從哥尼斯堡七橋問題談數學抽象和數學模型思想

七橋問題是一個經典的趣味數學問題，也是圖論和拓撲學的本源問題。文章由七橋問題出發，分析其中蘊含的數學抽象與數學模型思想，并探究數學抽象與數學模型思想在教學中的運用策略。

在數學學習過程中，數學知識往往是最容易被遺忘的，但數學思想一經掌握，就會形成數學素養，難以磨滅。哥尼斯堡七橋問題作為一個經典的趣味數學問題，被廣泛收錄在小學、中學、大學各學段教材中。其中的數學方法、數學思想歷久彌新、引人入勝。探究七橋問題中的數學思想，有助于形成良好的思維品質和理性精神。

1哥尼斯堡七橋問題的歷史沿革

18世紀，俄羅斯東普魯士的首府哥尼斯堡（今加里寧格勒）是一個風景秀麗的城市，有一條河穿城而過，河中心有兩個小島，七座橋。居住在哥尼斯堡城中的市民經常沿河過橋散步。當時，散步的人們提出了這樣一個問題：能不能一次走過所有這些橋，而不重復不遺漏其中的任何一座呢？

有些人確信這是可能的，但也有另一些人反對，認為這樣的路線是找不到的。尋找這樣滿足“既走遍七座橋，又不重復走過任何一座橋”的路線問題引起了許多人的興趣。有人一遍又一遍地沿河過橋，也有聰明一點的人認為：問題挺簡單的呀，在紙上畫畫不就畫出來了？沒想到的是，不論是沿河過橋者，還是紙上畫畫者，他們嘗試了很多個方案都不成功，絞盡腦汁，就是無法找到答案。

七橋問題初看起來是一個線路問題，似乎用已有的幾何學知識就能解決，但事實上，當時來往此處的居民始終沒能找到答案，最后有人把這個問題提到了大數學家歐拉那里。歐拉對這個問題進行了完整的數學研究，并在1736年把研究結果寫成了一篇論文《論哥尼斯堡的七座橋》，提交給了圣彼得堡科學院。論文是這樣開頭的：“幾何學的一個領域研究測量大小及方法，它在古代就被仔細研究過，在這個領域之外，萊布尼茨首先提出了被他稱之為‘位置幾何’的另一個領域。這一幾何學領域研究的是圖形各部分之間相對的分布次序，而不是它們的尺寸。不久之前我聽說了這個屬于‘位置幾何’的問題，現在我要用我發現的方法來解答?！边@一數學領域在現代被稱為“拓撲學”。

歐拉對七橋問題進行了深入思考，他意識到這是一個不同于歐氏幾何的全新幾何問題。他認為七橋問題與小島的形狀、大小沒有關系，與河岸的形狀、長短沒有關系，與七座橋的形狀、大小也沒有關系，重要的是橋與橋、橋與河岸、橋與小島、小島與河岸的位置關系。于是，歐拉將原來的地圖抽象為了“點線圖”。他將兩個小島和兩岸抽象為4個點，將七座橋抽象為7條線，如圖1、圖2。通過抽象，既簡化了問題的條件，又突出了問題的本質。

接下來，歐拉將不重復走遍七座橋的問題抽象為“一筆畫”問題?！耙还P畫”指的是在一個封閉圖形上，讓筆尖落到封閉圖形的某一位置，中途不能離開紙面，一筆畫出給定圖形，并且不能重復經過圖形中的任何一條線。接著，歐拉對原問題建立了數學模型，用數學語言重新敘述了七橋問題。即找到一個圖形是一筆畫的充要條件，并對是一筆畫的圖形，給出一筆畫的方法。

首先，歐拉對能夠一筆畫的圖形特征進行了討論，能夠一筆畫的圖形必須是連通的。又將圖形上的點分成了兩類：有奇數條線相連的點稱為奇點，有偶數條線相連的點稱為偶點。歐拉發現，如果從某一點出發，中途經過的點一定是有進有出的偶數條線與其相連，即為偶點；如果起始點與終止點重合，這個點也必然有偶數條線與其相連，也為偶點。如果起始點與終止點是兩個點，那從起始點出發的線可以是只出不進，回到終止點的線可以是只進不出，這種情況下的起始點和終止點即為奇點。

