基于GeoGebra和BOPPPS的\"函數單調性\"教學設計

2024年發布的《中共中央關于進一步全面深化改革、推進中國式現代化的決定》強調：“加快建設高質量教育體系，優化高等教育布局，加強基礎學科、新興學科、交叉學科建設和拔尖人才培養，著力加強創新能力培養.”函數的單調性是學生在掌握了函數概念后學習的第一個重要的函數性質，它刻畫了函數在某區間上的變化趨勢，為學習其他函數性質提供了示范，同時它又是后續研究指數函數、對數函數以及三角函數性質的基礎[1].因此，如何促進學生對函數單調性的理解，如何評價學生的學習效果，成為實際教學中亟待解決的問題.

相較于傳統教學模式，BOPPPS教學模式秉持以學生為中心的理念，依托“六環節\"教學框架，設計多樣化教學活動，并構建即時反饋機制，以此激發學生學習興趣，提升課堂參與度，實現課堂學習效果的最大化.本文以“函數單調性\"教學內容為例，立足混合式教學背景，融合GeoGebra軟件，深入探索BOPPPS教學模式在高中數學教學中的具體應用路徑.

BOPPPS教學模式

BOPPPS教學模式源于加拿大，以建構主義為理論依據，強調以學生為中心，注重課堂教學中學生的主動參與和及時反饋，是一個課堂教學組織過程中幫助師生互動的參與式學習的閉環教學模式[2]，為課堂教學提供了由六個環節構成的科學框架，詳見表1.

教師在運用BOPPPS教學模型時，需結合實際教學內容與學生學情進行適當調整.本文基于BOPPPS教學模型，針對函數的單調性進行教學設計優化，以參與式學習為核心，圍繞教學目標展開教學活動.具體采用的教學形式及其作用詳見圖1.

基于GeoGebra和BOPPPS的“函數單調性”的教學設計

函數的單調性是函數的核心特性之一，它刻畫了函數值隨自變量變化而增減的規律.在初中階段，學生接觸過函數增減性概念，能夠借助直觀的圖形語言，并將其轉化為數學語言，理解函數圖象從左至右“上升\"或“下降\"的屬性．然而，進入高中后，學生首次嘗試運用符號語言來表述函數的單調性時，往往會面臨較大困難．因此，在教學過程中，教師可以借助GeoGebra讓學生直觀感知函數圖象的動態生成過程，實現師生之間的互動交流，發展數學抽象核心素養[3].依據函數單調性的內容特點與學生實際學情，基于BOPPPS教學模式的六個環節，從課前、課中、課后三個教學階段設計了具體的教學流程，如圖2所示.

（一）課前教學設計及意圖

課前發放導學任務單，引導學生明確學習目標、任務，調節思維趨向，以便教師根據學生的實際情況設計教學目標.教師通過自制的微課視頻以及配套設計在線測驗（包含5道選擇題），適當降低學生在自學中的認知負荷，幫助學生精確掌握函數單調性的基本概念[4.具體的教學設計如表2所示.

此外，教師通過設計如心理學中的艾賓浩斯遺忘曲線、物理學中的速度變化研究等跨學科知識內容，能夠引導學生將函數單調性的理論知識與實際應用相結合，深人探討函數單調性所描述的動態特征，以及該理論在不同學科情境下的模型適用性，從而有效提升學生的課堂參與度與跨學科應用能力.

（二）課中教學設計及意圖

課中參與式學習是BOPPPS教學模式的核心.教師課前精心策劃一系列具有梯度與邏輯層次的互動環節，教學設計結構嚴謹，重難點突出.基于建構主義學習理論[5]，以“氣溫變化曲線圖\"引入，采用拋錨式教學，協助學生將抽象概念具象化．通過教學工具、圖表模型等構建一系列學習錨點，為學生持續構建知識體系提供有力支撐.

1.導入環節（2min）

導入環節從氣溫變化曲線圖切入，運用GeoGebra軟件動態呈現函數圖象，激發學生的學習興趣與好奇心，進而引出本節課探究的函數單調性問題.

問題1某市某天的氣溫變化曲線圖體現了溫度T與時間t的函數關系.請描述溫度T隨時間t的變化趨勢，判斷其是上升還是下降.

追問1：大家能否再列舉一些類似的生活事例？

追問2：該圖象“從左至右\"逐漸下降，如何從數學角度解釋這一變化趨勢？

師生活動：教師用GeoGebra軟件繪制氣溫T隨時間t變化的大致圖象（如圖3所示）.引導學生觀察圖象，鼓勵學生積極發言，嘗試從數學角度解釋函數圖象的變化趨勢.

