新醫(yī)科背景下基于數(shù)學(xué)建模的“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)研究

摘"要：“高等數(shù)學(xué)”課程是面向臨床醫(yī)學(xué)、藥學(xué)專(zhuān)業(yè)、醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)技術(shù)、生物工程、計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)、市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)等專(zhuān)業(yè)于大一開(kāi)設(shè)的一門(mén)公共基礎(chǔ)理論課，該課程的知識(shí)具有抽象性高、覆蓋面廣、應(yīng)用性強(qiáng)的特點(diǎn)。本文圍繞“高等數(shù)學(xué)”課程在“新醫(yī)科”背景下應(yīng)用型醫(yī)學(xué)人才培養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)［1］，對(duì)基于數(shù)學(xué)建模的“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)進(jìn)行研究與探索。以醫(yī)學(xué)案例、專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域案例、生活案例為知識(shí)載體，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地融入數(shù)學(xué)建模思想，實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)知識(shí)與醫(yī)藥學(xué)知識(shí)有機(jī)融合，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力、分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題能力，推動(dòng)“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)取得更好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)案例

一、研究意義

在大數(shù)據(jù)時(shí)代的新醫(yī)科背景下，課程教學(xué)以能力培養(yǎng)為中心，應(yīng)用為導(dǎo)向。“高等數(shù)學(xué)”課程“粉筆加黑板”的傳統(tǒng)教學(xué)模式過(guò)多注重理論知識(shí)的傳授，從而忽視了培養(yǎng)學(xué)生如何應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，很難有效地激發(fā)學(xué)生的求知欲，教學(xué)效果不盡如人意。

基于數(shù)學(xué)建模的“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)，通過(guò)引入實(shí)例，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，融入數(shù)學(xué)建模思想，建立模型求解。強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)與醫(yī)藥學(xué)知識(shí)的有機(jī)融合，對(duì)學(xué)生、對(duì)高校數(shù)學(xué)教師、對(duì)以學(xué)促賽等都有實(shí)際意義，具體闡述為以下三點(diǎn)。

（1）對(duì)學(xué)生：基于數(shù)學(xué)建模的“高等數(shù)學(xué)”課程研究探索，一方面，將該課程中復(fù)雜抽象難懂的知識(shí)具體化、形象化、通俗化，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。另一方面，融入數(shù)學(xué)建模思維于“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)中，潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生利用多元化的方式思考解決問(wèn)題，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。學(xué)生既能夠掌握“高等數(shù)學(xué)”課程的理論知識(shí)，又能應(yīng)用理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，驗(yàn)證了利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的可行性與有效性。

（2）對(duì)高校數(shù)學(xué)教師：基于數(shù)學(xué)建模的“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)，在一定程度上彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)方法的不足。應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思維將抽象理論知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w模型求解，豐富了數(shù)學(xué)教學(xué)的方法，提高了教學(xué)效率，為教師培養(yǎng)“新醫(yī)科”背景下的應(yīng)用型人才提供教學(xué)方法的參考。

（3）對(duì)“以學(xué)促賽、以賽促教、以賽促用”：通過(guò)數(shù)學(xué)建模思想融入課程教學(xué)，學(xué)生既熟練掌握了專(zhuān)業(yè)理論知識(shí)，同時(shí)又具有一定數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)［2］，從而提高了學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、挑戰(zhàn)杯等競(jìng)賽的積極性。教師通過(guò)組織指導(dǎo)學(xué)生參加競(jìng)賽培訓(xùn)，提高教學(xué)能力，同時(shí)通過(guò)比賽又促進(jìn)了學(xué)生掌握專(zhuān)業(yè)知識(shí)與應(yīng)用專(zhuān)業(yè)知識(shí)的能力。

二、基于數(shù)學(xué)建模的“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)研究

授課內(nèi)容是框架，如何使學(xué)生從傳統(tǒng)解題模式轉(zhuǎn)向運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題模式中，這需要教師在“高等數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)中采用多元化的教學(xué)方法融入數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。基于上述目標(biāo)，主要研究了以下三個(gè)方面的內(nèi)容。