為了一筆畫成功，顯然圖中偶點要多一些才好?？梢宰C明，無論圖形是什么樣子的，要么根本沒有奇點，要么有2個、4個、6個總之是偶數個奇點。如果圖形中沒有奇點，那么它總能被一筆畫出來，從任何地方開始畫都行。如果圖形中只有一對奇點，那么這個圖形以其中一個奇點為起始點，另一個奇點為終止點，就能被一筆畫出來。如果圖形有超過一對的奇點數，那么它就完全不可能一筆畫出來。

最后，歐拉總結出連通的點線圖能夠一筆畫的重要條件是圖形中奇點的個數要么0個，要么2個。經過上述理論研究，歐拉完美地解決了七橋問題，從圖2可以直觀地辨別出圖中的4個點都是奇點，這也意味著，哥尼斯堡的七座橋不可能不重復地一次性通過，即七橋問題是無解的，這是一個多么令人驚訝的結果！雖然看似找不到一次性走遍七座橋的路線很遺憾，但是問題的整個研究過程很有趣，并且得到了有關一筆畫的充要條件，為圖論和拓撲論這兩大新興學科奠定了基礎。

2七橋問題中的數學思想方法

回顧哥尼斯堡七橋問題的解決過程，歐拉成功地應用了數學抽象和數學模型兩個數學思想方法，通過數學抽象，將實際圖形抽象為四個點和七條線所構成的直觀的點線圖；通過數學模型，將七橋問題轉化為一筆畫問題。在歐拉抽象的過程中可以看到，問題中的河流、橋、島、河岸都不是本質的，去掉它們的物質屬性，本質的只有點、線及它們之間的位置關系。這樣，透過現象、抓住本質，七橋問題迎刃而解。

數學抽象是對現實世界具有數量關系和空間形式的真實素材進行加工，舍去被研究對象的個別的、非本質的屬性，提煉出共同的本質屬性，并用數學語言表達成數學理論的過程。數學抽象是一項重要的數學核心素養。數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法和思想，認識數學結構與體系。數學抽象在數學中無處不在。任何一個數學符號、概念、法則、公式、性質、定理等都離不開抽象思想；任何一個聯系實際的問題要用到任何的數學知識解決的過程都離不開抽象思想。

數學抽象思想很重要，數學抽象能力的高低決定了學生思維水平的深刻程度，甚至影響著一個人的智力水平。抽象思想是一般化的思想，在數學學習中隨處可見。例如，從數字的產生，結繩計數、石子計數到阿拉伯數字1，2，3的形成，從自然數集N擴充到正有理數集、實數集、復數集，從算術運算發展到代數式運算，從常量數學發展到變量數學等等。數學抽象思想的作用猶如一盞明燈，為我們探秘神奇的數學世界指引了正確的方向。

只要有數學課堂教學，就一定有數學抽象思想的存在。因此，從小學開始，學生學習數學的過程必然也離不開數學抽象這一思想方法。根據小學生的心理、認知特點，小學數學的教學往往注重操作和直觀，有利于學生積累數學基本活動經驗。但需要注意的是，操作和直觀只是教學的手段而非目的，在適當的時機適度地進行數學抽象，才能對發展學生的抽象思維能力和認識數學的本質起到事半功倍的效果。史寧中教授把抽象分為簡約階段、符號階段和普適階段，這三個階段在數學教學中起到的作用，是能夠讓學生對數學對象的認識從具體的實物到個別的具體的數學對象，再從特殊、直觀的認知上升到一般、普適的認識，這也就是完成數學抽象的過程。這個過程是長期的、反復的，在教學中我們可以嘗試抓住以下幾個方面。 ① 通過操作和直觀，用實物表達數與數、形與形、數與形的具體的概念、關系、結構等； ② 用圖形表達數與形的直觀的概念、關系、規律等； ③ 用數學符號表達數與形的具體的概念、關系、結構等； ④ 用數學語言和符號表達數與形的一般的概念、關系、規律等。