設計意圖以學生熟悉的生活情境為切入點，培養學生的數學觀察能力與問題意識，為函數單調性概念的探究奠定認知基礎，促進學生主動參與數學學習活動.

2.目標環節（1min）

目標1借助函數圖象和符號語言，準確描述函數的單調性，包括清晰闡述單調遞增（增函數）單調遞減（減函數）的定義及其對應的圖象特征.

目標2熟練掌握運用函數單調性定義進行證明的步驟，并能靈活運用該方法解決實際問題，進而發展邏輯推理與數學運算素養.

目標3引導學生關注數學學科的前沿發展，著重培養創新意識和批判性思維，學會以發展的眼光審視數學問題.

師生活動：教師通過多媒體展示本節課的學習目標，引導學生梳理并明確本節課的重點與難點，隨后組織學生共同探討有效的學習方法.

設計意圖依據前測分析與課堂導入的反饋情況，幫助學生清晰界定本節課的學習目標與重難點．教師借助診斷性評價精準把握學生的認知基礎和學習需求，科學調整函數單調性的學習目標；學生則根據自身實際學習情況，及時糾正對重點知識的認知偏差.

3.參與式學習環節（28min）

環節1構建先行組織者.

以常見函數圖象為切入點，引導學生觀察函數性質，使學生初步感知函數的變化趨勢.這一過程不僅能為后續探究函數單調性的概念奠定基礎，同時還能培養學生的觀察能力和數學表達能力.

問題2觀察圖4中函數 ?-x-2 1的圖象，說出它們分別表示了函數的哪些性質.

追問：在已學過的函數中，哪些函數關系體現了上述性質？

師生活動：教師引導學生觀察函數圖象，鼓勵學生盡可能全面地描述所發現的函數性質．對于學生提出的所有合理的觀察結果，教師均給予正面反饋，以此增強學生的學習動力，

設計意圖通過探究活動，引導學生發現函數的變化趨勢，并能用文字語言準確表述，旨在提升學生的數學抽象思維能力，以及運用數學方法分析和解決問題的能力.

環節2抽象概括，形成概念.

在學生已初步認識函數變化趨勢的基礎上，引導學生通過對函數一般性定義進行抽象概括，深入探究函數單調性的概念.

問題3我國著名數學家華羅庚曾說過，“形少數時難入微”這句話意味著僅憑圖形語言往往難以深刻把握數學的本質.因此，我們需要進一步借助符號語言，更準確地刻畫函數的單調性．不妨先研究二次函數y=x² 的單調性，以圖5中y軸左側的部分圖象為例，能否通過自變量與函數值之間的關系，來描述圖象從左到右呈下降趨勢的特征呢？

師生活動：學生憑借已掌握的數學基本思想和積累的基本活動經驗展開分析，教師則從“觀察方法\"切入，引導學生深入研究.

追問1：如何用符號語言描述函數自變量與函數值的變化趨勢？請閱讀教材中的相關內容，并完成表格填寫.

追問2：觀察圖6，自變量x是如何取值的？

追問3;為什么自變量通常取 x₁ x₂ 兩個值，而不是三個或更多的值？

追問4：可以任意取 x₁，x₂ 兩個值嗎？說明理由.

師生活動：教師借助信息技術動態展示函數圖象，引導學生先觀察，再獨立思考并填寫表格，整理觀察結果.隨后，教師邀請學生代表分享成果，并在PPT上展示預先填寫好的內容（如表3所示）.

設計意圖通過探究活動，引導學生經歷數學概念的符號化過程．在文字語言與符號語言的轉化中，幫助學生逐步構建函數單調性的精確數學表征，深化對概念本質的理解，進而達成教學目標1.

追問5：如圖7所示，繼續觀察函數 f（x）=x² 的圖象，你能把 _.x?0 時函數的單調性填寫在表3的右半欄中嗎？

師生活動：學生根據要求完成任務，隨后展示成果，如表4所示.教師通過追問的方式，引導學生深化對函數單調性變化趨勢的理解.

追問6：如何借助全稱量詞命題來解釋表3中“符號語言\"部分的內容？以單調遞減為例，該命題的真假性如何判斷？

師生活動：教師提問，學生思考并嘗試作答.

