初三數學總復習之抓手：熟練模型助力解題

初三數學總復習的教學方法靈活多樣，沒有固定模式.一節優質的數學復習課，不僅能幫助學生鞏固所學、查缺補漏，更重要的是能夠推陳出新，進一步提升他們分析和解決問題的能力，增強數學知識在實際生活中的應用能力，從而塑造更為優良的數學思維品質，提升數學核心素養.本文通過實例，精選幾類模型，歸納分析“熟練模型”在提升總復習教學效果方面應該是助力解題的一個主要抓手.

模型一 （正A型）

1.背景條件：如圖 1，DE// BC.結論： ① 平行線截線段對 應成比 例； ②ΔADE S

圖1

2.構造 A 型導出三角形內（外）角角平分線定理.如圖2，圖3，有

圖2

圖3

3.模型應用演練如圖 _{4，ΔABD} 為等

腰直角三角形且 AB=AD、∠BAD=90° ，點 C在 BD 邊上（不與端點重合），連接 AC ，把 AC繞點 A 逆時針旋轉 90^°"到 AE 位置，連接 EC 交 AD 于點 P ，點 F 在 EC 延長線上，且 ∠CDF=∠DAC

圖4

（1）連接 DE ，則 ∠ADE= 度（直接寫出答案）；

（2） ① 求證： DF=PF ② 求證：

② 問思路求解：只要證 即可，根 據三角形內角平分線模型 （204號 ，現只需證 中 即可，也即只要證 ΔCDF～ΔDEF 即可.

4.模型變形1 由正 A 型 $$ 歪 A 型 $$ 子母型$$ 射影定理，如圖5所示.

圖5

5.模型變形2 由正 A 型 $$ 多 A 型，如圖6，其 結論為 0

圖6

1．背景模型二 （正8型）條件：如圖7，DE//BC.結論： ① 平行線截線段對應成比例； ②ΔADE～

圖7

2.模型變形1 由正8型 $$ 歪8型 $$ 雙8型雙8型條件：如圖

歪8型

結論： ΔADE?ΔACB;ΔAEB?ΔADC;BCDE 四點共圓： ：AE?AC=AD?AB （相交弦定理）.

圖8

3．模型應用演練 如圖9，在 RtΔAOB 中 ∠AOB=90°，AO =4，BO= 3，OC 為 AB 邊上中線.點 E，F 分別為線段 AB，OB 上的動點， _AO 邊上的點 D （不與端點重合）與點 B 關于 EF 對稱.連接 DE，DF 分別交 OC 于點 M，N 連接 FM ，判斷 DE 與 FM 的位置關系，并加以證明

求解思路1由 OC 為直角 ΔAOB 斜邊 AB 上中線得 OC=BC，∴∠ABO=∠FON. 由折疊知∠ABO=∠MDN，∴∠FON=∠MDN ，由“雙8型”得 ， ∠NMF=∠NDO，∴∠FMD=∠NMD +∠NMF=∠NFO+∠NDO=90^° ，即 DE⊥FM

雙8型

思路2 同思路1可證 ∠FOM=∠FDM ：ODMF四點共圓， ∴∠FMD=180^°-∠FOD= 90^° ，即 DE⊥FM

4．模型變形2 由正8型 $$ 多8型

結論1 由圖10知

圖10

5.總結歪 A 下面有歪8，歪8補全生歪 A ；歪8和歪 A ，形影不離似孿生.如圖11，圖 12，B，C，E，D四點共圓.

圖12

圖11

6.模型應用演練如圖13，在四邊形ABCD 中， CD//AB ，且CD=2AB ，對角線 AC 、BD 相交于點 P. 若 M，N分別為 AB，CD 的中點，連接MN.求證：點 P 在線段MN 上

證明 如圖14，延長 _CB，DA 相交于點Q ，連接 QP 交 AB 于點M ，延長 QP 交 CD 于點N ，由“正 A 型”得 由“正8

圖9

圖14

型”得 （2號 .CN=DN ，

即 N 為 cD 中點.由“正 A 型”得 （204號

： ?CN=DN，∴BM=AM ，即 M 為 AB 中點.： M，N

P 三點在同一條直線上.

模型三 （子母型相似 $$ 射影定理）

1.子母型相似條件： ∠1= ∠2 （錯位），如圖15.結論： ΔABE～ΔACB ， AC （切割線定理）

圖13

圖15

2.射影定理（子母型相似的特例）條件： AB⊥ ，如圖16.