（一）挖掘教材內(nèi)容，基于實(shí)際案例形成數(shù)學(xué)建模思維

一方面，教師精心鉆研《高等數(shù)學(xué)》教材，認(rèn)真挖掘教材中的概念、方法所涉及實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)建模思維的載體［3］，教師根據(jù)教學(xué)專(zhuān)業(yè)、教學(xué)情況、實(shí)際生活設(shè)計(jì)相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，有目的性地選取專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域中的經(jīng)典問(wèn)題對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)建模案例，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的建模思想。在“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)中充分考慮學(xué)生的學(xué)情，結(jié)合專(zhuān)業(yè)特色，更多地從專(zhuān)業(yè)相關(guān)的高等數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，引出與之對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，針對(duì)不同專(zhuān)業(yè)有目的性地選取專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域中的經(jīng)典問(wèn)題對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)建模案例。在案例的講解過(guò)程中潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地融入數(shù)學(xué)建模思想，有效地提高學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而達(dá)到高等數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)于專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域的目的。在醫(yī)藥學(xué)專(zhuān)業(yè)的教學(xué)時(shí)多使用醫(yī)學(xué)案例，如利用醫(yī)藥學(xué)中藥物恒速靜脈滴注的特點(diǎn)建立數(shù)學(xué)模型，研究體內(nèi)血液中藥物濃度隨時(shí)間變化的規(guī)律，通過(guò)建立微分方程模型，解出相應(yīng)的微分方程就可得到血液濃度隨時(shí)間變化的具體公式，對(duì)研究藥物在機(jī)體內(nèi)的吸收、代謝以及用藥定量規(guī)律具有一定參考作用。

另一方面，教師積極拓寬知識(shí)面，熟練掌握姜啟源、謝金星、葉俊編的《數(shù)學(xué)模型》［4］中的數(shù)學(xué)建模的分析思路和常用方法。廣泛閱讀以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)的醫(yī)學(xué)應(yīng)用方面的教材，如《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)》《衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)》等，掌握高等數(shù)學(xué)在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用。同時(shí)，為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力、分析解決問(wèn)題能力，在“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)過(guò)程中也可以選取實(shí)際生活中的案例，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)分析解決問(wèn)題的過(guò)程循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模思維，讓學(xué)生切身體會(huì)到高等數(shù)學(xué)知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，從而有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與應(yīng)用能力。

（二）采用多元化的教學(xué)方法融入數(shù)學(xué)建模思想于高等數(shù)學(xué)中

在“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)過(guò)程中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，教師采用多元化的教學(xué)方法，融入數(shù)學(xué)建模思想于課程教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題。同時(shí)，教師在理論教學(xué)、例題講解以及實(shí)際問(wèn)題解決等環(huán)節(jié)中融入數(shù)學(xué)建模思想，且遵循分清主次、循序漸進(jìn)等原則，優(yōu)化“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)效果。

首先是知識(shí)的引入，教師利用思政教學(xué)、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、啟發(fā)式教學(xué)、創(chuàng)設(shè)情境等方法引入教學(xué)案例，融入數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)學(xué)生的求知欲。其次是教師在講解過(guò)程時(shí)利用小組討論法、類(lèi)比教學(xué)法、多媒體輔助教學(xué)等方法進(jìn)行循序漸進(jìn)的講解。對(duì)于難度適中的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，可以讓學(xué)生以小組合作方式討論解決問(wèn)題的思路，集思廣益，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用、教師的引導(dǎo)作用，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神。對(duì)于復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，教師可以利用多媒體播放數(shù)學(xué)建模過(guò)程，如利用定積分求解不規(guī)則圖形的過(guò)程。另外，課后教師要為學(xué)生提供數(shù)學(xué)建模資源，指導(dǎo)學(xué)生求解數(shù)學(xué)模型，積極引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)數(shù)學(xué)建模軟件，如MATLAB、SPSS軟件等［5］，拓展學(xué)生的知識(shí)面。