設計意圖通過追問5，引導學生開展參與式學習，借助圖象觀察直觀感知函數的單調性；追問6則進一步深化學生對函數單調性的理解，促使學生運用全稱量詞進行數學表達，培養邏輯推理能力．這些層層遞進的追問，既鞏固了學習成果，又為后續的抽象概括奠定了基礎.

追問7：對于單調遞增的命題，應如何判斷其真假性？

師生活動：教師將此問題設為課后作業的思考題，要求學生參考課堂所學的單調遞減命題證明方法，進行類比推理，嘗試寫出單調遞增命題的證明過程.

設計意圖通過布置類比遷移任務，引導學生將課堂所學的單調遞減命題證明方法應用于新情境．學生在模仿實踐中，能夠深化對函數單調性證明的理解，提升數學語言表達能力，發展邏輯推理素養，實現知識的有效遷移.

問題4函數 f（x）=∣x∣，f（x）=-x² 有怎樣的單調性？請仿照上述過程進行證明.

師生活動：學生兩人一組，分別y=|x| 單調性的動態說明

y=-x² 單調性的動態說明

n=4 . y 2 -8-6-4 -2 02 4 68 .------------------.--- 4 x -10 68 ..... -12 -14 16 A（4，-16） -18

研究不同函數的單調性，嘗試運用符號語言精確描述函數動態展示的特性．教師巡視教室，適時提供必要指導.

設計意圖本活動旨在幫助學生從直觀感知過渡到符號語言的精確表達，符合學生已有知識基礎．通過合作學習，促進學生對函數單調性的初步理解；同時，引導學生在課堂探究過程中，逐步掌握運用數學語言描述函數性質的能力，為后續嚴格定義函數單調性奠定基礎，助力達成教學目標3.

問題5歸納總結上述函數單調性的共同特性，并嘗試用符號語言來刻畫函數 ?y=f（x） 在區間D上的單調性.

師生活動：首先，學生獨立總結函數單調性的描述方法；隨后，教師給出單調遞增及增函數的定義；最后，學生參照所學定義，通過類比推理，自主推導出單調遞減及減函數的定義.

一般地，設函數 f（x） 的定義域為 I 區間 D?I. （204號類比自主推導出減函數的定義．這一過程充分體現了“主動學習”與“反思性學習”的理念，有助于培養學生的邏輯推理能力和數學表達能力，強化其對函數單調性本質的認知，逐步達成教學目標1.

環節3辨析概念，加深理解

通過設置問題引導學生深入思考函數單調性定義中的關鍵要點，學生在討論和構造反例的過程中，能夠進一步深化對函數單調性的理解，達成相關教學目標，這為后續正確運用函數單調性解決問題奠定了基礎.

問題6函數單調性定義中有哪些關鍵要點需要注意？應該如何理解函數單調性的定義？

師生活動：學生以同桌為一組進行討論，隨后開展全班交流，共同提煉出“區間 D ”\"任意”“都有\"這三個關鍵要素.

追問1：若在區間 D 內存在兩點x₁，x₂ ，且當 x₁2 時，都有 f（x₁）2） （f（x₁）gt;f（x₂） ，能否判定 f（x） 是增（減）函數？

追問2：你對函數單調性還有哪些新的理解？能否舉例說明？

師生活動：教師引導學生分組討論并構造反例，以此幫助學生深入理解自變量取值的“任意性”，明確函數單調性屬于局部性質.

設計意圖通過上述問題串的設置與探究，幫助學生區分“單調遞增（減）\"與“增函數（減函數）\"等概念，深化對函數單調性定義的理解，從而達成教學目標1.

環節4初步應用，培養技能.

這一環節安排在學生深人理解函數單調性概念之后，通過具體實例引導學生運用所學知識解決問題，以此達成教學目標2，同時也為后測環節檢驗學生的學習效果奠定基礎

例1再次觀察問題1中的氣溫趨勢圖，分析函數 y=f（x） 的單調區間，并判斷在每一單調區間上 ?y=f（x） 是增函數還是減函數.

設計意圖通過回顧本次課的導入內容，引導學生體會數學與生活的緊密聯系，進而實現教學目標3.

師生活動：教師巡視課堂，由學生獨立完成該例題

設計意圖此過程旨在幫助學生進一步明確函數單調性的局部性質，掌握書寫單調區間的注意事項，逐步實現教學目標2.

例2根據定義，研究函數 f（x）= kx+b（k≠0） 的單調性.

例3 根據定義證明函數y=x+-1在區間 （2，+∞） 上單調遞增.