數學模型是用數學語言概括、描述關于部分現實世界事物和為某一特殊目的而作的一個抽象的、簡化的數學結構。數學模型屬于數學的應用，但與通常所說的數學應用有著本質的區別。這個區別可以從數學思想方面來看，數學模型也稱為一種數學思想，當運用數學概念、原理和方法來解釋、描述和解決現實世界中的某類問題時，往往這類問題會蘊含著某種事物發生的規律性。運用模型思想的關鍵就在于把握現實世界中這類問題的本質與規律。

數學模型并不是新的事物，自從有了數學，就有了數學模型。目前，數學的應用已滲透到了各個領域，在人們日常生活的各種活動中，無時無刻不留下數學模型的烙印，人人都會接觸到它。數學模型是連接數學與生活應用之間的橋梁。數學來源于現實生活，建立數學模型的過程，就是將數學理論知識應用于實際問題的過程。通過從數學外部進入數學內部，在數學內部進行推理、演算，再從數學內部出來，指導外部生活實踐，這個過程，不僅是數學建模的過程，也是數學發展、創新的過程。著名數學教育家弗賴登塔爾曾提出“現實數學教育”的觀點，他主張數學的學習要讓學生從現實情境中經歷“學數學、做數學、用數學”的過程，這其實和數學模型思想是一致的。只有這樣，學生才能體會到從現實情境中發展數學是獲得再創造數學的絕好機會。在建立模型形成新的數學知識的同時，更好地體會數學與現實世界的聯系。因此，數學模型意識、模型觀念的培養需要將數學知識方法緊密地與現實世界的問題進行聯系，經歷“問題情境一建立模型一生活應用”的活動過程，是實現數學模型應用的基本途徑。

3數學抽象思想與數學模型思想的運用策略

近年來，數學教學越來越注重對數學核心素養的理論研究及實踐研究，而數學思想方法的教學對達成數學核心素養的目標是有很大裨益的。一方面，抽象、推理、模型等基本數學思想本身就是數學核心素養的內涵指標；另一方面，數學思想方法的教學融合在數學知識、理論之中，通過長期的滲透和培養，也就形成了學習者的理性思維、辯證思想等數學核心素養。因此，注重數學思想方法的教學是很有必要的，下面從數學抽象思想和數學模型思想方面談一談在教學中的運用策略。

3.1“化繁為簡一去外形、顯本質”展現數學抽象的數學化過程

在哥尼斯堡七橋中，人們嘗試了多種方法都找不到一次性走遍七座橋的路線。歐拉將這個實際問題數學化，拋開非本質信息，抽象出本質特征，并將其簡化為一筆畫問題。這種應用數學抽象進行數學化的方法為人們認識世界提供了方法論上的指南。

近年來，新課程改革背景下，帶有現實信息的“情境類”問題在數學教材、數學試題中頻頻出現。“情境類”問題是指以真實問題為背景，數學問題產生于數學情境。解決“情境類”問題，數學抽象是一大利器，學生應用數學抽象思想方法就能對情境進行數學化，進而對情境中的數學信息進行觀察、分析、比較、發現，形成數學問題，最后通過解決問題生成數學知識，獲得創造性數學成果。

