思維導圖在物理學專業“力學”課程中的運用

摘"要：“力學”課程主要講授牛頓的矢量力學理論，是物理學專業本科生接觸到的第一門專業必修課，具有特殊的學科地位與特征。學生經歷著從高中到大學的思維轉變，在大量知識的沖擊下容易迷失方向。本文提出了一個囊括所有力學基礎知識的思維導圖，這一導圖可以粗略地分解為數學與運動學、質點動力學、質點系三個部分。力學的基礎概念與定理被分類為若干個基礎模塊，并用不同種類的箭頭表征他們之間的聯系。借助思維導圖，我們可以幫助學生梳理“力學”課程的知識脈絡，幫助他們順利地邁進大學物理的大門。

關鍵詞：思維導圖；力學；物理學專業

“力學”課程主要講授文藝復興后期到工業革命前期這段時期里發展出來的關于質點系的動力學理論［1］。其中，質點系包括了剛體和均勻介質，而動力學也包括了靜力平衡問題。作為物理學專業本科生在大學里接觸到的第一門專業課程，其龐大的知識容量與高中物理形成鮮明的反差。學生如果延續高中時的學習策略，對所有概念與知識不加甄別與整理，學習效率將會非常低下，并且很快就會跟不上教學進度。為了整理清楚各種繁復概念之間的關系，一個常用的方式就是使用思維導圖對概念進行梳理［23］。在思維導圖中，每一個節點對應一個概念或知識點，運用各種箭頭將不同節點連接起來，以表達概念之間的不同邏輯關系。本文介紹了一個囊括“力學”課程所有基本知識的思維導圖，借以梳理力學課知識點的邏輯架構。

一、“力學”課程特點

“力學”課程作為物理學專業本科生的第一門專業必修課，具有非常特殊的學科特點：力學在開學后不久所講授的運動學知識就需要借助矢量的微分方程才能表達，然而相關知識在數學專業課上卻要等到期中考試以后才開始講授［4］。力學教師通常需要在開學后的前幾節課里給學生補充基本的微積分知識。有鑒于此，本文所提出的思維導圖也包含了一部分微積分知識。

如果忽視在數學上的超前要求，力學課其實與高中課程銜接得較為緊密。學生們在高考前已經反復練習過“力學”課程里的一些基礎知識，主要集中于單質點系統的簡單運動學與動力學問題［5］。倘若教師采用傳統的深入淺出的方式授課，學生在學習前期可能會低估課程的難度。而當課程推進到高中未涉及的知識，如復雜運動學問題、多質點系統以及角動量等知識時，學生感受到的課程難度會陡增，而備課教師常常并不能預見這種反差，從而造成學生掉隊。有鑒于此，教師可以在開學第一堂課時，就向學生展示思維導圖的全貌，并告知學生“哪些知識你們熟悉，哪些知識你們學起來會有難度”，從而使有驕傲輕視心理的學生重視這門課程。

二、“力學”課程的思維導圖

本文所介紹的思維導圖，大致可以從下往上分解為三個部分：數學與運動學、質點動力學、質點系。需要指出的是，這一分解僅是為了便于陳述，實際上這三個部分之間的關系非常緊密，已經有機地融為一體。

（一）數學與運動學

導圖的最下方是微積分基礎與質點運動學理論。這部分內容與其說是物理，不如說是從數學到物理學的過渡。其中，微積分基礎是純粹的數學補充內容，而質點運動學是力學中最接近數學的部分，相關知識、概念以及例題常常被用在中等數學的教學當中。最典型的例子就是運動學的核心研究對象——運動方程，即質點的坐標隨時間的變化函數x（t）與y（t），其實這正是中等數學里曲線的參數方程組表達形式。

微積分基礎作為數學補充內容，在導圖上表現為左下角的一個孤立的模塊。在講授微積分基礎時，需要時刻牢記相關數學知識是為力學打基礎，因而可以適度降低數學嚴謹性，而采用更貼合物理圖像的講法。具體來說，就是舍棄高等數學那套嚴謹的εδ語言，而將“無窮小量”這一在數學中描述函數極限的概念簡單地理解為一個很小的量，并基于這一概念發展出基本的微積分知識架構。這一處理有兩個好處：（1）減少了理解的困難程度，便于學生在極短的時間內將微積分提升到足以進行力學學習的地步；（2）這一描述更接近物理學科的情景，因為在物理建模時確實會依據數量級差異將不同的物理量視作不同階的小量。例如，相比日地距離而言，地球半徑可視作一階小量，而大樓高度可視作二階小量。基于這種小量近似觀點，也很容易向學生介紹“宏觀無限小且微觀無限大”的“介觀”尺度概念。