結論： ① 有2對相等的銳角 ∠1=∠2，∠A Φ=∠CBE ：

② 有3個勾股定理結論： ：AB²+BC²=AC²;AE² +BE²=AB² BE²+CE²=BC²

③ 有3對相似三角形： ΔABE ～ΔACB～ΔBCE

④ 有5個等式 ：AB²=AE?AC BE²=AE?CE;BC²=CE?CA （射影定理）： .AB?BC=AC?BE （面積不變性）； AB²：BC²=AE：CE

圖16

⑤ 有4個銳角6條線段知道1邊1角或者2邊就可以求出其余元素（類似解直角三角形）.

3.（子母型相似與阿氏圓組合解決線段之和的最值問題）在同一平面上有三點 A，B，P ，則所有滿足PA 的點 P 的軌跡是一個圓（阿氏圓）.

事實上，當 PA，B 三點不共線時，存在 ΔPAB ，作 ∠APB 的內角平分線 PC 、外角平分線 PD ，由三角形內（外）角角平分線定理得 AC：BC=AD： BD= PA：PB=K 為定值，所以點 C，D 為定點，即線段 CD 為定長，又 ∠CPD=90^° 為定角，所以點 P 落在以CD 為直徑的圓上（點 C，D 除外）.當 P，A，B 三點共線時，點 P 落在點 C，D 上.綜上，點 P 的軌跡是一個圓.

4.模型應用演練如圖17，若點 P 在線段 BC 上，且 ，在△ABC的AB（ABgt;AC） 邊上作出點G ，使得 ∠BGP=∠CGP ，并簡要說明理由.

圖17

解如圖18，延長 CB 至點 Q ，使得 ，以 PQ 為直徑作 ?O 交 AB 于點 G 即為所求.∵ 2，又

∠BOG=∠GOC，∴ΔOBG～ΔOGC （子母型相似），得 由 OP=OG 得 ∠OGP= ∠OPG ，所以 ∠OGP-∠OGB=∠OPG-∠OCG. 即 ∠BGP=∠CGP.

模型四 （手牽手型相似 $$ 瓜豆原理）

1．手牽手型相似（一轉成雙）

圖19

圖20

結論 如圖 ΔABC～ΔADE?ΔABD～ ΔACE?∠BFC=∠BAC=∠DAE（ABCF 為雙歪8型，即四點共圓） （204號D，F 構成雙歪8型，即四點共圓）

2.模型應用演練 在 ΔABC 中， ∠BAC=90^° AB=AC=4 ： BC 邊上有一動點 D ，連接 AD ，在 AD 邊右側作等邊三角形 ΔADE ，連接 CE 在點 D 的運動過程中，求 CE 的最小值

（20（參考數值： ，cos75° =

圖18

圖21

解如圖21，作等邊三角形 ΔABF ，易證 ΔABD?ΔAFE 得 ∠AFE=∠ABD= 145^° ，又 （20 ∠FOP （204號 二∠AOB，：∠FPO =∠BAO=60°， ：點 E

必在過 F （定點）且與 BC （定線）夾角為 60^° 的射線FP 上，作 CG⊥ 射線 FP 于點 G ，則

模型五 （‘ \"K\" 字線或者\"一線三等角”）

模型應用演練 如圖22，在 RtΔABC 中， 是 ΔABC 所在平面內的一點，連接 PA，PB，PC

（1）如圖 ① ，若點 P 在 AB 左側， ∠APB=135^° ，求 PC 的長；

（2）如圖 ② ，若點 P 在 BC 下方， ∠APB=45^° ，求 PA 的長.

圖 ①

圖 ②

圖

圖22

解 （1）如圖 ③ 過點 B，C 分別作直線 PA 垂線BD，CE. 在 RtΔBDP 中 ∠DPB=180^°-135^°= （2號 由“ K^′′ 字線得 ΔADB～ 在 RtΔCEP 中

（2）如圖 ④ ，同（1）作輔助線構造“ K^′′ 字線得ΔAMB～ΔCNA 得 AN=4 設 AM=3x，CN=4x ，則 PN=PM+MN=PM+AM -AN=3+3x-4=3x-1. 在 RtΔCNP 中 CN²+ PN²=PC² ，即 解得 x₁ （舍），x =2，：.PA=PN+AN=5+4 =9.

初三數學復習課堂應著眼于知識的整體結構，溝通知識間的縱向、橫向聯系，通過對已學知識的整理，組建系統的認知結構，構建知識的網絡，促進學生從知識的更深處挖掘、更廣處豐富，深刻地理解已學知識.而好的復習課模型剛好會取到事半功倍的效果，它在例題選取更具有導向性，更有利于幫助學生重構知識網絡，更有利于學生對相關知識的深度理解，更有利于提升學生數學能力.