追問：歸納例2、例3的解題過程，能得到利用單調性定義研究或證明 y= f（x） 在區間 D 上單調遞增（減）的基本步驟嗎？[6]

師生活動：先讓學生獨立思考，再組織全班進行交流討論，最后師生

?x₁，x₂∈D ，當 x₁2 時，都有 f（x₁）2） 則稱函數 f（x） 在區間D上單調遞增； ?x₁，x₂∈D ，當 x₁2 時，都有 f（x₁）gt;f（x₂） ， 則稱函數 f（x） 在區間D上單調遞減.

設計意圖通過引導學生獨立思考與類比推理，深化其對單調遞增和單調遞減概念的理解．教師先給出增函數的定義，隨后學生基于此，通過共同歸納，得出證明函數單調性的基本步驟（具體內容見圖11）.

設計意圖通過引導學生體會函數單調性的證明方法，培養其數學抽象核心素養，從而全面達成教學目標2.

4.后測環節（5 min）

后測環節基于前期學習內容，對學生的學習目標達成情況進行檢測.測試結果能夠為教師提供反饋信息，進而為后續布置個性化課后作業以及調整下節課教學內容提供依據.

測試題1：根據定義證明函數f（x）=-2x-3 是減函數.

測試題2：根據定義證明函數 在區間 （-∞，0） 上單調遞增.

設計意圖測試題1用于檢測教學目標1和教學目標2中的相關知識點，測試題2則聚焦于考查學生運用函數單調性定義進行證明的掌握程度，從而為課后作業布置及下節課教學內容規劃提供依據.

5.總結環節（2min）

總結環節是對整堂課的梳理與升華．當學生完成學習任務和測試后，教師可借助思維導圖，幫助學生回顧本節課的重點知識，并進行系統整合.這既能加深學生對知識的記憶，助力其構建完整的知識體系，又能為學生課后復習提供有效參考．此外，該環節還能為學生后續學習其他函數性質奠定方法基礎.

設計意圖通過思維導圖（圖12），幫助學生明確本節課的主要學習內容與基本思路，使知識點架構更加系統全面，從“定義”“判定方法”\"一般方法”三個維度梳理內容，可讓學生對知識脈絡的把握更為清晰.

（三）課后教學設計及意圖

課后環節是課堂教學的延伸.教師通過分析學生作業、課堂討論及后測情況，反思教學過程中的優點與不足，針對性改進教學方法，以提升教學質量.

學生根據后測結果識別自身學習問題后，及時向教師或同伴尋求幫助，并認真完成課后作業，以強化知識理解與應用.另外，教師依據學生后測及總結環節的反饋，對本次課的教學效果進行深入反思[．具體設計內容如表5所示.

結語

本文基于GeoGebra軟件和BOPPPS教學模式構建了“函數單調性\"教學設計．在運用BOPPPS教學模式時，遵循教學目標的導向性原則，強調學生的主動性，鼓勵學生積極參與課堂討論[8]．課堂教學結束后，通過課后總結與反思，不僅提高了學生的課堂參與度，還幫助教師有效修改、調整教學內容，優化教學方法，從而在課堂教學中更好地實現教學目標

參考文獻：

[1］李興貴.基于六環節模式的\"函數的單調性\"教學設計[J].數學通報，2014，53（8）：54-57+59.

[2］曹丹平，印興耀．加拿大BOPPPS教學模式及其對高等教育改革的啟示[J].實驗室研究與探索，2016，35（2） 196-200+249

[3］左曉明，田艷麗，贠超.基于GeoGebra的數學教學全過程優化研究[J].數學教育學報，2010，19（1）：99-102.

[4］姚婉清，余能芳．BOPPPS教學模式的教學設計要素分析及案例設計[J]．化學教育（中英文），2022，43（18）：51-57.

[5]邊磊，李田，關玲，等.基于建構主義理論的有機化學實驗混合式教學設計與實踐[J].化學教育（中英文），2022，43（2）：64-68.

[6]王麗鳳，陶珺.融合信息技術促進深度學習—以“函數的單調性與最大（小）值\"教學為例[J].中學教學參考，2024（11）：18-21.

[7］周春燕．基于BOPPPS模式的高中立體幾何初步教學設計研究[D].黃岡師范學院，2023.

[8］鄭宇晴，朱靈坤，張軼炳.基于BOPPPS教學模式的\"大氣壓強\"教學設計[J].物理教師，2019，40（1）：7-11.