合理聯想，提升素養

一道綜合性選擇題的設置，既要遵循學生的認知特點，引導他們關注已知條件和未知問題的關聯，又要符合其思維習慣，教會學生從問題著眼，以條件為依托進行分析.試題的綜合性是若干知識板塊以圖形為載體，以組成元素（如邊，角）為紐帶的有機體現.綜合性選擇題既能考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力，又能發展學生數學建模、邏輯推理、幾何直觀和數學運算的能力.本文中以一道期末試題為例，展示其解法的探究歷程，并給出對該試題的評價.

1試題呈現

（2023武漢市武昌區期末測試卷第10題）如圖1所示， ΔABC 中，∠BAC=60^° ，點 D 是 ΔABC 外一點， ΔBCD 是等邊三角形，過點 D 分別作 AB，AC 的垂線，垂足分別為E，F ，若 CF=3BE ，則 A的值為（ ）.

D.

2試題分析

本題以等邊三角形為載體，以 60^° 角為依托，綜合考查外角、等邊三角形、含 30^° 角的直角三角形以及全等三角形等知識.

解決的方法：（1）在直線 AB 和直線 AC 上，分別構造第三個 60^° 的角；（2）分別過點 B 和點 c 向 AC .AB引垂線；（3）以 AB 為邊作等邊三角形；（4）以 AC 為邊作等邊三角形.此外，本題條件和問題均出現比值，可根據“比值設參”，設BE為1，則 CF 等于3.

針對線段長度的求解問題，學生已具備以下知識與方法：“面積法”“全等三角形”和“在直角三角形中，如果一個銳角等于 30^° ，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”多角度探究方法，促進學生對所學知識的深入理解，是綜合性選擇題的一大特色.

3試題解析

對于幾何題，通常要根據圖形屬性和已知條件特征，利用所學知識合理聯想，添加輔助線構造全等三角形，完成邊和角的轉化.對于線段長度的求解問題，常利用方程思想，通過設未知數實現數與形的相互轉化.

思路1：在直線 AB 和 AC 上，分別利用 ∠BAC= 60^°，∠DBC=60^° 和 ∠BAC=60^° ， ∠BCD=60^° ，來構造“一線三等角\"模型，得到全等三角形.再結合等邊三角形和含 30^° 角的直角三角形的性質，求出 AB，AC的數量關系.

解法1：如圖2所示，在直線AB 上取一點 M ，使 ∠AMD= 60^° ，延長 MD，CF ，使之相交于點N ，因此 ΔAMN 是等邊三角形.

由外角性質可知 ∠MBD= ∠ACB ，又 BD=BC ，則 ΔABC?ΔMDB （AAS）.

同理 ΔABC?ΔNCD 因此 BM=CA=DN AB=MD=NC

設 EM=b ， BE=1 ，則 BM=CA=DN=b+1 CF=3 ：

在 RtΔMDE 中， ∠EDM=30^° ，則 DM=2EM= 2b，于是 AB=CN=2b

所以 FN=CN-CF=2b-3

在 RtΔDFN 中， ∠FDN=30^° ，則 DN=2NF 可列方程 b+1=2（2b-3） ，解得 1

于是 ，所以 ：

故選答案：A.

思路2：由于“ ∠EBD=∠BCA，BD=BC ”，滿足“SA\"條件，又△BDE是直角三角形，所以分別過點 B 和點 c 作 BK⊥AC，CG⊥AB ，垂足分別為 K，G ，得到全等三角形，再根據含 30^° 角的直角三角形的性質，求出 AB，AC 的數量關系.

解法2：如圖3所示，分別過點B 和點 c 作 BK⊥AC，CG⊥AB ，垂足分別為 K，G ，同解法1思路，得到ΔEBD?ΔKCB

設 BE=1 ，則 KC=BE=1 BG=CF=3

設 AG=a ，則 AB=AG+BG=a+3.