（三）數(shù)學(xué)建模融入高等數(shù)學(xué)，“以學(xué)促賽、以賽促教、以賽促用”

在“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)時(shí)，給學(xué)生建立學(xué)習(xí)群。一方面方便給學(xué)生分享學(xué)習(xí)資源，增強(qiáng)與學(xué)生互動(dòng)，及時(shí)解答學(xué)生遇到的問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)建模思想貫穿于整個(gè)課程的教學(xué)。另一方面，通過(guò)平時(shí)的教學(xué)與學(xué)習(xí)群的互動(dòng)選取有意向參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的學(xué)生，及時(shí)溝通交流，鼓勵(lì)學(xué)生積極參賽，增加了學(xué)生參賽的概率。

首先，通過(guò)基于數(shù)學(xué)建模的“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)，有機(jī)地將教學(xué)和競(jìng)賽結(jié)合起來(lái)，通過(guò)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生既掌握了專(zhuān)業(yè)理論知識(shí)，又對(duì)數(shù)學(xué)建模有了初步的認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生參加競(jìng)賽的積極性，達(dá)到“以學(xué)促賽”的目標(biāo)。其次，在競(jìng)賽前，積極組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培訓(xùn)，競(jìng)賽的培訓(xùn)與指導(dǎo)需要教師具備更加專(zhuān)業(yè)的理論知識(shí)體系、更適合學(xué)生的教學(xué)方法，促進(jìn)了教師教學(xué)能力的提高，達(dá)到“以賽促教”的目的。最后，通過(guò)教師指導(dǎo)學(xué)生參加競(jìng)賽，不僅有利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)專(zhuān)業(yè)知識(shí)的掌握，而且有利于培養(yǎng)應(yīng)用專(zhuān)業(yè)知識(shí)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，達(dá)到“以賽促用”的目標(biāo)。

針對(duì)“高等數(shù)學(xué)”課程中融入數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行了研究探索，相關(guān)教學(xué)內(nèi)容具體實(shí)施如下。

教學(xué)內(nèi)容

建模思維融入案例

實(shí)施思路

數(shù)列極限的定義

如何近似計(jì)算π

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)：如何計(jì)算圓周率π

融入思政，引入我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉微的“割圓術(shù)”，多媒體演示割圓術(shù)計(jì)算π的求解過(guò)程。通過(guò)多媒體直觀演示用圓的內(nèi)接正n邊形面積近似圓的面積的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，引出數(shù)列極限的定義

定積分定義

如何計(jì)算生活中不規(guī)則圖形的面積？如何利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算燒傷人員的皮膚燒傷面積

多媒體教學(xué)：是否能將不規(guī)則圖形面積進(jìn)行分解，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形計(jì)算？建立求解模型，多媒體演示分割、近似、求和、取極限的步驟

S=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi

引出定積分的定義［6］：

∫baf（x）dx

變上限積分的計(jì)算

由于折舊等原因，某醫(yī)學(xué)機(jī)器轉(zhuǎn)售價(jià)格R（x）是時(shí)間x周的函數(shù)R（x）=3A4e-x96，其中A是機(jī)器的最初價(jià)格。醫(yī)學(xué)機(jī)器產(chǎn)生的利潤(rùn)P與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為：P=A4e-t48。問(wèn)轉(zhuǎn)售機(jī)器的最佳出售時(shí)間，即在什么時(shí)候轉(zhuǎn)售機(jī)器總利潤(rùn)最大

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)：假設(shè)機(jī)器使用了x周后出售的售價(jià)是R（x）=3A4e-x96，在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)器創(chuàng)造的利潤(rùn)為多少？引導(dǎo)學(xué)生回顧積分本質(zhì)，得到利潤(rùn)為：