導圖的正下方與右下角分別是質點運動學模塊與其附屬的坐標系模塊。質點運動學的研究對象是位置矢量以及其一、二階時間導數，即速度矢量與加速度矢量。描述位置矢量需要一套坐標系統，而在“力學”課程里介紹了三種坐標系，分別是直角坐標、極坐標和自然坐標。其中自然坐標并非傳統數學意義上的坐標系，是一種物理學中引入的特殊的坐標系統，因此在導圖中用特殊字體表示出來。這三種坐標系具有各自的基矢，且分別被運用于三種不同的運動情景當中：直角坐標用來處理拋體運動問題，極坐標用來描述有心運動，而自然坐標用來處理一般的平面曲線運動。平面曲線運動的一組很重要的衍生概念是向心加速度和曲率半徑。許多學生會想當然地將向心加速度理解為徑向加速度，混淆了自然坐標系的法向與極坐標系的徑向。因此在思維導圖中，強調了這一組概念是源自平面曲線運動的。

“力學”課程思維導圖

（二）質點動力學

運動學剝離了物體的所有物理屬性，將對象抽象為數學意義上的點。這一模型過于簡化，不足以解決“力學”課程中所研究的問題。力學常用的理想模型是“質點”，即給數學上的點賦予一個質量屬性。質點的質量是慣性質量，代表了物體在物質世界中保持其自身運動狀態的能力。而為了描述運動狀態，需要在真實的物質世界中安置一個純數學概念的坐標系，這種安置坐標系的行為就是設定參考系。在一部分參考系下，孤立物體保持靜止或勻速直線運動，這種參考系被稱為慣性系，而這種現象則被總結為牛頓第一定律，又稱為慣性定律。不同慣性系之間的轉換稱為伽利略變換，而相對性原理則表述了不同慣性系之間的等價性。

質點動力學的核心定理是牛頓第二定律以及與其等價的動量定理，這一對定理均描述了力對物體的作用效果。其中，牛頓第二定律將力與物體的加速度聯系起來，對于剛剛學完運動學的學生而言更加熟悉，因此在導圖上，牛頓第二定律位于“力”所代表的模塊當中，且發出一個箭頭指向運動學模塊，提醒學生借助牛頓第二定律將動力學問題轉化為運動學問題。根據基本定義，力代表物體與物體之間的相互作用，因此一個力就必然對應于兩個物體，分別稱為施力物體與受力物體。而兩個物體之間總共有兩個力，彼此互稱為反作用力，牛頓第三定律就描述了一對反作用力所具有的性質。

牛頓第二定律在處理動力學問題時非常有效，然而它僅在慣性系下成立。為了處理非慣性系下的動力學問題，需要在牛頓第二定律中引入一個修正項，也就是慣性力。慣性力作為假想力，并沒有施力物體，僅有受力物體。在教學中我們強調了轉動非慣性系帶來的慣性力包含的兩個部分，分別是離心力和科里奧利力。通過思維導圖，我們可以給學生建立起離心力和向心力的來龍去脈，避免學生對這兩個概念產生混淆。

動量定理是牛頓第二定律的等價表述，它將力和一個相對學生更陌生的概念“動量”聯系起來。與適配質點模型的加速度相比，動量是一個廣延量，更適用于復雜對象當中，如質點系。動量定理最基本的表述是微分形式，即物體受力等于其動量的變化率。這一定理也可以用積分形式來表述，即物體在一個過程中受到的沖量等于其動量的變化量，這種形式的動量定理常被稱作沖量定理，而沖量則代表力在一個時間區間內力的積分結果。

（三）質點系

大學力學和高中物理學的一個顯著差異就是研究對象的復雜程度不同。高中物理學研究的對象除了滑輪組以外通常是單元系統，即只有一個質點或者滑塊的系統，而大學物理所研究的對象則要復雜得多。一般而言，將科學定律運用于物質世界時，需要對物質世界進行建模，在建模的過程中，會將世界劃分為系統與環境。這一劃分是策略性的，與客觀事實無關，而是根據主觀需求，將物質世界中被研究的對象劃分為系統，剩余部分統統劃歸環境。這種劃分的一個衍生結果就是把力分解為內力與外力。由于系統包含了所有被研究的對象，受力物體總是在系統當中。在這一前提下，當施力物體也在系統內時，力被稱為內力；而當施力物體在環境當中時，力被稱為外力。