在 RtΔACG 中， ∠ACG=30^° ，則 AC=2AG= 2a ，于是 AK=AC-KC=2a-1

在 RtΔABK 中， ∠ABK=30^° ，則 AB=2AK ，可列方程 a+3=2（2a-1） ，解得 ：

因此 ，所 以 1

思路3：以 _AB 為邊構造等邊三角形，利用“手拉手\"模型得到全等三角形，再結合全等三角形和含 30^° 角的直角三角形的性質，求出 AB，AC 的數量關系.

解法3：如圖4所示，以 AB 為邊在其右側構造等邊三角形ABM ，可知點 M 在 AF 上，連接DM ，延長 MB，DE ，使之相交于點T .設 BE=1 ，則 CF=3

因為△ABM， ΔBCD 均為等邊三角形，所以 AB=MB ， CB=DB ！ ∠ABM= ∠CBD=60^°

所以 ∠ABM-∠CBM=∠DBC-∠MBC ，即∠ABC=∠MBD ：

因此 ΔABC?ΔMBD（SAS） ：

所以 ∠BMD=∠BAC=60^°，DM=AC.

由平角的性質可知， ∠DMF=60^°

設 MF=a ，則在 RtΔMDF 中， ∠MDF=30^° DM=2FM=2a

因此 CM=CF-MF=3-a，AM=AC+CM= 2a+3-a=a+3 ，于是 BM=a+3 ：

在 RtΔBET 中， ∠BTE=30^° ，則 BT=2BE=2 因此 TM=TB+BM=2+a+3=a+5.

在 RtΔDMT 中， ∠DTM=30^° ，則 TM=2DM 可列方程 a+5=2×2a ，解得 ：

因此 所以 ·

解法4：如圖5所示，以 AC 為邊在其左側構造等邊三角形 ACS ，可知點 s 在 _AB 上，連接 |DS| ，延長SC，DF ，使之交于點 H. 設BE=1 ，則 CF=3

同解法3，可得 ΔABC? ΔSDC ，則 ∠DSC=∠BAC= 60^°，AB=DS，∠BSD=60^°，

設 BS=a ，則 SE= BS+BE=a+1.

在 RtΔEDS 中， ∠SDE=30^° ，則 DS=2SE= 2（a+1）=2a+2.

在 RtΔCFH 中， ∠CHF=30^° ，則 CH=2CF=6

在 RtΔSHD 中， ∠SHD=30^° ，則 SH=2DS= 4a+4 ：

因此 SC=SH-CH=4a+4-6=4a-2 ，此時AB=AS+BS=4a-2+a=5a-2.

再利用 AB=DS ，可列方程 5a-2=2a+2 ，解得 2

因此 所以 ：

4試題評價

4.1取于教材，發揮教材導向功能

本題取于人教版教材八年級上冊第93頁第11題：如圖6，在等邊三角形 ABC 的三邊上分別取點 D，E，F ，使得 AD=BE=CF .求證： ΔDEF 是等邊三角形.上述試題來源于教材又高于教材，為學生營造“似曾相識”的熟悉環境，有利于增強學生探究問題的主動性，提升解決問題的自信心.教學時，教師要做到“回歸教材，研究教材，理解教材，用好教材\"[1].

4.2注重通法，豐富學生解題思維

學生的解題思維是在日常訓練中逐步形成、鞏固和發展的.學生在練習中不斷地探索不同情境下的各種解法，再從各種解法中尋求同一解法，歸納總結，形成通法.“它從根本上豐富學生解題的思維方式，打通分析問題的思維通道，發展調控受阻思維的能力，從而學會分析.\"[2]例如思路2中，“ ∠EBD=∠BCA .BD=BC ”滿足“SA\"模型，要想得到全等三角形，根據“ DE⊥AB ”，很自然聯想到過點 B 作 BK⊥AC 于點K ，再根據含 30^° 角的直角三角形的性質，列方程即可.教學時，教師要注重不斷發展學生的解題思維能力，引導學生關注問題與條件的關聯，合理聯想，形成通法，達到做一題、會一類、通一片的水平.正如笛卡兒所說：“我所解決的每一個問題都將成為一個范例，以用于解決其他問題.”