以一個日常生活中的普通現象為例，一把四只腳的椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，放不穩，如果稍微挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩了。這是一個在日常生活中，特別是在土質地面上放置一把椅子或是四腳凳時會碰到的問題。若是用數學的眼光看待這個問題，該如何進行數學方式的解釋呢？首先，需要將這個實際現象中的椅子和地面做一些必要的假設，如椅子的四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個點，四腳的連線呈正方形，地面高度是連續變化的、相對平坦的。即地面可視為連續曲面，椅子在任何位置至少有三條腿同時著地。這些假設是對椅子與地面的合理簡化，也為下一步建立數學模型進行了本質的抽象。接下來，用數學語言表述椅子四只腳同時著地的條件和結論。假設椅子四腳的連線呈正方形，以中心為對稱點，正方形繞中心的旋轉正好代表了椅子位置的改變，再假設椅子繞中心旋轉角度為0，而椅子四只腳與地面有四個距離，椅子在不同位置時椅腳與地面的距離不同，這個距離是椅子位置變量0的函數。由于正方形的中心對稱性，只要設兩個距離函數就行了。即其中一對角與地面距離之和為j Ω^c（θ） ，另一對角與地面的距離之和為 g（θ）f（θ） ， g（θ）gt;0 。由于椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的，和中至少有一個為零。當 θ=0 時，不妨設 g（θ）=0，f（θ）gt;0 ，而當椅子旋轉 90^° 后，對角線互換，此時 ， 。這樣，改變椅子位置要使椅子四只腳同時著地，就歸結為證明如下的數學命題：已知 f（θ） 和g η（θ） 是0的連續函數，對任意的θ f（θ）?g（θ）=0 ，且 ， f（θ）gt;0 ， 。證明存在 ，使得 g（θ₀）=f（θ₀）=0 根據連續函數的零點定理可知，容易證明，必存在這樣的 θ₀ ，使得 ?_y（θ₀）=f（θ₀）=0 。即椅子能在不平的地面上四腳著地、放穩。

這個生活現象與七橋問題有著異曲同工之妙，都有著具體的生活“情境”?？此婆c數學無關，卻最終都用數學抽象概括出數學信息，用數學語言表達出數學問題，用數學模型解決實際問題，展現了數學抽象思想“去外形，顯本質”的數學化魅力。

3.2“化具體為抽象”展現數學抽象的一般化優勢

面對七橋問題，歐拉不僅將其簡化為一筆畫問題，還進一步探求了一筆畫的充要條件，為圖論和拓撲學奠定了基礎。正是通過拋開復雜的具體問題，再應用數學抽象后問題的一般化解法，開創了新的學科領域。七橋問題原初只是一個游戲，歐拉把七橋地圖抽象成用7條曲線與4個點連接的點線圖，把圖看成由彈性很好的橡皮繩結成的網。點的位置與曲線的長短無關，每一條邊可以任意收縮，也可以任意曲直變形，只考慮圖形中的點和線的個數及位置關系，這恰是后期被稱為拓撲學的這門重要數學學科的核心思想方法。這就是數學抽象的一般化優勢，讓七橋問題催生了圖論和拓撲學的誕生，體現了數學來源于生活，又高于生活。

例如，每個人學習數學最初都離不開數數，如1，2，3……那這些被廣泛使用的自然數又是如何產生的呢？其實就產生于人們在實際生活情境中對事物數量的抽象。在古希臘著名的《荷馬史詩》中，有一個與自然數相關的故事。一位眼睛被刺瞎的牧羊老人每天坐在山洞口照料他的羊群。因為眼睛看不見，他只能通過耳朵聽羊群的走動。每天早晨，老人都會預先準備好一堆小石子，然后打開羊圈，放羊群出去吃草。當他聽到出來了一只羊后，他就從那堆石子中撿起一顆石子。到了晚上，羊群從外面返回羊圈，老人拿著早晨撿起的石子，聽著每一只進洞的羊，每進去一只，他就扔掉一顆石子。當他把早晨撿起的石子剛好扔光時，他就知道所有的羊都返回了山洞。多么明智的辦法，根本不用計算羊的數量，只需要把羊的只數與石子的顆數一一對應起來，就能知道羊群是否全都返回山洞了。將每一只羊對應到每一顆石子上的辦法，在數學上指的就是“對應關系”，這就是數學抽象。也可以把羊換為牛、雞、蘋果等其他事物，都不影響將其抽象為石子。更進一步，抽象為數字1，2，3只要這些事物的數量與石子的數量是一樣多的，那么石子就是連接事物數量與自然數對應關系之間的橋梁。這樣的表達方式是具有一般性的，這樣的思想可以應用到數量的“多與少”對應于數的“大與小”。例如“5個蘋果”與“3個梨子”之間進行一一對應，多出了“2個蘋果”，在數學算式上就抽象出： 5gt;3 。當然，更為重要的是，數學抽象為人們定義自然數提供了公理化的方法。