∫x0A4e-t48dt

于是，實(shí)際問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了求下面總收入函數(shù)的最大值：

f（x）=3A4e-x96+∫x0A4e-t48dt

將實(shí)際問(wèn)題建模轉(zhuǎn)化為高等數(shù)學(xué)中的變上限積分函數(shù)［8］的最值問(wèn)題

定積分計(jì)算

關(guān)于藥物的有效度，口服藥物必須先被吸收進(jìn)入血液循環(huán)，然后才能發(fā)揮其作用。［6］已知醫(yī)學(xué)中經(jīng)典的吸收率函數(shù)為：

f（t）=kt（t-b）2（0≤t≤b）

其中k，b為常數(shù)，如何計(jì)算該藥物的吸收量

類(lèi)比引入：類(lèi)比利用微元法求已知瞬時(shí)速度時(shí)路程的計(jì)算，思考吸收率與吸收量的關(guān)系？

解決思路：轉(zhuǎn)化為定積分的微元法，藥物的吸收量D就是吸收率函數(shù)f的積分，即：

D=∫b0f（t）dt=∫b0kt（t-b）2dt

即將醫(yī)學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算問(wèn)題

積分中值定理應(yīng)用

在臨床醫(yī)學(xué)中，經(jīng)測(cè)定病人血液中胰島素的濃度C（t）（單位/ml）為：

t（10-t）（0≤t≤5）

25e-k（t-5）（tgt;5）

其中k=ln220，時(shí)間單位是分鐘，計(jì)算病人30分鐘內(nèi)胰島素平均濃度C（t）

啟發(fā)式教學(xué)：積分中值定理的含義是什么？此實(shí)際問(wèn)題是否可以用積分中值定理來(lái)求解？

解決思路：由積分中值定理公式［8］

f（x）=∫baf（x）dxb-a

則有：

C（t）=∫300C（t）dt30-0

則將計(jì)算胰島素的平均濃度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分中值定理的應(yīng)用

微分方程

假定藥物以恒定速率k0進(jìn)行靜脈滴注，按一級(jí)速率過(guò)程消除，一級(jí)消除速率常數(shù)kgt;0，求體內(nèi)血液中藥物濃度變化規(guī)律

小組討論：如何將實(shí)際中的已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示？微分方程的初始條件是哪些？

解決思路：設(shè)t時(shí)刻體內(nèi)的藥量為x，則根據(jù)恒速靜脈滴注特點(diǎn)［7］：體內(nèi)藥量變化的速率是輸入藥量的速率與消除藥量的速率之差，建立模型：

dxdt=k0-kx

xt=0=0

微分方程

對(duì)最簡(jiǎn)單無(wú)移除傳染病模型做簡(jiǎn)要介紹。模型假設(shè)［7］：（1）在疾病傳播期內(nèi)被考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，不妨設(shè)開(kāi)始時(shí)只有一個(gè)感染者；（2）設(shè)感染者的增加率與易感染人數(shù)和已感染人數(shù)的乘積成正比

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)：如何將已知條件轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)方程？設(shè)在t時(shí)刻人群易感染人數(shù)為I（t），比例系數(shù)為αgt;0，由已知條件建立微分方程：

dIdt=αI（t）［N-I（t）］I（0）=1

通過(guò)求解微分方程模型，得到易感人數(shù)與時(shí)間的關(guān)系

結(jié)語(yǔ)

在大數(shù)據(jù)時(shí)代的新醫(yī)科背景下，本文通過(guò)數(shù)學(xué)建模融入“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)研究與探索，采用多元化的教學(xué)方法在教學(xué)內(nèi)容中恰當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)建模的實(shí)例。透徹地闡述如何應(yīng)用高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)去分析解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，使教學(xué)內(nèi)容更具趣味性、啟發(fā)性、應(yīng)用性。改變學(xué)生“數(shù)學(xué)無(wú)用”的認(rèn)知，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

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作者簡(jiǎn)介：吳麟（1992—"），女，漢族，湖南婁底人，碩士研究生，助教，研究方向：數(shù)學(xué)教育、數(shù)據(jù)分析。