“力學”課程中最基本的系統模型就是質點系，以質點系模型為基礎，可以得到另外一些理想模型，如剛體與連續彈性介質。質點所擁有的屬性可以推廣到質點系當中，對于廣延量而言，系統的總量等于各部分量的線性疊加。比如，質點系的總質量、總動量、總動能和總角動量分別等于所有質點的質量、動量、動能和角動量之和。對于強度量而言，系統的總量等于各部分的質量加權平均，其中最典型的例子就是質心位置。質點系的質心位置矢量等于所有質點位置矢量的加權平均，權重即各質點的質量。相應地，質心位置矢量的一階、二階時間導數即質心速度與質心加速度分別表征著質點系的特征速度與特征加速度。恰如單質點的動量定理等價于牛頓第二定律一般，質點系動量定理同樣也可以寫成牛頓第二定律的形式，即質心運動定理。

在導圖的質點系部分，最復雜的模塊當屬機械能模塊。機械能由勢能與動能組成，二者均來自力做功。因此，在導圖當中用一個寬大的淺藍色箭頭代表做功，將力與機械能兩個模塊連接起來。所有外力和內力對系統做功均會帶來系統動能增長，這被稱作動能定理。根據力的形式，可以把力分為保守力與非保守力，其中保守力具有特殊的數學形式，使得其在一個運動過程中的做功僅僅由系統的初末狀態決定，而與做功過程中的路徑無關。根據這一特征，可引入勢能的概念，將保守力做功定義為勢能的減少。借助勢能的定義，可將動能定理中的保守力做功與非保守力分離，將勢能與動能合并，轉化成功能原理，即非保守力做功等于系統機械能的增量。另外，系統的動能可以分解為隨質心運動的平動能和質心系下的動能，這一特性被稱為柯尼希定律。導圖里還涉及一種特殊的動力學過程，即碰撞。碰撞的特征由恢復系數表示，課程中主要涉及兩個極端情形，即恢復系數為1的完全彈性碰撞和恢復系數為0的完全非彈性碰撞。孤立的兩體碰撞過程始終符合動量守恒，但只有完全彈性碰撞才服從機械能守恒定律。

本文提出的思維導圖在內容安排上遵循從下往上循序漸進的原則，最下方是數學基礎，往上慢慢過渡到單質點力學、質點系力學。遵循這一原則，最令學生感到陌生的角動量模塊被安排在思維導圖的左上角。與動量與動能不同，角動量以及所有與其關聯的概念，如力矩、轉動慣量等，均基于一個參考點來定義，因此，角動量模塊的中心概念是參考點。所有力相當于參考點都可以定義力矩，因此，力矩這一概念是連接“力”與“角動量”兩個模塊的樞紐。基于同一個參考點，質點系所受到的力矩等于其總角動量的變化率，這一定理被稱為角動量定理。角動量定理在形式上與動量定理結構對稱，后者中的力與動量分別對應于前者中的力矩與角動量。角動量定理是矢量公式，但在平面運動中，常常只需要研究其垂直于運動平面的分量，在這種情況下，參考點退化為垂直于運動平面的轉軸。

科學的發展并非一蹴而就，對科學理論的認識也在隨時間不斷革新。科學的這一特點在三大守恒定律上體現得尤為顯著。在“力學”課程的教學體系當中，動量守恒、機械能守恒與角動量守恒分別來自動量定理、功能原理、角動量定理在外力、非保守力、外力矩為零的特殊情況，從邏輯上是牛頓三定律的衍生結論。力學體系的這種構建方式與物理學史的發展過程接近，也更有利于初學者接受學習。然而在現代物理學的理論體系當中，牛頓力學定律的地位已遠不如三大守恒定律，而是將對稱性視作最基本的原理。動量守恒定律、能量守恒定律與角動量守恒定律分別來自系統的空間平移對稱性、時間平移對稱性與空間轉動對稱性。而機械能守恒定律僅僅是能量守恒定律的一個特化版本。在思維導圖中，我們利用箭頭導向，同時展現出了這兩種理論結構。

結語

綜上所述，本文給出了物理學專業課“力學”的思維導圖。這張導圖涵蓋了力學所涉及的所有基礎知識，并通過模塊與箭頭梳理了這些知識之間的地位與關系。借助這張思維導圖，教師能夠在授課的過程中隨時提醒學生當前知識點與課程前后知識的聯系，也可以輔助學生自主學習“力學”課程。

參考文獻：

［1］漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程力學［M］.4版.北京：高等教育出版社，2021.

［2］李鴻鵠，尹菊英.思維導圖在初中物理教學中的應用：以“歐姆定律”為例［J］.新課程，2024（32）：3942.

［3］黃濤濤.思維導圖在初中物理教學中的應用［J］.江西教育，2024（35）：5354.

［4］同濟大學數學系.高等數學：上冊［M］.7版.北京：高等教育出版社，2007.

［5］李奇.思維導圖結合PPT課件在“大學物理實驗”教學中的應用研討［J］.科技風，2024（29）：8385.

作者簡介：戴凝（1991—"），男，漢族，湖南澧縣人，理學博士，講師，研究方向：介觀系統的量子輸運理論。