3.3“問題情境一建立模型一生活應用”展現數學模型的獨特性

數學是一種模型的科學，建模是構建數學與生活應用之間的橋梁。歐拉解決七橋問題的獨特之處就是把七橋問題抽象成了一筆畫這個“數學模型”。他沒有用深奧的幾何理論去思考七橋問題，反而想到的是將一筆畫圖形建立成一個數學模型，由此，七橋問題的成果極為顯著，結論也具有普遍性，能應用到更廣泛的領域。數學模型在日常生活、生產乃至科學研究上都有著重要的作用，它的魅力無處不在。在小學階段，加法模型、乘法模型、植樹問題、行程問題等無一不是數學模型。在中學階段，數學課本中諸多概念、公式、定律、公理，特別是用圖、表描述數量之間的關系，都是直觀的、形象化的數學模型，數學模型有著其他手段不可替代的作用。在大學階段，數學模型更是作為一門課程有著完善、詳盡的知識結構。數學模型既是一種思想，也是一種方法，在很大程度上決定了實際問題最終能否被解決。

基于“問題情境一建立模型一生活應用”這一主線，在教學活動中，非常有必要為學生提供一個完整、真實的問題背景。這樣，在教學活動中，學生就會極易產生濃厚的興趣，形成學習的動力。同時問題情境往往具有鮮明的外部特征，能夠刺激學生的視覺感官，從而激發學生多感官參與到教學活動中來。比如學習小組成員間的互動、交流，形成了可持續的合作學習，反過來合作學習又能促進個體的自主學習。問題情境應蘊含著數學知識和生產生活兩種背景，學習知識與真實生活情境必須相融合，不能處于分離或勉強合成的狀態。例如前文提到的椅子放穩問題，學生能夠在生活中直觀看到這一情景，通過自主操作感受到椅子挪動前后的狀態，觀察到沒放穩和放穩后椅腳與地面的變化，思考現象背后的數學信息。在進一步探究建模的過程中，就能提出模型的假設，建立模型，此時多種求解的方法也能孕育而出?？赡艿玫降慕Y果會因人而異，有所不同，這就需要再次建模，讓結論在多次反復中得到或修正。這個過程可概括為：問題情境→一次建模→解釋、評價模型→二次建模 $$ 修正結果、模型檢驗→拓展應用。探究建模往往不是一次建模就能完成的，學生在一次建模時提出的數學問題并不是一步到位的，這就需要經過二次建模、再次建模，或更多次建模，在這個過程中，教師須進行有機引導，可以針對情境“以問引問”，層層剖析，使情境與數學問題有機地整合起來；也可以合作學習，進行小組討論，討論的結果可以使模型中各個變量的屬性越發清晰。直到逐漸完善模型，找到正確的解決方法，得到優秀的模型結果，最終形成數學知識、思想和方法，獲得新的數學活動經驗。所以說，好的建模過程常常帶有藝術品的特點，可以被別人品味和欣賞。

4結語

雖然哥尼斯堡七橋問題的解決策略早已廣為人知，但結論背后的數學思想方法卻并不唯一，也不像表面上看起來那么簡單。探尋數學名題背后的歷史沿革、經歷數學家證明結論的嘗試過程、挖掘問題解決所需的數學思想方法，不僅能夠拓寬學生的學科視野，還能使學生的思維在與歷史名題、趣題的碰撞中摩擦出對數學積極求知的火花，具有較強的教育價值和現實意義。數學思想是數學的靈魂，數學思想方法的教學有利于建立現代數學教育觀，落實新課程理念，提高數學素養。

基金項目：2023年度云南師范大學本科課程思政建設項目“2023年課程思政建設—小學數學思想方法”，項目編號：02000205020502038。

（作者單位：云南師范大學職業技術教育學院）