逆向思維·逆向求解

存在性問題，是判斷滿足特定條件的事物或事件是否存在，其知識覆蓋面廣、綜合性強，對學生能力要求高.反證法作為間接論證法，通過判定與論題矛盾的判斷（反論題）虛假來確立論題真實.其論證過程為：先假設命題結論不成立，經推理得出假設與已知條件、定理、公理等矛盾，從而證明原命題成立.因此，合理利用反證法，可快速解答初中數學中的存在性問題.

1代數存在性問題的反證法

代數存在性問題核心特點體現在三個方面：（1）結論開放性，需判斷是否存在滿足條件的數或關系；（2）邏輯間接性，常通過反證法否定存在性；（3）構造復雜性，需靈活運用代數變形或不等式分析.此類問題注重考查學生對數學本質的理解，如方程解的存在性、函數值的可能性等，要求學生突破正向思維定式，從矛盾推導中揭示問題本質.

例1 已知關于 x 的方程 0，是否存在整數 k ，使得方程的兩個根均為整數？

解析 假設存在整數 k 滿足條件，設方程兩根為 m，n（m，n 為整數）.根據韋達定理， m?n=2k② .由 ② 得 代入 ① 得 整理得 mn+2m+2n+2=0 ！配方變形 （m+2）（n+2）=2 .

因 ^m，n 為整數，故 （m+2），（n+2） 為2的整數因數對，可能組合為：（1，2）、（2，1）、（—1，—2）、 （-2，-1）

分組討論：（1）當 m+2=1，n+2=2 時 .m=-1 n=0，代人k= ，驗證方程 x²+x=0 ，根為0和—1，符合條件；

（2）當 m+2=2，n+2=1 時 O，m=0，n=-1 同理 k=0 ，同上；

（3）當 m+2=-1，n+2=-2 時 _m=-3，n= -4，代人 ，驗證方程 x²+7x+12=0 ，根為-3 和一4，符合條件；

（4）當 m+2=-2，n+2=-1 時 ，m=-4，n= -3，同理 k=6 ，同上.

綜上，存在整數 k=0 或 k=6 ，使得方程兩根均為整數.

2 幾何存在性問題的反證法

幾何存在性問題常以“是否存在\"“能否找到”等形式呈現，其特點是條件隱含性強，需通過逆向推導驗證命題真假.此類問題對邏輯嚴謹性要求較高，需結合方程、不等式、函數等知識，靈活運用反證法的逆向思維突破常規思路.

例2在圖1所示的四邊形 ABCD 中， BC=AD ∠ADB+∠ACB=∠CAB+∠DBA=30^°. 求證： DB² +CA²=CD²

解析常規解題方法可借助構造全等三角形來證明，該方法較為困難.使用反證法，根據已知條件BC=AD ，假設 BC≠AB 則解題過程更為簡單，

證明 如圖1，設直線 AD 與 BC 相交于點 E 業由角度關系可得： ∠E=120^° ，由此可知， CB 與

AD 的夾角為 60^° 下面用反證法證明 BC=AB .假設 BC

∠ACB ，與已知條件矛盾.若假設 BCgt;AB .則 ∠CAB+∠DBAgt;∠ADB+∠ACB ，同樣矛

盾.綜上， BCAB 均不成立，故 BC=AB ：則有

因此 DB²+CA²=CD² 成立.

3函數存在性問題的反證法

函數存在性問題常以方程根的存在性、函數參數范圍或變量關系為研究對象.其核心是驗證數學對象（如解、參數、極值等）在特定條件下的存在性.此類問題需通過邏輯推理或代數運算構建矛盾關系，反證法則通過“假設結論不成立”反向推導矛盾，從而證明原命題成立.

例3是否存在實數 Ψ_m ，使得二次函數 f（x）= x²+mx+5 在實數域內無零點？

解析 假設存在實數 Ψ_m ，使得方程 x²+mx+5

Θ= 0 無實數根，根據二次方程根的判別式，無實根需滿

足 ，即 若存在 Σ_m ，

則對于任意 x，x²+mx+5=0 取 .代人得 若 則 此時 ，與假設矛盾，故原假設不成立，

即不存在實數 Σ_m 使 f（x） 在實數域內無零點.

4動點存在性問題的反證法

動點問題是幾何與代數結合的典型題型，核心在于分析點的運動規律，將幾何條件轉化為代數方程.解題時需明確動點的約束條件，通過設定參數建立方程，再結合幾何性質求解.當直接構造解有困難時，可假設存在性后推導矛盾，或通過代數計算驗證無解情況，體現逆向思維的應用.

例4在平面直角坐標系中， A 點坐標為 （0，0），B 點坐標為（4，0）.動點 P 以每秒1單位的速度從 A 出發沿 x 軸正方向移動， Q 從 B 出發沿 x 軸負方向移動， R 從原點沿 y 軸正方向移動.問：是否存在時刻 χ_t ，使得ΔPQR 為等邊三角形？若存在，求 Ψ_tΨ_Ψ 的值；若不存在，說明理由.

解析 假設存在滿足條件的 χ_t ，則 Ω_tgt;0

設 P（t，0），Q（4-t，0），R（0，t）.

則 ΔPQR 的三邊長度可分別表示為：

PQ=∣（4-t）-t∣=∣4-2t∣，

（204號

當 ΔPQR 為等邊三角形時，

PQ=PR=QR ，

聯立方程，由 PQ=PR .

得

解得 ，將 t 代人 QR 表達式驗證，計算得 ，結果相等，故存在 滿足條件.

5結語

反證法作為逆向思維的典型代表，通過否定假設、揭示矛盾的邏輯路徑，不僅強化了學生對數學定理的深層理解，更培養了嚴謹的批判性思維.教學中應注重引導學生掌握反證法的適用場景與步驟，結合代數變形、幾何分析與函數性質，將抽象問題具象化.同時，通過動點問題等綜合題型的訓練，幫助學生建立“假設—推導一驗證”的解題模型，為后續數學學習奠定堅實的邏輯基礎.反證法的靈活運用，不僅是解題技巧的提升，更是數學核心素養的全面發展.