忽視學生體驗感，那么教學效果往往不會理想。要想提升學生的體驗感，就一定要多組織學生開展數學實驗，觀察數學現象，從而加深對數學知識的認識，增強數學教學效果。

案例2：超幾何分布下的數據統計（圖3）。概率統計數據復雜，如果利用傳統計算數據，課堂呈現效果不佳且耗時耗力。利用GeoGebra軟件進行數學實驗，通過改變各參數的值，引導學生對此題進行深度思考，觀察超幾何分布和二項分布的變化情況，思考二項分布和超幾何分布的區別與聯系，從而提高學生的數學模型識別能力和問題解決能力。

4.3" 情境表征，動態演示中發現規律

數學學習的一個重要特征是由靜態走入動態，復雜的數形關系和多變的幾何位置關系成為教與學的難點。對此，要建立一個動態化的視覺情境，利用動態演示的方式幫助學生總結規律。

案例3：一元三次函數的圖像與性質（圖4）。通過GeoGebra軟件實現三次函數繞著一個點旋轉180°后依然和本身重合，通過圖像直觀感受一元三次函數的對稱情況。在此過程中突出幾何直觀與代數表達之間的融合，讓學生體會一元三次函數對稱情況的合理性，提升直觀想象、數學抽象的核心素養。

4.4" 符號表征，流程再造中認識本質

數學的基本特征就是符號化，因此，符號表征是數學問題最普遍的表征形式。符號表征就是將待解決的問題中的有關術語和關系借助相關公式、定理轉化為字母或數學符號，實現問題的數學化、符號化，從而促進問題的解決。

案例4：拋物線中的阿基米德三角形（圖5）。阿基米德三角形指的是曲線的弦與過弦端點的兩條切線所構成的三角形，其具有諸多特征，主要包括：若弦AB過定點E，則阿基米德三角形ABM的定點M的軌跡為直線；特別是當AB恒過焦點F，M點軌跡為準線時，三角形為直角三角形。利用GeoGebra軟件可以將這些性質直觀展現，實現更高抽象層次上的思考與探究。

5" 基于GeoGebra軟件的教學實踐思考

與其他學科相比，數學學科有其自身的特殊性，形式化、抽象化是其最為顯著的特征，主要表現為復雜的演算步驟、多變的幾何位置關系、深刻的數學定理等，傳統的教學模式難以將其直觀、清晰地呈現出來，導致教學效果不甚理想。將GeoGebra軟件應用于數學教學，可以有效彌補傳統教學模式過于注重形式定義而忽視意向表征的不足，實現信息技術與數學教學的深度融合。在此過程中，要借助圖形、情境、符號等方式構建多元表征聯系，用嚴謹、準確的語言表述數學活動，構建與數學研究相適應的探索性認知環境。

5.1" 情境創設：可視化中理解數學

通過對傳統教學實踐經驗的總結，不難發現，過于形式化的表達難以將數學知識的內涵清晰、準確地呈現出來，導致學生無法了解這些知識，學習效果自然也就不會很理想，因此，理解是增強數學學習效果的重中之重。GeoGebra軟件的功能十分豐富，將圖形、方程、模型、算法等有效地銜接在一起，實現幾何、代數、算法等各個數學分支的深度融合。此外，它還構建了一個多元聯系表征的情境，能夠引導學生加深對數學知識的認知，找到解決問題的具體方法。

5.2" 實驗探究：數學活動中提升思維水平

數學教學不單單是為了讓學生加深對所學數學知識的認識，還要幫助其掌握學習數學的方法，總結數學規律。實驗教學是實現這一目標的有效手段，借助實驗的方式，引導學生通過假設、總結、驗證、完善等理解數學知識，獲得積極的學習體驗。GeoGebra軟件具備演示、驗證、探究的功能，可以有效彌補傳統數學教學模式過于靜態的不足，實現動態的轉變，幫助學生既發現數學的外在美，又感受數學的內在美，不僅可以加深對數學知識的理解，還能夠收獲積極的情感體驗，在潛移默化中提升思維水平。

5.3" 流程再造：互動環境中變革學習方式

數學教學不單單是為了幫助學生掌握數學知識，更重要的是改善學生的學習方式。豐富深刻的數學活動是幫助學生積累數學學習經驗的有效途徑，因此，借助先進的信息技術開展數學學習活動尤為關鍵。GeoGebra軟件中嵌有符號代數系統，能夠快速完成符號計算，學生借助這一工具能夠快速找到解決數學問題的思路與方法，這是傳統數學學習模式無法做到的。

6" 結束語

基于GeoGebra軟件的可視化課堂教學將知識、能力、素養融入數學課程，促使學生的數學思維變得更為合理和有序，使數學探究的學習思維在學習中不斷地養成，幫助學生逐漸學會用科學的觀點和態度尋求數學問題的真相，學習動力不斷增強，進入學習的良性循環模式，從學習到使用再到真正地學會應用，有效培養數學核心素養。

7" 參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：83.

[2] 張志勇.高中數學可視化教學：原則、途徑與策略：基于GeoGebra平臺[J].數學通報，2018，57（7）：21-24，28.

[3] 劉怡軒.GeoGebra在中學數學教學中的應用與展望：訪談曹一鳴教授[J].中學數學教學參考，2021（13）：42-44，54.

*項目來源：2024年浙江省教育科學規劃課題“高中生數學概念理解‘建模賦能’創新范式研究”（編號：2024SC098）。

作者簡介：汪佳婕，中學高級教師。