動點軌跡法求線段最值

求解線段最值是中考熱點題型，針對求解線段最值問題，很多專家、學者以及中學一線教師做了很多的研究，歸納總結出眾多有趣的結論和經典幾何模型，例如：將軍飲馬模型[1]，費馬點模型[2]，胡不歸模型[3」，阿氏圓模型4」，瓜豆模型等等.

軌跡法也是中學數學中一種常見的解題策略，通過分析動點的運動軌跡來定性、定量地研究幾何問題，為求解幾何最值問題提供很好的解題依據，

在研究軌跡法求解線段最值模型過程中，首先需要明確線段的實質，萬變不離其宗，根據線段的定義：線段是直線上兩點之間的部分，這兩個點稱為線段的端點.那么可以明確線段的長度由兩端點的距離確定，若一端點為定點，另一端點為動點，則線段的長度會根據動端點的運動而變化，因此，研究動點的運動軌跡對于求解線段最值至關重要.下面我們就利用動點軌跡法來求解平面幾何、立體幾何和解析幾何中的三道線段最值問題，來感受軌跡法可以有效地求解線段最值問題.

1 平面幾何中的線段最值問題

例1如圖1，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^°，D 是 AC 的中點， M 是 BD 的中點，將線段 AD 繞 A 點任意旋轉（旋轉過程中始終保持點 M 是 BD 的中點），若 AC=4，BC=3 ，那么在旋轉過程中，線段CM長度的取值范圍是多少？

解如圖2，以點 A 為圓心，線段 AD 的長為半徑畫圓，即為 D 點的運動軌跡，

設 AB 的中點為 N

CN-1?CM?CN+1 ，所以：

2 立體幾何中的線段最值問題

例2如圖3，已知正方體 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長為3，點 M，N 分別在棱 AA₁，A₁D₁ 上，滿足AA₁=3AM，A₁D₁=3D₁N ，點 Q 在正方體的面BCC₁B₁ 內，且 A₁Q //平面 C₁MN ，求線段 A₁Q 長度的最小值.

解因為點 Q 在正方體的面 BCC₁B₁ 內，A₁Q /平面 C₁MN

取 B₁C₁ 上靠點 B₁ 的三等分點 F，BB₁ 上靠點B₁ 的三等分點 E ，線段 EF 就是點 Q 的運動軌跡.在等腰三角形 A₁EF 中， A₁Q 的最小值就是等腰三角形 A₁EF 在 EF 邊上的中線長度.

在腰三角形 A₁EF 中 ，

點評本題求解線段 A₁Q 的長度，因為點 A₁ 是定點，所以線段 A₁Q 的長度會隨點 Q 的運動而變化，點 Q 的運動軌跡是解答本題的關鍵.因為點 Q 在正方體的面 BCC₁B₁ 內， A₁Q //平面 C₁MN ，設平面 α 過點 A₁ ，且與平面 C₁MN 平行，那么平面 α 與平面 BCC_iB₁ 的交線就是點 Q 的軌跡，所以解題思路就是構造出平面 α ，利用面面平行的判定，易得平面 α 就是平面 A₁EF

3解析幾何中的線段最值問題

例3已知點 P 在銳角 ΔABC 的邊上運動，試確定點 P 的位置，使得 PA+PB+PC 最小，并證明該結論.

解決該題目時，需要明白當點 P 在銳角 ΔABC 最短邊上的高的垂足位置時， PA+PB+PC 最小.證明如下：

如圖 4，P 為 ΔABC 邊 BC 上的高的垂足，而 Q 為邊 BC 上不同于點 P 的任意一點.

由 PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC =QA+BC ，且 PA

得 PA+PB+PC

如圖5，設 AC 為 ΔABC 的最短邊，作此邊上的高 BP^′ .則 BP^′gt;AP ：

在 BP^′ 上截取 QP^′=AP ，在 BC 上截取 B^′C=

AC.作 B^′Q^′⊥AC ，垂足為 Q^′ ，連接 QB^′

易證 RtΔAPC?RtΔB^′Q^′C ，從而， AP= B^′Q^′=QP^′

易證四邊形 B^′QP^′Q^′ 是矩形

于是， ∠B^′QB=90^° 在 ΔBQB^′ 中， BB^′gt; BQ.又 P^′A+P^′B+P^′C=BQ+AP+AC，PA+ PB+PC=BB^′+AC+AP ，因此， P^′A+P^′B+ P^′C

求解線段最值問題是一個非常寬泛的問題，本文探討了動點軌跡求解線段最值的基本問題，關于該問題的其他拓展以及應用還有待進一步探索.每一個模型都有廣泛的應用以及拓展，比如費馬點模型，其可以拓展到加權費馬點形式等.模型與模型之間也有著緊密的聯系，例如費馬點模型與胡不歸模型看作是將軍飲馬模型的衍生.

在教學中，總結幾何模型和應用最值模型解題的過程固然重要，但不能用幾何模型固化學生的思維，束縛學生的創新能力.作為教師，更應該結合學生實際情況，引導學生自主思考如何經歷從猜想到抽象探究這個過程，總結歸納出一般模型，引領學生領悟化歸與轉化、數形結合等數學思想，以此培養學生提出問題、思考問題、解決問題的能力，鼓勵學生勇于探索，從而培養學生的創造性思維，提高學生的解題能力，發展數學學科核心素養.

【1.中學數學卓越教師校校共培模式研究與實踐，宜賓學院一般教改項目】

【2.計算物理四川省高等學校重點實驗室2024年開放基金項目“卓越中學數學教師校校共培模式研究與實踐\"（YBUJSWL-YB-2024-04）】

參考文獻：

[1]耿敬之.滲透“模型思想”的初中數學教學研究—以“將軍飲馬”模型的教學為例[J].數學教學通訊，2025（2）：78—80.

[2]劉煥，邢成云.揭“費馬點”面紗探模型間聯系[J].中學數學雜志，2024（6）：54-57.

[3]王曉雋.中考最值問題的幾種模型及其解題策略[J].數學學習與研究，2024（23）：158—160.

[4」周敦鸞.“阿氏圓”模型分析及其應用[J」.中學數學教學參考，2024（18）：57-60.